ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Giảng viên hướng dẫn:
PGS.TS. Đặng Đình Châu

HÀ NỘI - 2015

luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân
có chậm. Phương pháp được sử dụng chủ yếu là các phương pháp thông dụng trong
lý thuyết định tính của phương trình vi phân tuyến tính. Trong phần cuối có áp dụng
thêm phương pháp nửa nhóm và phương pháp họ toán tử tiến hóa trong không gian
Banach.
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
• Chương 3: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm bị nhiễu.

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của
quý thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015
Học viên: Bùi Trọng Quy

2


Mục lục
1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

6

Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian
Banach và toán tử sinh của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
2.1

3

8

1.3

phân được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

6

15
17

Khái niệm về phương trình vi phân hàm và phương pháp tìm nghiệm
của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2



3.2

Các tính chất của họ toán tử tiến hóa U (t, s) . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

Sự tương đương tiệm cận của phương trình vi phân hàm bị nhiễu . . .

31

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

42

Tài liệu tham khảo

43

4


Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
X - Không gian Banach

∑ | ξ n |2

||ξ || =

n =1

.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1 này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả cơ bản được sử dụng
trong các chương sau. Các kết quả trong chương này không có chứng minh và được
trích dẫn trong các tài liệu [2],[4],[8], [10].

1.1

Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh
trong không gian Banach và toán tử sinh của nó

Định nghĩa 1.1. Họ các toán tử tuyến tính bị chặn ( T (t))t≥0 trên không gian Banach X
được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu nó thỏa mãn:
T (t + s) = T (t) T (s) với mọi t, s ≥ 0
T (0) = 1
và là liên tục mạnh. Tức là ánh xạ quỹ đạo ξ x : t → ξ x (t) = T (t) x là liên tục từ R+ vào X
với mọi x ∈ X.
Các tính chất trên thỏa mãn trên R thay vì R+ ta gọi ( T (t))t∈R là nhóm liên tục
mạnh trên X.

D ( A) := { x ∈ X : ξ x là khả vi}
Mệnh đề 1.3. Với toán tử sinh A : D ( A) ⊆ X → X của nửa nhóm ( T (t))t≥0 ta có các tính
chất sau đây:
(a) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ) x =

+∞ −λs
e
T (s) xds
0

tồn tại với mọi x ∈ X thì λ ∈ ρ( A) và

R(λ, A) = R(λ).
(b) Nếu Reλ > w thì λ ∈ ρ( A) và giải thức R(λ, A) xác định trong phần (a).
(c) R(λ, A) ≤
Khi đó R(λ, A) x

M
Reλ−w ∀ λ : Reλ > w.
+∞
= 0 e−λs T (s) xds gọi

là biểu diễn tích phân của giải thức.

Định lý 1.1. (Xem tài liệu [10])( Định lý Hille- Yosida về toán tử sinh)
Đối với toán tử ( A, D ( A)) trên không gian Banach X các tính chất sau là tương đương:
(a) (A,D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh.
(b) (A,D(A)) là đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > 0 ta có λ ∈ ρ( A) và
λR(λ, A) ≤ 1
7


∞
0

f (t)e− pt dt

được gọi là ảnh của f (t) qua phép biến đổi Laplace. Phép biến đổi
L : f (t) → F ( p)
được gọi là phép biến đổi Laplace. Ta kí hiệu:
F ( p) = L[ f (t)]
Giả sử f (t) là hàm gốc và
F ( p) =

+∞
0

8

f (t)e− pt dt


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thế Hoàn-Phạm Phu Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB
ĐHQG Hà Nội (2000)
[2] Nguyễn Thủy Thanh, Hàm biến phức với phép biến đổi Laplace, MS. 20. KHTN,
(2000)
[3] C. Travis and G. Webb, Asymptotic stability for abstract nonlinear functional differential equations, Proc. Amer. Math. Soc., in press.
[4] D. D. Chau, On The Asymptotic Equivalence of Linear Delay Equations in Banach
Space, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 31, Number 1, (2006), 31-38.
[5] D. D. Chau and N. B. Cuong, On the asymptotic behavior of delay differential equations and its relationship with C0 − semigroup, VNU Journ of Science,