THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ CÂU LIÊN QUAN

Thầy Nguyễn Thế Anh

 Chuyên đề này vô cùng quan trọng bởi:
+ năm nào cũng có
+ chiếm 2/10 điểm trong đề thi
+ quan trọng hơn cả là dễ ăn điểm nếu các em cẩn thận
 Cấu trúc đề thi bao giờ cũng có 2 câu liên quan đến phần hàm số như sau:
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Thường là hàm bậc 3, bậc 4, bậc nhất/bậc
nhất). – 1 ĐIỂM – chính là PHẦN 1 của thầy dưới đây
Câu 2: Câu liên quan đến hàm số (Tiếp tuyến, Tương giao, Đồng biến- nghịch
biến, Cực đại- cực tiểu, Suy đồ thị- biện luận, Giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất
trong 1 khoảng và một vài dạng kết hợp khác). – 1 ĐIỂM – là PHẦN 2.

PHẦN 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
1. 1 HÀM SỐ BẬC NHẤT/BẬC NHẤT
Năm 2015: là hàm bậc 3, năm 2016 là hàm bậc 4 nên khả năng cao năm 2017 sẽ
làm hàm bậc nhất/bậc nhất. Tuy nhiên các em vẫn phải học hết nhé!

ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHỮNG NĂM TRƯỚC
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
2x 1
1. Đề dự doán 2017: y 
x 1
2x 1
2. ĐHKD – 2011: y 

x  1
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y 
x 1
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang

2


SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

THẦY NGUYỄN THẾ ANH

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2x 1
x 1

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y
 Tập xác định: D

\ {1}

1

 Đạo hàm: y



1

2 là tiệm cận ngang.
x

1 là tiệm cận đứng.

1

 Bảng biến thiên
x

–

y

1

+

–

–

2

y

+

1

2
3

-1 O

1 2

x

3

x
x

1

\ { 1}

1

 Đạo hàm: y

3
2,5
2
1

3

x

lim y

;
x

( 1)

x

1 là tiệm cận đứng.

( 1)

 Bảng biến thiên
x

–

y

y

1

+

+
+

2
||
 Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:

y

0
0

0
0

1
0,5

2x 1
x 1

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y
 Tập xác định: D

0.5
-2 -1

\ {1}

3

 Đạo hàm: y


1

1 là tiệm cận đứng.

x

y

1

 Bảng biến thiên
–

x

1

y

+

+

2

y

 Giao điểm với trục hoành: cho y
Giao điểm với trục tung: cho x



4

-2
-1

3 2x
x 1

2x 3
x 1
\ {1}

Hàm số: y

1
(x

1
O 1 2

4
3

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y

 Đạo hàm: y

5
4

2

y

2 là tiệm cận ngang.
x

1 là tiệm cận đứng.

1

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang

4


SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

THẦY NGUYỄN THẾ ANH

 Bảng biến thiên
–

x
y

1


0
1/2
1
y
–3
–4
||
 Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:

3

3
2

3/2
0

2
–1

x

2

-1
-2
-3
-4

x  1

x 1
x 1
lim y = - 1 Nên y = -1 là T C N

Tiệm cận : lim
x  

Bảng biến thiên.
x

-

y'
y

-1

-

+

-1
-

+

-1

Đồ thị: đồ thị cắt Ox tại (1;0), cắt Oy tại (0;1)


1
9. (ĐHKD – 2005): y   x3  x 2 
3
3

10. (ĐHKB – 2008): y  4 x3  6 x2  1
1
11. (ĐHKB – 2004): y  x3  2 x 2  3x
3

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang

6


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y

x3

3x 2

3x




SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

THẦY NGUYỄN THẾ ANH

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

x3

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y

3x 2

3x

 Tập xác định: D
 Đạo hàm: y

3x 2

6x

3

 Cho y

3x 2

6x

+

+

0

–

+

1

+

 Hàm số đồng biến trên cả tập xác định; hàm số không đạt cực trị.
6x 6 0
x 1 y 1 . Điểm uốn là I(1;1)
y

y

 Giao điểm với trục hoành:
Cho y

x3

0

3x 2


x

2

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y  (1  x)2 (4  x) .
Giải:
y  (1  x)2 (4  x)  (1  2 x  x2 )(4  x)  4  x  8x  2 x 2  4 x 2  x3   x3  6 x2  9 x  4
y   x3  6 x 2  9 x  4

