Bài tập đại số tuyến tính: Ma trận – Hệ phương trình
Dạng 1 Thực hiện các phép toán về ma trận
Tính chất thường dùng: (AB)t Bt At ;AB AC A(B C) ; AA t luôn là ma trận đối xứng.
1 2 1
2 4
Ví dụ 1 Cho các ma trận A 3 4 2 B 6 1
2 1 5
1 1
7
3 . Tính A2 ;AAt ;AB;Bt At ;BA
2
1 2 1 1 2 1 5 9 2
Giải A A.A 3 4 2 3 4 2 19 24 15
2 1 5 2 1 5 15 13 25
Chú ý AB BA
2 1 3
Ví dụ 2 Cho các ma trận A 4 1 0 ;
3 2 5
t
2 1 3
t
Giải AB 4 1 0
3 2 5
15
14 (Chú ý) ; BA
1
2 4 7 1 2 1 0 13 29
t
t t
3 5 1 7 3 13 ; BA (AB ) 7 3 13 4 3 1
11 1 19 25 13 19
4 1 6 11 1 19
t
2 1 3
A AC A(A C) 4 1 0
3 2 5
2
2
2
Ví dụ 3 Cho ma trận A
1
5
B
1 3
8
2
1 4
b. Đặt D AAt . Tính d 43 d34
7
6
Giải a. Ta có c32 1 2 6 8 1.(7) 2.6 6.3 8.4 55
3
4
b. Ta có AA t
A A
t
t t
t
1 3
1.
1.
2.(3) 1.(5) 1.4 3
2 1
2 1
1 1
| 2A | 23 | A | 23.3 24 ; | 4At | 43 | At | 43 | A | 43.3 192 ;
| 2A5 | (2)3 | A5 | (2)3 | A |5 (2)3 .35 1944 ; | (2A)1 |
1
1
1
1
3
3
| 2A | 2 | A | 2 .3 24
2 1 3
2 1 4
Ví dụ 2 Cho các ma trận A 3 2 1 và B 0 1 2 Tính | A |,| B|,| AB|,| A t B2 |;| ABA 1 | ; | (2AB)t |
0 0 4
1 0 13
1 2 3 1 1
2 1 3 0 0
| A |
3 1 4 1 0
3 2 1 5 0
3
3
4
1
1
0
. Tính | A |;| 2A |;| 3A t |
1
5
2 3 1
5 3 2
7 13 4
4 8 2
5 3 2
h 2 2h1
13 4
3 2
3 2
XA B X BA1
2 1 3
Ví dụ 1 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A 3 0 1
1 1 3
Giải | A | 2.
0 1
1 3
1 3
3.
( 1)
2.( 1) 3. 0 ( 1). 1 3 . | A | 0 nên A là ma trận khả nghịch.
1 3
1 3
0 1
0
1
2 3 1
3
Xét ma trận chuyển vị A t 1 0 1 Ma trận phụ hợp A*
1
3
2 1
3 3
1
1
1 1
3 3
2 1
1 1
1 0
3 1
2 3
3 1
2 3
1 0
Giải a. Ta có | A | 2.
1
3
B. Với m 1 , hãy tìm A 1
3 2
1 3
1 3
1.
3
2(15 2m) (5 3m) 3.(7) 4 m
m 5
m 5
3 2
A khả nghịch | A | 0 m 4
b. Với m 1 | A | 4 1 3 0 nên A khả nghịch. Ta có
3
2
2 1 3
1
A t 1 3 1 Ma trận phụ hợp A*
2
3 2 5
1
3
1
3
1
5
3
5
3
1
1 1
3 5
2 3
3 5
2 3
1 1
1 3
3 2
13 2 7
2 1
1 1 1
0 0
a. Tìm X để AX B
b. Tính
1
4
2
|X|
c. Tìm Y để YAt Bt
Giải. a. Ta có | A | 1.
1 3
2 1
6.
4 6 2 0 nên A khả nghịch. Vậy AX=B X=A 1B
1 1
1 1
2 1 1
Ma trận chuyển vị A 1 1 0 Ma trận phụ hợp
3 1
6 6 4
2 1
7 9
5
3 1
1 1 1
2 1
1 1
6 6 4 1 0 1
1 *
1
Vậy X A B
5 0 2 4
A B 7 9
|A|
2
1 1 1 0 0 2
1
AY t B Y t A 1B X Y X t 6 9
19
5
2
3 1 4
Ví dụ 4 Cho các ma trận A 2 1 1
8 3 2
a. Tìm X để XA B
Giải a. | A | 3.
| B | 4
2
|A| 2
2 1 0
B 2 1 3
4 2 5
2
1
1
2
A*
1
2
1
3
2
1
3
4 2
8
2
3 8
4 2
8
3
4 1
1
2 1
3 2
1 1
2 1 0 5 10 5
2 1 3 12 26 11
4 2 5 2 1
1
2
2 6 1 5
1
8
8 9 4
5
5
6 7 3 6
5
12
5
23
5
14
5
6
5
9
5
7
5
6
5
9
5
7
5
1
5
4
5
1 1 2
Giải | A | 2.( 4) 3. 1 11 0 nên A khả nghịch. Vậy AX B X A 1B
4
2 3
*
Ma trận chuyển vị A t
Ma trận phụ hợp A
1 4
3
1 4 1
2 3 2
9 3
4
1
2
1
0
9
3
2
r(A) : Hạng của ma trận A.
