ĐS-GT 11

FB: />
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Các giá trò lượng giác của cung (góc) :
 sin luôn xác đònh  R và sin( + k2) = sin
cos luôn xác đònh  R và cos( + k2) = cos
 - 1  sin  1 (sin 1).

 - 1  cos  1 (cos  1).



 tan xác đònh khi    k và tan(k) = tan;
2

cot xác đònh khi   k và cot( + k) = cot.
 Dấu của các giá trò lượng giác của góc 
Phần tư
Giá trò lượng giác
sin
cos
tan
cot

I

II

1

tan

0

cot

kxđ


(300)
6
1
2
3
2
1


(450)
4
2
2
2
2


(600)
3

sin 2 

(  k, k  Z).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 1  tan 2  

1
0

0

1
cos 2 



(   k , k  Z).

2

 tan.cot = 1 (   k , k  Z).
2

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11


5. Các công thức lượn giác thường sử dụng:
Công thức cộng:
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
sin(a-b) = sinacosb - cosasinb
sin(a+b) = sinacosb + cosasinb
tan a  tan b
1  tan a tan b
tan a  tan b
tan( a  b) 
1  tan a tan b

Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2a - sin2a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2sin2a

tan( a  b) 

Công thức biến tích thành tổng:

1
2
1
sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)]
2
1
sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]
2

sin 2 a 
2
1  cos 2a
tan 2 a 
1  cos 2a
cos 2 a 

Công thức biến đổi tổng thành tích:
uv
uv
cos
2
2
uv
uv
cosu - cosv = -2sin
sin
2
2
uv
uv
sinu + sinv = 2sin
cos
2
2
uv
uv
sinu - sinu = 2cos
sin
2

sinx

M'

sinx

M

x
A'

O

A

x

O

x

x

B'

 Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx
sin: R  R
x  y = sinx
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx
 Tập xác đònh của hàm số sin là: D = R.


 Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx
cos: R  R
x  y = cosx
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx
 Tập xác đònh của hàm số côsin là: D = R.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
2. Hàm số tang và hàm số côtang:
a) Hàm số tang: Hàm số tang là hàm số được xác đònh bởi công thức
y=

sin x
cos x

(cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx.

 Tập xác đònh của hàm số y = tanx là: D = R\{


+ k, k  Z}.
2



1
x2

sinx2
sinx1

A'

O

sinx2

x1

sinx1

A x

O

x1

x2



x3

x4


0
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
* Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy
đối xứng đồ thò hàm số trên đoạn [0; ] qua gốc
tọa độ O, ta được đồ thò hàm số trên đoạn [-; 0].

y
1
-

-


2

O





2

x


2

2



2

2

x

5
2

-1

2

c) Tập giá trò của hàm số y = sinx:
Tập giá trò của hàm số y = sinx là T = [-1; 1].
2. Hàm số y = cosx:
 Hàm số y = cosx xác đònh với mọi x  R và -1  cosx  1;
 Là hàm số chẵn;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2;
 Hàm số y = cosx đồng biến trên [-; 0] và nghòch biến trên [0; ].
 Bảng biến thiên:
x






2

O

2


2

-1

3
2

2

5
2

x

 Tập giá trò của hàm số y = cosx là T = [-1; 1].
Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


T1

tanx1

A

O

M1

A'

O

x1 x2

x


2

B'

Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;
Bảng biến thiên:
x


4



-

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


2

O


2

x

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: />
 Đồ thò hàm số y = tanx trên D:

-3

-

2

-

0

x



+
y = tanx

0
-
y


O


2

x

b) Đồ thò hàm số y = cotx trên D:
y

-2

-3

-



FB: />
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình sinx = a:
Xét phương trình sinx = a (a  R) (1)
Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm
Trường hợp a  1:

sin
1
M'

 x    k 2

sinx= sin  
(k  Z )
 x      k 2

B
M

a K

A' -1

1 A
côsin

O


k
2

[
180



k
360
]


 sinu(x) = a
(-1  a  1)
sin u( x )  a
(sin u( x )  a)

 u( x )  arcsin a  k 2 [arcsin a  k 360 0 ]

 

(k  Z )
0
0
u
(
x
)

2

 Đặc biệt: sin[f(x)] = 1  f(x) =

sin[f(x)] = 0  f(x) = k, k  Z.
2. Phương trình cosx = a:
Xét phương trình cosx = a (a  R) (2)
Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm
Trường hợp a  1:
 x    k 2

cosx = cos  
(k  Z )
 x    k 2

sin
1

B
M

A' -1

a

O

1 A
côsin



(k  Z )
0
0
 u( x )    k 2 [   k 360 ]

 cosu(x) = a
(-1  a  1)
cos u( x )  a
[cos u( x )  a]

u( x )  arccos a  k 2 [arccos a  k 360 0 ]

 

0
 u( x )   arccos a  k 2 [ arccos a  k 360 ]

(k  Z )

 f ( x )  g( x )  k 2
(k  Z )
 f ( x )   g( x )  k 2

 Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)]  

 Đặc biệt: cos[f(x)] = 1  f(x) = k2, k  Z
cos[f(x)] = -1  f(x) =  + k2, k  Z
cos[f(x)] = 0  f(x) =



ĐS-GT 11

FB: />
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
THƯỜNG GẶP
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG at 2  bt  c  0 ( a  0 ), với t là một hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx, …)
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x
DẠNG a sin x b cos x c ( a 2  b 2  0 )
- Chia hai vế của phương trình cho a 2 b2 , phương trình trở thành
a
a

2

b

2

b

sin x
a

2

b

2


nên có góc

sao cho

a
a2

, ta có phương trình tương đương : sin x cos

sin

b2

2

2

a

- Vì

c

cos x

và

cos



k

2
k

( a 2  b2  c2  0 )

có thỏa phương trình không ;

( cos x 0 ), chia hai vế của phương trình cho cos 2 x để đưa về phương

trình theo tan x .
Chú ý: Đồi với các phương trình a sin 2 x b sin x cos x 0 , b sin x cos x c cos 2 x 0 ta có thể
giải bằng cách đưa về phương trình tích.
- Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi, phương trình thuần nhất bậc hai
được chuyển thành phương trình bậc nhất theo sin 2x và cos 2x .
- Với hằng đẳng thức d

d sin 2 x

d cos 2 x ,

phương trình a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d

cũng được xem là phương trình thuần nhất.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