All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
1
Thư viện tài liệu trực tuyến
All-lovebooks Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG(chủ biên)
CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
2 LỜI NÓI ĐẦU
Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ
Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu
“Chuyên đề luyện thi phần khảo sát hàm số và các bài toán liên quan” dùng
cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở
trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường
phổ thông.

3 CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. HÀM ĐA THỨC:
* Hàm số bậc ba:
   
32
0y f x ax bx cx d a     

* Hàm trùng phương:
   
42
0y f x ax bx c a    

1. Tập xác định: D=R
2. Sự biến thiên:
a) Giới hạn tại vô cực:
   
32
0y f x ax bx cx d a     

   
42
0y f x ax bx c a    

a >0
a <0
a >0


lim ( )

 
x
fx

lim ( )

 
x
fx

lim ( )

 
x
fx

(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)
b) Chiều biến thiên:
+ Tính y’=?
Cho
  y' 0 x ?

+ Bảng biến thiên:
x
-

? +

34y x x  

Nội dung Bài giải
Giải thích –chỉ cách ghi
nhớ cho HS
1. Tập xác định:
D 

Bước 1: Tìm tập xác định
của hàm số
2. Sự biến thiên:
a. Giới hạn:
lim
x
y

 
;
lim
x
y

 

Bước 2: Chỉ cần tìm giới
hạn của số hạng có mũ cao
nhất, ở đây là tìm
3
lim ??
x

-∞ - 4

Bước 4: BBT luôn gồm có
“ 3 dòng”: dành cho x, y’
và y.
- Dòng 1: Ghi nghiệm của
đạo hàm (nếu có).
- Dòng 2: Xét dấu của đạo
hàm.
- Dòng 3: Ghi chiều bt, cực
trị, giới hạn
Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0. Điểm cực tiểu:
x = 0; y = -4
Hàm số đồng biến trên các khoảng
   
  ;2 à 0;v
, nghịch biến trên khoảng
Bước 5: Phải nêu điểm cực
đại; điểm cực tiểu; (nếu
không có thì không nêu
ra); các khoảng đơn điệu
CĐ
CT
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
5

 
2;0

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
 
2
31y x x   
.
Giải
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
 
2
31y x x   
.
2,00
1. TXĐ:
D 

0,25
2. Sự biến thiên và cực trị của hàm số.
a) Sự biến thiên
Ta có:
  
2
' 3 6y x x
; Cho
   

     

  

2


4
2
-2
5
(C)
d: y=m-1
y

3

-1
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
   
 ;0 à 2;v
,
đồng biến trên khoảng
 
0;2
.
* Hàm số đạt cực đại tại
  2 3,
CD
xy
Hàm số đạt cực
tiểu tại
   0 1.


Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
42
22y x x   Nội dung Bài giải
Giải thích –chỉ cách ghi
nhớ cho HS
1. Tập xác định
D 

Bước 1: Tìm tập xác định
của hàm số
2. Sự biến thiên:
a. Giới hạn:
lim
x
y

 
;
lim
x
y

 

Bước 2: Chỉ cần tìm giới
hạn của số hạng có mũ cao

All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
7

4
lim ??
x
x



b. Chiều biến thiên:
y’ = 4x
3
- 4x
y’ = 0  4x
3
- 4x = 0  x(4x
2
– 4) = 0 x =
0; x = 1; x = - 1
Bước 3: Tìm y’ và lập
phương trình y’ = 0 tìm
nghiệm (nếu có thì ghi ra
nếu vô nghiệm thì nêu vô
nghiệm) – vì chủ yếu là để
Tìm dấu của y’ sử dụng
trong bảng biến thiên
c. Bảng biến thiên:

3. Đồ thị hàm
số:
Giao điểm với
Ox:
x = ; y = 0
x = - ; y = 0
Giao điểm với
Oy:
x = 0 ; y = - 3 Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực
hiện theo thứ tự gợi ý sau:
1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
2. Xác định các điểm cực
đại, cực tiểu, giao điểm với
Ox, Oy
3. Dựa vào BBT và dạng
đồ thị để vẽ đúng dạng
(tham khảo các dạng đồ
thị ở sau đây)
CĐ
CT
CT
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
8

Ví dụ 4: Cho hàm số:

y
xy

0,50
f) Giới hạn:
lim ; lim
 
   
xx
yy

0,25
g) Bảng biến thiên
x


3
0
3



y’
– 0 + 0 – 0 +
y

4


CT CĐ CT

   
2; 4 ; 2; 4 .  

