Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

(MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH)

Gửi tặng: www.toanmath.com

Tải thêm tài liệu môn Toán THPT tại:
+ Trang web: www.toanmath.com
+ Fanpage: www.facebook.com/toanmath
+ Groups: />
Bỉm sơn. 13.03.2011

1


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH
(Một phương pháp nhằm phát triển tư duy)

I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Bài tập giải mẫu:
3


0


3


3

0

0

I   tan 3 tdt   tan t  tan 2 t  1  1 dt   tan t  tan 2 t  1dt    tan tdt

3


3

  tan td  tan t   
0

0

d  cos t 
cos t


 tan 2 t

Khi đó I  x 2 ln  x 2  1
2
0

3


0

1
x ln  x  1 dx  3ln 2 
2
2

3

 ln  x

 1 d  x 2  1
0

2

J

3

Tính J 

 ln  x

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

1
3
Khi đó I  3ln 2   x2  1 ln  x2  1

2 
0

 3
2
1
d
x

   ln 2


0
 2
Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì
3

Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I  


x3
dx 
x2  1

3


0

x2 x
dx
x2  1

2

x  t  1

Đặt t  x  1  
dt
 xdx 

2
t  4
 x  3
Đổi cận 

 x  0
t  1
2


x

1



1  2
d  x  1 
2

2 0 x 1
2 0 x 1
2 0
x  1

Khi đó I 

3

3

d  x 2  1

x2 3
3 3
2
0 d  x  1  0 x2  1  2 0  ln  x  1 0  2  2 ln 2
Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn
2
3

0
0
0
1

2

2

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức
để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất
Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức)
Ta có x 3  x  x 2  1  x
3

Khi đó I 


0

x3
dx 
x2  1

3

x 
x2 3 1

x


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Bài 2: Tính tích phân bất định: I  

Email:

3 x3
3 x3
dx

  x  1 x  2  dx
x2  3x  2

Giải:
Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
Phân tích x 3  x  x 2  3 x  2   3  x 2  3x  2   7  x  1  1
Khi đó
x  x 2  3x  2   3  x 2  3 x  2  7  x  1  1
3x 3
I  2
dx  
dx
x  3x  2
x2  3x  2


7






x2
x2
 3 x  7 ln x  2  ln x  2  ln x  1  C   3x  8ln x  2  ln x  1  C
2
2
Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
Phân tích x 3  x  x 2  3 x  2   3  x  1 x  1   2 x  3


 x  x 2  3 x  2   3  x  1  x  2   3   2 x  3  x 2x  3x  2  3 x  1 x  2  9 x  1   2 x  3
Khi đó
x  x 2  3x  2   3  x  1  x  2  3   2 x  3
3x 3
I  2
dx  
dx
x  3x  2
x 2  3x  2
9 
2x  3
x2

  x 3
dx


dx   3 x  I1 .
x  3x  2
2
Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức….
Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn
3 x3
9x  8 
9x  8

I 2
dx    x  3  2
dx
dx    x  3 dx   2
x  3x  2
x  3x  2 
x  
3x  2 


I1

Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức….

x3
x3
Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I   2
dx  
dx
2
x  2x 1


du

u

3


du

 3u  3ln u   C

2
2 

2
u
u u 
u


với u  x  1
Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức
Phân tích x 3  x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3  x  1  1
x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3  x  1  1
x3
Khi đó I   2
dx  
dx
x  2x 1

x2  2 x  1
1 
3
2x  2
x2
3

  x 2
dx

dx

 2 x  ln x  1  ln x2  2 x  1  C

2

x 1 
2 x  2x 1
2
2

Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích x 3  x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3x  2
x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3x  2
x3

dx
dx

x2  2x 1


1
x

1

 x  1



x2
1

 2 x  3ln x  1 
C
2
x 1
Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
u  x 3
du  3x 2 dx


dx  
Đặt 
1
dv 
v
2




x3
1 
x3


 3  x  1 
dx



3
  x   ln x  1  C

x 1
x 1
x 1  2


I 

Bài 4: Tìm nguyên hàm: I  

x 2 dx
39

1  x 

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân

1

1  x 

38

dx  

1

1  x 

39

dx 

1
1
2
1
1
1


C
36
37
36 1  x 
37 1  x 
38 1  x38



1
dx  
Đặt 
v
dv 
38
39


38  x  1
1  x 


1
1
x
 
dx …. đến đây các bạn có thể tự làm rồi
Khi đó I  x 2
38
19  x  138
38  x  1
Bài 5: Tìm nguyên hàm: I  