 Tập xác định: D  R
 Đạo hàm: y  3x2  12 x  9

x  1
 Cho y  0  3x 2  12 x  9  0  
x  3
 Giới hạn: lim y  
;
lim y  
x 

x 

 Bảng biến thiên:
x
y

–

1
–

0

 Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–;1), (3;+)
y

 Hàm số đạt cực đại y CĐ = 4 tại x CĐ = 3 ; đạt cực tiểu yCT  0 tại xCT  1
 y  6 x  12  0  x  2  y  2 . Điểm uốn là I(2;2)

x  1
 Giao điểm với trục hoành: y  0   x3  6 x 2  9 x  4  0  
x  4
Giao điểm với trục tung: x  0  y  4

4
2

 Bảng giá trị:

x
0
1
2
3
4
y
4
0
2
4
0


6x

0

x

0

 Giới hạn: lim y

0 hoac x

;

x

1

lim y

x

 Bảng biến thiên
–

x
y

–1

0

) , nghịc biến trên khoảng ( 1; 0)

; 1),(0;

1 , đạt cực tiểu yCT = –1 tại x CT
1
. Điểm uốn: I
2

y

0.

1 1
;
2 2

y

 Giao điểm với trục hoành:
cho y

2x 3

0

3x 2



1

0
1

1
2

0

 Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên đây

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

-1 O

x

1
2

-1

Trang

9


SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

0

x

0

 Giới hạn: lim y

;

x

1;x
x

3

lim y

 Bảng biến thiên
–

x

1

y

–


x

0

2
. Điểm uốn là I 2;
3

y

2

 Giao điểm với trục hoành: cho y
Giao điểm với trục tung: cho x

4
tại x CT
3

3 ; đạt cực tiểu yCT

1 3
x
3

0

0

y

0

1

2

3

4

y

0

4
3

2
3

0

4
3

 Đồ thị hàm số: như hình vẽ
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y
 Tập xác định: D
 Đạo hàm: y


x

–

y

0
–

0

+
y

2
+

0

+
–

3
–1

–

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 10

6

0

Điểm uốn là I(1;1)
 Bảng giá trị: x
–1
0
y
3
–1
 Đồ thị hàm số như hình vẽ:

1

y

1
1

2
3

1.
3
–1

x3

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y

x

1
x

1

lim y

 Bảng biến thiên
x

–

–1

y

–

0

1
+

+
–

0


 Giao điểm với trục tung: cho x
 Bảng giá trị: x
–2
–1
y
3
–1
 Đồ thị hàm số như hình vẽ:

1

1.
0

0
1

y

1

1
3

2
–1

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 11


SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y

x4

4x 2

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y

x 2 (4

x 2)

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y

x4
4

3

2x 2

3

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y

x


Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y

4x 2

3

 Tập xác định: D

4x 3

 Đạo hàm: y

8x

Cho

y

4x 3

0

8x

0

4x ( x 2

2)


2;0),( 2;

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1 tại x CD

x

0

x2

;

nghịch biến trên các khoảng (

 Giới hạn: lim y

4x

0

0.

lim y

 Bảng biến thiên
–

x
y


2

1

–
x

0
y

0

0
–3

x4

4x 2

4x 3

8x

4

4x

2



–3

 Giao điểm với trục hoành: cho y

 Bảng giá trị: x
y
 Đồ thị hàm số:

+

2

3
0

x 2 (4

x 2)

 Tập xác định: D
 Đạo hàm: y
Cho

y

0

4x 3


0
2
Trang 14


SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

THẦY NGUYỄN THẾ ANH

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (
nghịch biên trên các khoảng (

2;0),( 2;

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 4 tại x CD

0.