0,50
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
9

(
C
)
(
d
)
:

y
=
m
+2
4
-5
3
-
3
O
y
x


  
2
12y x x  
6.
3
3y x x 7.
42
41y x x  
8.
24
12y x x  

II. HÀM NHẤT BIẾN:
 



ax b
y f x
cx d
, (c  0; ad–bc 0)
1) Tập xác định:




d


Cung cấp bởi All-lovebooks
10

+

   
   
   
   
    
dd
xx
cc
d
lim y ? vaø lim y ? x
c
là tiệm cận đứng
+
 
   
xx
a a a
lim y vaø lim y y
c c c
là tiệm cận ngang
(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)
b) Chiều biến thiên:
+
 

y
? ?
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)
. Kết luận về chiều biến thiên của hàm số.
. Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị :
a) Điểm đặc biệt:
+ Giao điểm với Oy: Cho
x 0 y ?  

+ Giao điểm với Ox: Cho
y 0 x ?  

+ Điểm cho thêm
b) Vẽ đồ thị:
x
y
O

Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua giao điểm I(?;?) của 2 đường tiệm
cận.
Ví dụ 5: Khảo sát hàm số
2
1
x
y
x





Tiệm cận ngang: y = - 1 vì
lim 1
x
y


lim 1
x
y



Bước 2: Hàm số luôn có
2 tiêm cận là tiệm cân
đứng và tiệm cận ngang
b. Chiều biến thiên:
y’ =
2
3
( 1)x


< 0 xD.
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác
định
Bước 3: Tìm y’ và dựa
vào tử số để khẳng định
luôn luôn âm (hay luôn
luôn dương) từ đó suy ra:

Bước 6:Vẽ đồ thị cần
thực hiện theo thứ tự gợi
ý sau:
1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
và xác định giao điểm
với Ox, Oy.
2. Vẽ 2 đường tiệm cận
đứng và ngang. Sau đó
vẽ chính xác đồ thị qua
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
12 các điểm đặc biệt.
3. Nhận xét hàm số có
bao nhiêu dạng đồ thị và
áp dụng dạng đồ thị phù
hợp cho bài toán của
mình
(tham khảo các dạng đồ
thị ở sau mỗi dạng hàm
số)
Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến
3.
1
2
3
y
x



4.
21x
y
x


5.
2
21
x
y
x


Chủ đề 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Cho hàm số
y m x mx m x

x
O
I
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
13

(1) đồng biến trên R


yx0,





m 2

Câu 2. Cho hàm số
y x x mx
32
34   
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 0
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên
khoảng
( ;0)
xm
y
xm
'0
1






. Hàm số đồng biến trên các khoảng
mm( ; ), ( 1; )  

Do đó: hàm số đồng biến trên
(2; )

m 12

m 1

Câu 4. Cho hàm số
32
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m      
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên
 


Ta có:
x
f x x
x
xx
x
2
2
2
2(6
( ) 0
3) 1 73
36
(4 1
0
12
)
   
    

  


All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
14

Lập bảng biến thiên của hàm

,
0,

yx



0m
thoả mãn.
+
0m
,
0

y
có 3 nghiệm phân biệt:
, 0, mm
.
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi
1 0 1   mm
.
Vậy


;1m 
.
Câu 6. Cho hàm số
mx
y
xm


    
(1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
( ;1)
thì ta phải có
mm11    
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
m21  
. CHỦ ĐỀ 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
15

Câu 7. Cho hàm số
y x x mx m
32
3 –2   
(m là tham số) có đồ thị
là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (C



(2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1


m
gm
30
( 1) 3 0



  

   




m 3

Câu 8. Cho hàm số
y x m x m m x
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4       
(m là
tham số) có đồ thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

m12
.
Câu 9. Cho hàm số
32
1
(2 1) 3
3
y x mx m x    
(m là tham số) có đồ
thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một
phía đối với trục tung.


TXĐ: D = R ;
y x mx m
2
–2 2 –1


.
Đồ thị (C
m
) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung


m









Câu 10. Cho hàm số
32
32y x x mx   
(m là tham số) có đồ thị là
(C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều
đường thẳng
yx1
.

Ta có:
2
' 3 6  y x x m
.
Hàm số có CĐ, CT

   
11 1222
22
2 2 ; 2 2
3 3 3 3
       
       
       
     




y y x y y
m
x
m m m
xx
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là

:
2
22
33
mm
yx
   


Cung cấp bởi All-lovebooks
17    
2
1 2 1
1 2 1
2
2
2211
22
22
33
22
3 .2 6 0
33
   
       
   
   

   

      



II

2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau
qua đường thẳng y = x.