x 3 dx
( x  1)10

Giải:

dx
dx
I 
 3
 3


7
8
9
( x  1)
( x  1)
( x  1)
( x  1)10
1 1
3 1
3 1
1 1




C
6
7
8
6 ( x  1)
7 ( x  1)
8 ( x  1)
9 ( x  1)9

C
6
7
8
6 ( x  1) 7 ( x  1) 8 ( x  1) 9 ( x  1)9
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
u  x 3
du  3 x 2 dx


dx  
1
Đặt 
dv 
v
10
9


9  x  1
 x  1


Khi đó
x2
1
1
I   x3

dx ...


f  x  Q'  x 
Qn  x

dx thì ta sử

dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của  x  a  là n  1, 2
u  f  x 

du
Đặt: 

Q'  x 
dv  Q n x dx v
 

3

Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I 


0

dx

x  x3

3

dx

 x 1  x   x 1  x 
2

0

2

2

0

7


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

x2  t  1

Đặt t  1  x 2  
dt
 xdx 

2
Cách 3: Biến đổi số
Đặt x  tan u … Bạn đọc tự giải

x 2

3


0

d 1  x 2 
1 x

2

 ln x

3

1
3
6
 ln x2  1
 ln
2
2
0
0

dx
x  x3
5


Khi đó
2
2
2
1
1
1
1 5
x
 1 1
2 3
I   3 dx   dx   2
dx   
 ln x  ln x 2  1    ln 2  ln
2
2
2 2
x
 2x
1 8
1 x
1
1 x 1
Cách 1.2: Phân tích: 1  x 4  1  x 4  x 4  1  x 2 1  x 2 




x3


1



... tự làm nhé
Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số
2
2
1
1
1
Phân tích I   3 2
dx   . 2 2
dx
x x x 1
x 1
1 x
1









1

x

Khi đó I    t
dt   2
dx... đến đây lại trở thành bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé
1
1
t

1


1
1
  1
2
t2  t2

Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số
2
2
1
x
I 3 2
dx   4 2
dx
x 1
x 1
1 x
1 x
1
2


 ln

 dt   
 2   ln 2  ln
2
2

2 2   t  1
t 1 t 
2  t 1
t 1 
8
2 2
2 t  t  1


Hoặc các bạn có thể đặt u  t  1 hoặc phân tích 1  t   t  1 hoặc đồng nhất thức
5

dt

Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân
2
2
2
1
x
1
1

2
2
2
2
2
1 x 1  x
1 1
1
1
2
2
  4 2
d x 1   4 d x 1   2 2
d x2  1 
2 1 x x 1
21 x
2 1 x x 1



2


1







A B C Dx  E
đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm I  A, B, C , D, E tuy nhiên
 3  2   2
3
2
x
x
x 1
x  x  1 x
việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả
nhất
Cách 6: Đặt x  tan u  dx   tan 2  1 dt … bạn đọc tự làm
1

Bài 14: Tính tích phân sau: I  
0

dx
x 1
3

Giải:
Nhận xét: x 3  1   x  1  x 2  x  1
Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:
1  x 2   x 2  1  x 2   x  1 x  1
1

Khi đó I  
0


 2 x  1  (kĩ thuật nhảy tầng lầu)
2
2
1
1
1
x 1
dx
1
2x  1
1
Ta có I 2   2
dx   2
dx  
2
2 0 x  x 1
20
1 3
0 x  x 1
x 2  4


Cách 2: Đồng nhất thức
A
Bx  C
1
Xét 3

 2
 1  A  x 2  x  1   Bx  C  x  1


Đặt x  1  t  dx  dt
 x  0 t  1
Đổi cận 

x  1
t  2
2
2
2

1  t 2  3t  3   t 2  3t 
1  dt
t 3


dt 
dt




2
2
2

 31
3  1 t 1 t  3t  3 
t  t  3t  3
1 t t  3t  3

t2
  ln 2
 3 arctan
  ln 2 
3  2 t  3t  3
3 1 3
3 3
3x 4  5 x 3  7 x  8
Bài 15: Tính tích phân bất định: I  
dx .
 x  2 50
Giải :
Cách 1: Biến đổi số
x  t  2
Đặt x  2  t  
dx  dt
4