;

x

)

2,

đạt cực tiểu yCT = 0 tại x CT
 Giới hạn: lim y

2),(0; 2) ,


+

2

+

0
4

–

0

–

 Giao điểm với trục hoành:
cho y

x4

0

4x 2

0

x2

0

2
0

2
4

x4

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y

2x 2

3

 Tập xác định: D
 Đạo hàm: y
 Cho y

0

4x 3
4x 3

4x
4x

x

0



+

y
–3
Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 15


y

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

THẦY NGUYỄN THẾ ANH

 Giao điểm với trục hoành:
Cho y

0

x

4

3x

2

3

1

-1

1

O 1

x

3

1
0

-3
x4
2

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y

x2

4

 Tập xác định: D

2x 3

 Đạo hàm: y


9
tại x CT
2

Hàm số đạt cực tiểu yCT
 Giới hạn: lim y

;

x

x

1.
lim y

 Bảng biến thiên
–

x

0

1

y

–


1

 Giao điểm với trục hoành:
Cho y

1 4
x
2

0

x

2

4

x2

0

Giao điểm với trục tung: cho x

x
0

 Bảng giá trị: x
–2
–1
0


x4

x

4

4

Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y

y

x2

4x 2

2

-4
2
0

-4.5

(x 2

2)2

1


0

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (

Hàm số đạt cực tiểu yCT

x

;

),

0.

;

x

2

2),(0; 2)

1 tại x CT

 Giới hạn: lim y

0

2;0),( 2;


+

2

0
3

–

0

+

y
–1

–1

 Giao điểm với trục hoành:
Cho y

0

x

4

4x


 Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên đây

y

1
–1

1
3

3

2
3

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 17


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

PHẦN 2: CÂU LIÊN QUAN HÀM SỐ
Phần này chiếm 1 điểm trong đề thi và khó hơn chút ít so với câu thứ nhất là Khảo sát và vẽ đồ
thị. Năm 2015 thi vào Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trong 1 khoảng. Năm 2016 thi vào Cực đại
cực tiểu. Nhìn chung năm nay khả năng cao sẽ rơi vào Tiếp tuyến hoặc Tương giao. Tuy nhiên
các em vẫn phải học tất bởi nó dễ mà. Tập trung cày chỉ 1 tháng là FULL SKILL.


+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5) là: y  6 x  6 3  5 .
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số y  x3  2 x 2  2 x  4 .
Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 18


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.
Giải: Ta có y '  3x 2  4 x  2 . Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình:

y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  y '( x0 )( x  x0 )  y0

(1)

a) Khi M  (C ) Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:

x3  2 x2  2 x  4  0  x  2 ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương
trình tiếp tuyến: y  6( x  2)
b) Khi M  (C ) Oy thì x0 = 0  y0  y(0)  4 và y '( x0 )  y '(0)  2 , thay các giá
trị đã
biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y  2 x  4 .
c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4.
2
88


Ví dụ 4: Cho hàm số y  x3  3x  1 (C ) và điểm A( x0 , y0 )  (C), tiếp tuyến của đồ thị
(C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A. tìm hoành độ điểm B theo x0
Lời giải: Vì điểm A( x0 , y0 )  (C)  y0  x03  3x0  1 , y '  3x 2  3  y ' ( x0 )  3x02  3
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng:

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 19


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0  y  (3x02  3)( x  x0 )  x03  3x0  1
 y  (3x02  3)( x  x0 )  2 x03  1 (d )
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x3  3x  1  (3x02  3)( x  x0 )  2 x03  1  x3  3x02 x  2 x03  0  ( x  x0 ) 2 ( x  2 x0 )  0

( x  x0 ) 2  0
 x  x0


( x0  0)
x


2
x

Tiếp tuyến d có hệ số góc k0  -1

Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc

k  y ' ( x)  x 2  4 x  3   x  2   1  1  k0
2

 2
Dấu =” xảy ra  x  1 nên tọa độ tiếp điểm tr ng với M  2; 
 3
 2
Vậy tiếp tuyến d của (C) tại điểm M  2;  có hệ số góc nhỏ nhất.
 3

Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y 

x2
tại các giao điểm của (C)
x 1

với đường thẳng (d): y  3x  2 .
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x2
 3x  2  x  2  (3x  2)( x  1) (x = 1 không phải là nghiệm phương trình)
x 1
 3x2  6 x  0  x  0 ( y  2)  x  2 ( y  4)
Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4)

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher


3
3
Phương trình tiếp tuyến có dạng y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0  y  5( x  1)  2  y  5x  3

Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d
Vậy m  4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 8: Cho hàm số y  x3  3x 2  m (1).
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt
3
tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
2
Giải Với x0  1  y0  m  2  M(1 ; m – 2)
- Tiếp tuyến tại M là d: y  (3x02  6 x0 )( x  x0 )  m  2

 d: y = -3x + m + 2.
m2

3
- d cắt trục Oy tại B: yB  m  2  B(0 ; m  2)

- d cắt trục Ox tại A: 0  3xA  m  2  xA 

- SOAB 

m2 
A
; 0
 3



SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

 Các dạng biểu diễn hệ số góc k:
*) Cho trực tiếp: k  5; k  1; k   3; k  

3
...
7

2  

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc  , với   150 ;300 ;450 ; ; .....
3 3 

Khi đó hệ số góc k = tan  .
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.
1
*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b  ka  1  k  .
a
k a
*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một góc  . Khi đó,
 tan  .
1  ka

Ví dụ 9: Cho hàm số y  x3  3x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ
số góc của tiếp tuyến k = -3.
Giải: Ta có: y '  3x 2  6 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k  f ' ( x0 )  3x02  6 x0
Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên:


Trang 22


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

+) Với x = 2  y  4 . Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là:
y  9( x  2)  4  y  9 x  14.
+) Với x  2  y  0 . Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là:

y  9( x  2)  0  y  9 x  18 .
Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đường thẳng y 

1
x là:
9

y =9x - 14 và y = 9x + 18.
Ví dụ 12: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y 

1 4
x  2 x 2 , biết tiếp
4

tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x  5 y  2010  0 .
1
1
Giải: (d) có phương trình: y   x  402 nên (d) có hệ số góc là - .
5

(2 x  3) 2
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là:
k  1
Khi đó gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 )  1
Giải Ta có: y ' 



 x0  2
1


1

 x  1
(2 x0  3) 2
 0

Với x0  1 thì y0  1 lúc đó tiếp tuyến có dạng y   x (trường hợp này loại vì tiếp tuyến
đi qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB)
Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 23


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

Với x0  2 thì y0  4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y   x  2

2
( x0  1)
( x0  1)
4
x  3 ( y  5)
0
 0
2
1
3
1
5


 y   4 ( x  1)  2
y   4 x  4
Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 
.

 y   1 ( x  3)  5
 y   1 x  13


4
2
4
4

Do OAB vuông tại O nên tan A 



SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

Dạng 4. Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao.
Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y  x3  3x  2 sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .
Giải: Gọi A(a; a3  3a  2) , B(b; b3  3b  2) , a  b là hai điểm phân biệt trên (C).
Ta có: y '  3x 2  3 nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:

y '(a)  3a 2  3 và y '(b)  3b2  3 .
Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:

y '(a)  y '(b)  3a 2  3  3b2  3  (a  b)(a  b)  0  a  b (vì a  b  a  b  0)
2

AB  4 2  AB 2  32  (a  b)2  (a3  3a  2)  (b3  3b  2)   32
2

2

 (a  b)2  (a3  b3 )  3(a  b)   32  (a  b)2  (a  b)(a 2  ab  b 2 )  3(a  b)   32
2

 (a  b)2  (a  b)2 (a 2  ab  b 2 )  3  32 , thay a = -b ta được:
4b2  4b2  b2  3  32  b2  b2  b2  3  8  0  b6  6b4  10b2  8  0
2

2

b  2  a  2

Với điều kiện: a  b, a  1, b  1 .

Ta có: y ' 

y '(a) 

3
nên hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là:
( x  1) 2

3
3
và y '(b) 
2
(a  1)
(b  1) 2

Tiếp tuyến tại A và B song song khi: y '(a)  y '(b) 

3
3

(a  1)2 (b  1)2

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 25