BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐINH THỊ XUÂN

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐINH THỊ XUÂN

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh

SƠN LA, NĂM 2016


LỜI CẢM ƠN

1.1.1. Toạ độ của vectơ và các phép toán trên vectơ ............................................ 3
1.1.2. Toạ độ của điểm .......................................................................................... 3
1.1.3. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương ............................. 4
1.2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ........................................................... 4
1.2.1. Kiến thức cơ bản ......................................................................................... 4
1.2.2. Các dạng bài toán và bài tập áp dụng.......................................................... 5
1.3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC ........................................................................ 18
1.3.1. Các kiến thức cơ bản ................................................................................. 18
1.3.2. Các dạng bài tập ........................................................................................ 19
1.4. ĐƯỜNG TRÒN ........................................................................................... 22
1.4.1. Các kiến thức cơ bản ................................................................................. 22
1.4.2. Các dạng bài tập cơ bản ............................................................................ 23
1.5. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP............................................................... 29
1.5.1. Các kiến thức cần nhớ ............................................................................... 29
1.5.2. Các dạng toán cơ bản ................................................................................ 30


Chương 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN .................................................................................. 35
2.1. VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .................................. 35
2.1.1. Vectơ trong không gian ............................................................................. 35
2.1.2. Hệ toạ độ trong không gian ....................................................................... 36
2.1.3. Phương trình mặt cầu và các dạng bài tập ................................................ 39
2.2. BÀI TẬP VỀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN .............................. 43
2.2.1. Các kiến thức liên quan ............................................................................. 43
2.2.2. Các dạng bài tập thường gặp ..................................................................... 44
2.3. BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẢNG ................................................................. 58
2.3.1. Các kiến thức cơ bản ................................................................................. 58
2.3.2. Các dạng bài toán và bài tập áp dụng........................................................ 61
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 77

khả năng giải các dạng bài toán khác nhau trong kỳ thi THPT Quốc gia.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức liên quan cũng như các dạng bài tập về PPTĐ
trong chương trình phổ thông.
- Tổng hợp các dạng bài tập cơ bản về PPTĐ trong chương trình THPT và
đưa ra phương pháp giải cho một số dạng bài tập cơ bản.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu một số dạng bài tập và cách giải bài tập về PPTĐ trong
chương trình Toán THPT.
5. Phạm vi nghiên cứu
Vì lí do thời gian, cũng như do điều kiện có hạn của bản thân nên trong
phạm vi của khoá luận chỉ tập trung nghiên cứu một số dạng bài tập về PPTĐ
trong mặt phẳng và trong không gian theo nội dung chương trình môn Toán ở
trường phổ thông.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích tổng hợp kiến thức.
- Nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm của bản thân, trao đổi với giáo viên
hướng dẫn.
7. Đóng góp của khoá luận
Khoá luận sẽ là cuốn tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Sư
phạm Toán Trường Đại học Tây Bắc. Đồng thời là cuốn tài liệu trợ giúp hữu ích
cho học sinh THPT trong việc rèn luyện giải các bài tập toán liên quan đến
phương pháp toạ độ, phục vụ cho các em trong việc học tập cũng như ôn thi vào
các trường Đại học, Cao đẳng, Trung cấp chuyên nghiệp,…
8. Cấu trúc của khoá luận

2) Cho A( xA ; y A ), B( xB ; yB ) ta có:

AB  ( xB  xA ; yB  y A )
AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2
3) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số

k ,(k  1)  MA  k MB
xA  kxB

x

M

1 k

 y  y A  kyB
 M
1 k

3


x A  xB

x

M

2
Đặc biệt, khi M là trung điểm của AB thì: 

giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
- Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng: đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và
có VTPT n(a, b) có dạng:
a( x  x0 )  b( y  y0 )  0

(1)

hay ax  by  c  0, a 2  b2  0

 Phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng: đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và
VTCP u (a, b) là:

 x  x0  at
, t

 y  y0  bt

và a2  b2  0

4

(2)


 Phương trình chính tắc của đường thẳng: đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và VTCP

x  x0 y  y0

a
b


a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

1.2.2. Các dạng bài toán và bài tập áp dụng
Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng
a) Lập phương trình tổng quát:
Cách giải:
 Cách 1:
 Tìm một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng
 Tìm một VTPT n(a, b) của đường thẳng
 Khi đó PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT
n(a, b) có dạng (1).