3

3  t  2   5  t  2  7  t  2   8
3x 4  5 x 3  7 x  8
Khi đó I  
dx  
dt
50
t 50
 x  2
Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức


 x  2 
 x  2 
 x  2 4
P4  x   P4  2  
1!
2!
3!
4!
2
3
4
 P4  x   66  149  x  2   48  x  2   29  x  2  3 x  2
2

3

4

66  149  x  2   48  x  2   29  x  2  3  x  2
I
dx
 x  2 50
   66  x  2 


66
49  x  2 

49


2

Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I 


1

46



47

46
 3 x  2  dx

3
45
45  x  2

C

x2  1
dx
x4  x 2  1

Giải:
1 5
2


2

dx 


1

1 

1  2 
x 

dx
2
1

 x  x  1



1
1 

 dt  1  2  dx .
x
x 

x  1
t  0



Khi đó I  

du   du  u 4  .
2
2
4
0 1 t
0 1  tan u
0
0
Cách khác:
1

2

11


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Ta có thể gộp hai lần đặt là x 

Email:

1
1 


1 x 
1
x  2
x2
x

2

Đặt u  x 

1
1 

 du  1  2  dx
x
x 

5
2

Khi đó I 

1

u
2

du
1
u  2 5/ 2

nên không đưa ra
Nhận xét:
- Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích
phân đơn giản hơn
- Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai P  x   x 2  1 còn mẫu là một đa thức
bậc 4: Q  x   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e sao cho hệ số a  e  1

1
1 
1 
1 


- Tích phân trên đưa về dạng I   f  x   1  2  dx đặt t  x   dt   1  2  dx
x
x 
x 
x 


Tương tự ta có thể giải bài toán này
2

1. Tính tích phân sau I  
1

x2 1
dx
x4 1



12


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

I

Email:

x2  1

1 x2  5x  1
dx


ln
C
8 x2  3x  1
 x 2  5x  1 x 2  3x  1
1

4

Bài 18: Tính tích phân sau: I   x3  x4  1 dx
0


Đổi cận 

 x  0 t  0
4

Khi đó I   x3  x 4  1 dx 

1
1
1
1
1
t 5  1 31
4
2
3
4
2
3
4
Khi đó I   1  t  dt   1  4t  6t  4t  t dt   t  2 t  2t  t   
40
40
4
5  0 20
Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân

5

4


   
4
2
2
4  0 20
 20
0
0
Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo
tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất
1
6
1
Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx 
168
0
3

4

4

Giải:
1

6

1


3

0
1
1
1 6
1 6
1 6 7
1  t 7 t8
t

t
dt

t

t
dt

t

t
dt

1
1
 
 

 3 7  8


0

0

1
1
6
7
1
1 1  x
   1  x3  d 1  x 3    1  x3  d 1  x3    .
30
3
7
0

0

3 7



6

8

3
1 1  x  1
1


0
Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
2
2
3
2
Ta có x  x  1   x  1  1  x  1   x  1   x  1

2

2

2

3

2

2
3

2

Khi đó I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 d  x  1    x  1 d  x  1 
0

0

0

3

 t 4 t 3  3 34
Khi đó I    t  1 t dt    t  t  dt     
 4 3 1 3
1
1
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
2

3

2

14


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

du  2  x  1 dx
u   x  12

Đặt 

x2


1

Giải:
Cách 1: Biến đổi số
Đặt t  x  1  dt  dx
 x  1 t  0
Đổi cận 

x  0
t  1
Khi đó
0

I

1
9

1

1

2

2
9
2
9
11

0

I

0

0

9
2
9
11
10
9
2
 x  x  1 dx    x  1  2  x  1  1  x  1 dx    x  1  2 x  1   x  1  dx

1

1

12

1

11

10

  x  1

- Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển  x  1 hay phương pháp tích phân từng
phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của  x  1 là lớn
1