Ta có:
y x mx
2
36


;
x
y
xm
0
0
2







. Để hàm số có cực đại
và cực tiểu thì m

0.

2









m
2
2


Câu 12. Cho hàm số
y x mx m
32
3 3 1    
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực
tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:
xy8 74 0  
.



y x mx
2


AB m m
3
(2 ;4 )

Trung điểm I của AB có toạ độ:
I m m m
3
( ;2 3 1)

Đường thẳng d:
xy8 74 0  
có một VTCP
(8; 1)u 
.
A và B đối xứng với nhau qua d


Id
AB d








3
8(2 3 1) 74 0

3 ' 3 6      

Hàm số có cực đại, cực tiểu


y 0


có hai nghiệm phân biệt
mm9 3 0 3


     

Ta có:
y x y m x m
1 1 2 1
2
3 3 3 3
   

    
   
   

Tại các điểm cực trị thì
y 0


, do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn

3

.
d:
xy–2 –5 0

yx
15
22
  


d có hệ số góc
k
2
1
2


All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
19

Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d



1
2

.



y x m x
2
' 3 6( 1) 9   

Hàm số có CĐ, CT


m
2
' 9( 1) 3.9 0

   

m ( ; 1 3) ( 1 3; )        

Ta có
m
y x y m m x m
2
11
2( 2 2) 4 1
33



  




Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
y m m x m
2
2( 2 2) 4 1     

All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
20

A, B đối xứng qua (d):
yx
1
2




AB d
Id





2
 xmxy

+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx


PT
0'y
có hai nghiệm
phân biệt
21
, xx
PT
03)1(2
2
 xmx
có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx
.






( 1) 4 3 1      
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là
313  m
và
.131  m

Câu 16. Cho hàm số
y x m x m x m
32
(1 2 ) (2 ) 2      
, với
m
là
tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1m
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho
xx
12
1
3


5
' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0
4
1




         




(*)
Hàm số đạt cực trị tại các điểm
xx
12
,
. Khi đó ta có:
m
xx
m
xx
12
12
(1 2 )
3
2
2
3


            

Kết hợp (*), ta suy ra
mm
3 29
1
8

   

Câu 17. Cho hàm số
y x m x m x
32
11
( 1) 3( 2)
33
     
, với
m
là
tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m 2
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12


mm
2
0 5 7 0


    
(luôn đúng với

m)
Khi đó ta có:
x x m
x x m
12
12
2( 1)
3( 2)

  






 
xm

12
,
thỏa
xx
12
4
.



y x mx
2
12 2 –3


. Ta có:
mm
2
36 0,


   


hàm số
luôn có 2 cực trị
xx
12
,
.

a)
y x x mx
32
31   
;
xx
12
2 3
ĐS:
m 105
.
Câu 19. Cho hàm số
y m x x mx
32
( 2) 3 5    
, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
đã cho có hoành độ là các số dương.


Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là
các số dương


PT
y m x x m =
2
' 3( 2) 6 0   
có 2 nghiệm dương phân biệt

  

   


       

  
         

  

  
   








.
Câu 20. Cho hàm số
y x x
32
–3 2
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d:

32
5
2 2 2
5
x
yx
yx
y








  







42
;
55
M




có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,
thỏa
mãn:
xx
12
1
.



mm
gm
Sm
2
4 5 0
(1) 5 7 0
21
1
23



   


   

   y x mx m

Hàm số (1) có cực trị thì PT
0

y
có 2 nghiệm phân biệt

22
2 1 0x mx m    
có 2 nhiệm phân biệt
1 0, m   

Khi đó: điểm cực đại
A m m( 1;2 2 )
và điểm cực tiểu
B m m( 1; 2 2 )  

Ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m

  
     



Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực
trị
x y x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
.
Chia y cho y

ta được:
m
y x y x m m
2
1
2
33


    



All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ

Cung cấp bởi All-lovebooks
25

Khi đó:
y x m m
2

Hàm số có CĐ, CT
2
' 3 6 0y x x m    
có 2 nghiệm phân biệt
12
;xx' 9 3 0 3mm      
(*)
Gọi hai điểm cực trị là
   
1212
; ; ;A B xyyx

Thực hiện phép chia y cho y

ta được:
1 1 2
' 2 2
3 3 3 3
mm
y x y x
     
     
     
     

    
   
   

Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d:
yx43 2
24
3
3
23
3
m
m
m


   


  
  





