Tính khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là dạng cơ bản nhất trong các dạng
toán tính khoảng cách. Tất cả các bài toán tính khoảng cách cuối cùng đều đưa về tính
khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Trong dạng toán này, việc khó khăn nhất là
dựng được đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu
một trường hợp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thường gặp nhất là tính khoảng
cách từ chân đường vuông góc và phương pháp đổi điểm để tính khoảng cách. Đây là hai
lý thuyết quan trọng cần phải nắm vững để có thể giải được các bài toán khoảng cách
trong các đề thi đại học và THPT Quốc gia.

Tính khoảng cách từ chân đường vuông góc
Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) biết SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC).

Các bước tính khoảng cách
Bước 1: Dựng đường cao AK trong tam giác ABC.


Bước 2: Dựng đường cao AH trong tam giác SAK.
Bước 3: Chứng minh AH⊥(SBC) và suy ra d(A,(SBC))=AH.
Bước 4: Tính độ dài AH.
Chú ý: Trước khi dựng đường cao AH cần phải xét tính chất của tam giác ABC để có cách
dựng đúng.

1.

Nếu tam giác ABC vuông ở B thì không cần dựng AK vì AB là đường cao. Ta chỉ cần dựng
đường cao AH trong tam giác SAB. (tương tự nếu tam giác ABC vuông ở C).

2.

Trong (ABC), dựng AM⊥BC tại M.
Trong (SAM), dựng AH⊥SM tại H.


Ta có:

BC⊥SABC⊥AM}⇒BC⊥(SAM)⇒BC⊥AH
Mà AH⊥SM suy ra AH⊥(SBC).
Vậy d(A, (SBC)) =AH
Trong ∆SAM, ta có1AH2=1SA2+1AM2=1SA2+1AB2+1AC2⇒AH=7217−−√
Ví dụ 2. (ĐH khối D – Năm 2003)
Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ và vuông góc với nhau. Trên ∆ lấy
2 điểm A, B và C ∈ (P), D ∈ (Q) sao cho AC⊥Δ,BD⊥Δ và AC = AB = a. Tính d(A,
(BCD)).

Phân tích:

(P)⊥(Q),(P)∩(Q)=ΔAC⊥Δ,AC⊂(P)}⇒AC⊥(Q)
Ta thấy, ΔABDvuông tại B nên ta áp dụng dạng 2 để tính khoảng cách.
Bài giải
Trong (ABC), vẽ AH⊥BCtại H
Ta có BD⊥AB,DB⊥AC⇒DB⊥(ABC)⇒DB⊥AH
Suy ra AH⊥(BCD)
Vậy d(A,(BCD))= AH
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có 1AH2=1AB2+1AC2=2a2⇒AH=a2√
Ví dụ 3. (ĐH khối B – Năm 2013)
Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh AB =
a. (SAB)⊥(ABCD),ΔSAB đều. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD).



Ta tính được HK=3a28√
Vậy d(B, (SAC)) = 4HK = 6a7√
Thông qua các ví dụ trên, hy vọng các em sẽ nắm được cơ bản phương pháp tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng để có được định hướng khi làm bài. Tuy nhiên, bài


toán tính khoảng cách trong các đề thi đại học thường là tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau. Phần này ta sẽ tìm hiểu ở bài sau.