Bài 22: Tính tích phân: I   (1  3x )(1  2 x  3x 2 )10 dx
0

Giải:
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t  1  2 x  3 x2  dt  (2  6 x) dx  dt  2(1  3 x)dx 

dt
 (1  3x )dx
2

15


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

 x  0 t  1
.
Đổi cận: 

x  1

1
  1  2 x  3 x 2  d 1  2 x  3 x 2  
20
22
1

2 11



611

1
0 22

1

Bài tập tự giải có hướng dẫn:
2

Bài 1: (ĐHV – D 2000) Tính tích phân sau: I  
0

3x 3
dx
x2  2 x  1

Đs: I  9 ln 3  8
2


x 


1
1 

Cách 1: Biến đổi số đặt t  x   dt   1  2  dx
x
x 

Cách 2: Biến đổi vi phân
1

1
dx 
1 2
2
2
1 
1 
1
x

 2

x
I
dx  
dx   ln  x   1  ln  x   3  
1

HD:
5
3
2
2
Đồng nhất thức: x  x ( x  1)  x ( x  1)  x

16


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

1

1

x 
1
1

1 4 1 2 1

2
 I    x3  x  2
dx   x  x  ln( x  1)]  ln 2  .


ta được I 
3
2
3
18
2
1  2 x  2  1  2 x  1  2 x  
Hoặc đặt t  1  2 x Hoặc tích phân từng phần
1
21
13
x2  3
Bài 10: Tính tích phân: I  
dx   ln 2  ln 3
4
2
4
4
1 x  x  3x  2 
2

HD:
Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt t  x 2
Cách 2: Phân tích mẫu x  x 4  3 x 2  2   x  x 2  1 x 2  2  và sử dụng đồng nhất thức
1

Bài 5: Tính tích phân: I  
0


44
1 x  2 x  5x  4 x  4
2

HD:
Phân tích x 4  2 x 3  5 x 2  4 x  4   x 2  x  2

2

Cách 1: Đồng nhất thức
Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho x 2 và đặt t  x 
0

Bài 7: Tính tích phân sau: I 



1

2
Hoặc đưa vào vi phân
x

x 2 dx

x

2

3

Phân tích x 2   x 2  1  1
0

Khi đó I 



1

0

x 2 dx

x

2

 1

3





1

0

dx


x 1
3

3x  1

dx

Giải:
Cách 1: Biến đối số

u3  1
x


Đặt u  3 3x  1  
3
dx  u 2 du


7

u  2
x 
Đổi cận 
3
u  1
 x  0
u3  1
1


18


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

u 1
 53
1
2
1
2 
 
8 46
18 3
18u2
1 8 3
1
3u

3
 3u 3  
du   1 du    u  2 u  du  
Khi đó I  
1

dx
1 3x  1
2
1
23

3
3
3
I 3
dx   3
dx   3
   3 x  1 d  3 x  1    3 x  1 3 d  3 x  1
3 0 3x  1
3 0 3x  1 9 0
90
3x  1
0
7
7
5
2
1
1
46
3
3
  3x  1 3   3 x  1 3 
15
3


Khi đó
I

1
 x  1 3 x  1
2

2
3

7
3

7

2
7
2
1
x

3
1
3
1 
1
13
3
 

C4: Đặt x  t
C5: Phân tích x 3 dx  x 2 xdx   x 2  1  1 d  x 2  1
2

Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân sau: I 

x
2

dx
x2  1

Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số

19


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

1
sin tdt
1
 
 dx 

 12
4 3

 sin t

1  cos2 t
4
4
4
4
cos 2 t
Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho x ta được
2
2
dx
xdx
I 
 
2
2
x2  1
2 x x 1
2 x

Đặt x 

x2  t 2  1
Đặt x  1  t  
 xdx  tdt

du   tan 2 u  1 du
2
cos u
t 1
2



u  3
t  3
Đổi cận 

t  1
u  

4


tan u  1
Khi đó I  
du   du  u 4 
2
 12
 tan u  1

3
3
3
Cách 3: Phương pháp biến đổi số
x2  t  1

Email:

1

t

 x  2

2
Đổi cận 

 x  2
t  1
 2
1
2

Khi đó I   
1
2

dt
1  t2

1
2



dt

Khi đó I 


4

cos u


2

2

2

x2  1
x

dx  
dx … bạn đọc tự giải
2
2
x
x x 1
x

1
2
2
 
dx

1  dt
Khi đó I   2
 

 ln
  ln
43 t 2 3 t 2 4 t 2 3 4 3
3 t 4
Cách 2: Phương pháp biến đổi số
1
1
Đặt x   dx   2 dt
t
t
1/ 2 3