5


 Cách 2:
 Tìm một VTPT n(a, b) của đường thẳng
 Giả sử đường thẳng đã cho có phương trình dạng ax  by  c  0, a 2  b2  0
 Do đường thẳng đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) nên thay toạ độ của M 0 ( x0 ; y0 ) vào
phương trình trên ta tìm được c.
Đặc biệt: giả sử đường thẳng d có phương trình d: ax  by  c  0, a 2  b2  0
Khi đó:
 Nếu d '/ / d thì d ': ax  by  c '  0
 Nếu d "  d thì d ": bx  ay  c "  0
Ví dụ 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biết:
a) d đi qua điểm M (3;4) và có vtpt n  (1;2) ;
b) d đi qua điểm M (3; 2) và có vtcp u  (4;3) ;

Suy ra một vtpt của d là n   3; 5 .
Vậy PTTQ của đường thẳng d là :

3 x  5  5  y  3  0 hay 3x  5 y  30  0 .
b) Lập PTTS, phương trình chình tắc
Cách giải:
 Tìm một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng
 Tìm một VTCP u (a, b) của đường thẳng
 Khi đó, PTTS của đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP
u (a, b) có dạng (2).

 Nếu a, b  0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u (a, b) là

x  x0 y  y0

a
b

Đặc biệt:
- Đường thẳng d đi qua hai điểm A( x A ; y A ), B( x B; y B ) thì có VTCP
u  AB  ( xB  x A ; yB  y A )

- Gỉa sử đường thẳng d có phương trình ax  by  c  0 . Khi đó:
Nếu d '/ / d thì d ' có VTCP u '(a, b)
Nếu d "  d thì d " có VTCP u "(b, a ) hoặc u "(b,  a )
Nếu d có hệ số góc k thì d có VTCP u (1, k )

7


Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường
hợp sau:
a) d đi qua điểm M (5;1) và có hệ số góc k  3 ;
b) d đi qua hai điểm A(3;1) và B(4;2) ;
Giải:
a) d có hệ số góc k  3 nên có vtcp u  (1;3) .

x  5  t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: 
.
y

1

3
t

b) d đi qua hai điểm A(3;1) và B(4;2) nên có vtcp là: u  AB  (1;1) .

x  3  t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: 
.
y 1 t
8


BÀI TẬP VẬN DỤNG:
1. Viết PTTQ của đường thẳng d biết:
a. Đi qua M (1;2) và có VTPT n(2;1)
b. Đi qua M (2;3) và có VTcp u (4;6)

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
10. Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của hai đường thẳng:
a) d : 2 x  5 y  3  0 và d ':5x  2 y  3  0
1
3
b) d : x  3 y  4  0 và d ': x  y  4  0
2
2

c) d :10 x  2 y  3  0 và d ' : 5 x  y 

3
0
2

11. Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của hai đường thẳng:

 x  1  5t
a) d : 
và
y

2

4
t


 x  6  5t
d ': 

13.Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc:
1 : mx  y  8  0 và

 2 : mx  y  8  0

14. Tìm m để ba đường thẳng sau đây đồng quy:
d1 : 2 x  y  4  0 , d 2 : 5 x  2 y  3  0 và

 x  3  2t
15. Cho hai đường thẳng: d1 : 
 y  4  t

d3 : mx  3 y  2  0

và

x  t '
d2 : 
 y  10  t '

a) Viết phương trình tổng quát của hai đường thẳng
b) Tìm giao điểm của hai đường thẳng.

 x  2  2t
16. Cho đường thẳng d : 
y  3 t
a) Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.
b) Tìm toạ độ giao điểm của d với đường thẳng x  y  1  0
17. Cho hai đường thẳng:


2
y

1

0

 x  1

 y  1
Suy ra: H (1; 1)
2x  5 

C2: Do H  d : 2 x  3 y  5  0 nên giả sử H có toạ độ: H  x; 

3 

H là hình chiếu của A trên d  AH  ud  AH .ud  0

2 x  11 
2 x  11 


Ta có: AH  1  x;
 . Suy ra AH .ud  0  1  x;
. 3; 2   0
3 
3 



 H (0;2) .


A ' đối xứng với A qua   H là trung điểm của AA ' .

 x A '  2 xH  x A  2.0  2  2
Toạ độ của A ' là: 
 A '(2;4) .
 y A '  2 yH  y A  2.2  0  4
Dạng 5: Tìm đường thẳng d ' đối xứng d qua điểm I cho trước.
Hướng dẫn:
 Cách 1:
 Lấy điểm cho trước A  d .
 Tìm điểm B đối xứng A qua I thì B  d '
 Viết phương trình đường thẳng d ' qua B và nhận VTPT của d là VTPT.
 Cách 2:
 Lấy điểm M ( x; y) bất kỳ thuộc d .
 Gọi M '( x '; y ') là điểm đối xứng của điểm M qua I.