1/ 2 3
1/ 2 3 1 5
1
d (2t )
1
Khi đó I  
 
  ln 2t  4t 2  1
 ln .
2 1/ 5 (2t )2  1
2
1/ 5 4 3
4t 2  1
1/ 5



1 3 dt
t
1 5
 1  cos  1
Khi đó: I  
 ln tan 3  ln
(trong đó tan 
 )
2  sin t
2
4 3
2 1  cos  5

1

Bài 4: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: I   x 3 1  x 2 dx
0

Giải:
1

1

Phân tích I   x 3 1  x 2 dx   x 2 1  x 2 . xdx
0

0



2

2

t

0

4



1 
2
1
dt   t 3  t 5  
5  0 15
3

Cách 2: Phương pháp biến đổi số
x2  1  t

2
Đặt t  1  x  
dt
 xdx  

2
x  1

Cách 3: Đặt t  x 2 
 xdx … tự giải
2
Cách 4: Lượng giác hóa
Đặt x  cos t  dx   sin tdt


2


2

0

0

Khi đó I   sin 2 t cos3 tdt   sin 2 t 1  sin 2 t  cos tdt
Cách 4.1.
Đặt sin t  u  cos tdt  du
Khi đó

22


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

 sin 3 t sin 5 t 
2

sin t  sin t d  sin t   
 2  .
5 
15
 3
0
2

4



Cách 4.3.

2


2


2


2

1
1 1  cos 4t


2

Đặt 
1 2
2


v
x
1
 3
dv  x x  1 
3
1
2
2
2
1 21
1
2 1
2
2
2
3
3
Khi đó I  x .  x  1
  x  x  1 dx     x  1 3 d  x2  1... bạn đọc giải tiếp
3
0 30

x
1 x 1

dx

Giải:
Cách 1:
Đặt t  x  1  t 2  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt
 x  2 t  1
Đổi cận 

x  1
t  0
Khi đó
1 2
1 3
1
t 1
t t
2 

2tdt  2
I
dt  2  t 2  t  2 
 dt
1 t
t 1
t 1
0
0

x  1
t  1
2
2  t  1  t  1  1
2 3
2
t  3t 2  4t  1
1



Khi đó I  2
.dt  2 
.dt  2  t 2  3t  4   .dt
t
t
t
1
1
1
 t3
2 5
t2
 2   3  4t  ln | t |    2 ln 2
2
3
1 3
b
p ( x)
dx với p  x  là một đa thức chứa x, m, n, c là các hằng số ta đặt t  ax  b  c hoặc

  x 4  x 
2 4 x
2 4 x
Xét hàm số F  x   x 4  x vì F '  x    x 

'



4 x 



'

4x x





'

4  x x  f  x

Vậy F  x   x 4  x  C là một họ nguyên hàm của hàm số đã cho
3

Khi đó I  



8  34  t 2 
t

2

tdt 

  3t

2

 4  dt   t 3  4t 

1

2
1

3

Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số
Đặt t  4  x …bạn đọc tự giải
Cách 4: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
u  8  3x
du  3dx

Đặt 
dx  
v  2 4  x



x 2 dx
[3  ( x  1) 2 ] 3  ( x  1) 2

.

Giải:
Cách 1:
dx   3 sin tdt
Đặt x  1  3 cos t  
2
2
 x  3cos t  2 3 cos t  1
 3 sin t (3cos2 t  2 3 cos t  1)dt
 2 3 cos t
2
Khi đó I = 
)dt .
  (1 

2
2
3  3cos t 3  3 cos2 t
(3  3cos t ) 3 sin t
Cách 2:
dx
(2x  4)dx
I= 
 I1  I 2

Bài tập tự giải có hướng dẫn:
7

1

Bài 1: (ĐHĐN- 1997) Tính tích phân: I  

2  x 1

2

dx  2  4 ln 2  2 ln 3

HD: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt t  2  x  1 Hoặc t  2  x
2

Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân: I  

x 1
3

3x  2

0
7

Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân: I  

x2

x
3

2x  2



dx 

2x  1

2x  1
0 1

3

Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân: I 

3

1

x3
x 1  x  3



12
5