x  x'

x

I

2   x  2 xI  x '


y


Vậy phương trình đường thẳng d ' cần tìm là: 
.
y


1

2
t

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với d qua đường
thẳng .
Hướng dẫn:
 Cách 1:
Nếu d cắt .
 Tìm giao điểm I của d và .
 Lấy một điểm cụ thể A  d rồi tìm điểm A ' đối xứng A qua I
 Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua hai điểm I và A '
Nếu d song song với .
 Lấy một điểm cụ thể A  d rồi tìm điểm A ' đối xứng A qua  (xem
dạng 4).
 Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A ' và nhận VTCP của d làm
VTCP (hoặc nhận VTPT của d làm VTPT)
 Cách 2:
 Lấy hai điểm cụ thể A, B  d
 Tìm điểm A ', B ' đối xứng với A, B qua  (xem dạng 4).
 Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua hai điểm A ' và B '
Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1 : x  y  1  0 và d 2 : x  3 y  3  0 . Viết phương
trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d 2 .
Giải:

và điểm A(0;4)

a) Tìm toạ độ hình chiếu H của A lên d .
b) Tìm toạ độ điểm A ' đối xứng A qua d .

 x  2  2t
19. Tìm hình chiếu của điểm M (3;1) lên đường thẳng d : 
 y  1  2t
20. Tìm hình chiếu của điểm P(3; 2) lên mỗi đường thẳng sau:

x  t
a) d : 
y 1

b) d :

x 1 y

3
4

c) d :5x  12 y  10  0

21. Với điều kiện nào thì các điểm M ( x1; y1 ) và N ( x2 ; y2 ) đối xứng nhau qua
đường thẳng  : ax  by  c  0
22. Tìm toạ độ điểm I ' đối xứng với điểm I (1;2) qua đường thẳng

d : x  5y  2  0
23. Cho đường thẳng  : 2 x  y  1  0 và điểm I (1;2) . Viết phương trình
đường thẳng d đối xứng với  qua I .



a) Đường thẳng BC có vtcp là BC  (3;3)  vtpt: n  (3; 3) .
Khi đó, đường thẳng BC có phương trình tổng quát là:

3( x  3)  3( y  1)  0  x  y  4  0
b) Vì AH  BC nên một vtpt của AH là BC  (3;3) .
Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là:

3( x  1)  3( y  4)  0 hay 3x  3 y  15  0 .
7 
Do M là trung điểm của AC nên ta có: M  ;3  .
2 
 5
5

Đường trung tuyến AM có một vtcp là AM   ; 1  vtpt n  1; 
 2
2


Vậy phương trình đường trung tuyến AM là:
5
( x  1)  ( y  4)  0 hay 2 x  5 y  22  0 .
2

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
25. Cho ABC biết A(1;4), B(3; 1),C (6;2)
a) Viết phương trình các đường thẳng AB, BC , CA.
b) Viết Phương trình đường phân giác trong của góc A .

ax0  by0  c
a 2  b2

 Vị trí của hai điểm M ( xM ; yM ), N ( x N ; y N )

đối với đường thẳng

 : ax  by  c  0 , (M , N )
 M , N nằm cùng phía đối với   (axM  byM  c)( axN  byN  c)  0
 M , N nằm khác phía đối với   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  0
 Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt
nhau: 1 : a1 x  b1 y  c1  0 và  2 : a2 x  b2 y  c2  0 là:

a1 x  b1 y  c1
a b
2
1

2
1



a2 x  b2 y  c2
a b
2
2

2
2

ax0  by0  c
a 2  b2

Chú ý: Để tính khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  thì
phương trình của đường thẳng  phải đựơc viết ở dạng tổng quát.
Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng:
d1 : x  2 y  4  0 và

d2 : 2 x  y  6  0 .

Hướng dẫn:
Cặp vtpt của hai đường thẳng lần lượt là: n1  (1;2), n2  (2; 1)
Ta có: cos(d1 , d 2 )  cos(n1, n2 ) 

1.2  2.(1)
1  4. 4  1

 0 . Suy ra:  d1, d2   90 .

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để đường thẳng d: mx  y  1  0 hợp với đường
thẳng d’: 2 x  y  7  0 góc 300
Hướng dẫn:
cos(d ; d ')  300 

m.2  1(1)
m 2  1 22  1



3

4.3  3.5  1

b) Ta có: d  B,  ' 

3.1  4.2  1

16  9



9  16

28
5

4
 .
5

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
29.Tính góc giữa hai đường thẳng sau:
a) d : 4 x  2 y  5  0

và

d ': x  3 y  1  0

b) d :3x  2 y  1  0

và

20