Phương pháp: Dùng các phép biến đổi sơ cấp A B (dạng hình thang). Khi đó r(A) r(B)
Trường hợp đặc biệt A là ma trận vuông cấp n có thể tìm hạng của A dựa vào kết quả r(A) n | A | 0
1 2 4
Ví dụ 1 Tìm hạng của ma trận A 3 1 5
1 7 1
1 2 4
1 2 4
h 3 h 2
Giải Cách 1: Ta có biến đổi A 0 5 17 0 5 17 B . Vậy r(A) r(B) 3
0 5 5
0 0 22
h 2 3h 1
h 3 h1
Cách 2: Ta có | A | 1
1 5
Giải Ta có A
B
h 3 3h1
0 8 4 9 5h4 6 h2 0 0 36 37
0 0 36 37
h 4 h1
0 6 12 16
0 0 72 74
0 0 0 0
Vậy r(A) r(B) 3
2 1 3
m 2 6
Ví dụ 3 Tìm m để hạng của ma trận sau nhỏ nhất A
3 1 3
1 2 6
1
1
0
1 2 6 1
0 3 9
0 0 0
2
1 1 3
0 3 9
1
h 2 h3
B . Nếu m 2 r(A) r(B) 2 . Nếu m 2 r(A) r(B) 3 .
0 0 0 m 2
0
0 0 0
Vậy m 2 thì hạng của A nhỏ nhất.
Dạng 5 Giải hệ phương trình tuyến tính
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
a mn b m
a m1 a m 2
a m1 a m 2
Sử dụng phương pháp khử ẩn Gauss: Xét ma trận bổ sung B của hệ. Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa B về
dạng hình thang. Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình có ma trận hình thang thu được
Ta có kết quả sau: Nếu r(A) r(B) : Hệ đã cho vô nghiệm
Nếu r(A) r(B) n (n là số ẩn): Hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Nếu r(A) r(B) r n (n là số ẩn): Hệ đã cho có vô số nghiệm với n r nghiệm tự do
2 x y z 4 t 4
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau 3x 2 y 12z t 1
x 4 y 10z 9t 9
Giải Xét ma trận bổ sung
4
4
4
4
2 1 1 4 4
2 1 1
2 1 1
2 h2 3h1
h3 h2
B 3 2 12 1 1
0 7 21 14 14 0 7 21 14 14
y 3z 2 t 2
z, t
Vậy nghiệm của hệ (x, y,z, t) (2z t 1, 3z 2t 2,z, t) (z, t )
x 3y z 2
2 x y z 11t 9
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau
4 x y 3z 15t 17
3x 2 y 2z 17t 15
0
2
1
0
2
1 3 1
1 3
h 2 2 h1
2 1 1 11 9 h3 4 h1 0 7 3 11 13 7 h3 11h2
Giải Xét ma trận bổ sung B
4 1 3 15 17 h 4 3h1 0 11 7 15 25 7 h 4 11h2
0 0 16 16 32
0 0 16 16 32
0 0 1 1
2
2
2
4
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0 0
r(A) r(B) 3 4 nên hệ có vô số nghiệm với 1 nghiệm tự do
x 5t 3
x 3y z 2
y 2 t 1
Hệ đã cho tương đương với hệ 7 y 3z 11t 13
z t 2
4 5 6 19 3
0 19 38 57 19
3 1 5 0 7
3 1 5 0 7
0 1 2 3 1 h3 h2 0 1 2 3 1
. r(A) r(B) 2 4 nên hệ có vô số
0 1 2 3 1 h3 h2 0 0 0 0 0
0 1 2 3 1
0 0 0 0 0
nghiệm với 2 nghiệm tự do.
x z t 2
3x y 5z 7
Hệ đã cho tương đương với hệ
y 2z 3t 1
y 2z 3t 1
Giải Xét ma trận bổ sung B
1 2 3 2 1 h 4 h1 0 3 4 4 2 5h4 2 h2
1 3 2 3 0
0 2 3 1 1
1
1
1 1 1 2
1 1 1 2
0 5 1 5 0
h 4 h3
0 5 1 5 0
r(A) 3 r(B) 4 nên hệ đã cho vô nghiệm
0 0 17 5 10
0 0 17 5 10
0 5 1 3 10
8 h3 3h1 0 2 4
3 13 5h4 h2
6
0 1 2 4 9
1
5
1
5
1 1 1
1 1 1
2 h 4 h3
0 5 1 3 10
0 5 1 3 10 r(A) r(B) 4 nên hệ có nghiệm duy nhất
0 0 18
0 0 18 9
9
45
45
4 x 3y z t 1
Ví dụ 1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 x y 3z t 2
x 2 y 2z mt 0
Giải Xét ma trận bổ sung
1
1
1
1
4 3 1 1 1
4 3 1
4 3 1
2 h2 h1
h3 h 2
B 2 1 3 1 2
3
3 0 5 7
3
3
4 h 3 h1
0 5 7
1 2 2 m 0
0 5 7 4m 1 1
0 0 0 4m 4 2
Hệ vô nghiệm thì r(A) r(B) m 4 0 m 4
2 x y z t 4
Ví dụ 3 Tìm m để hệ sau có nghiệm 3x 2 y z 2t 1
x 4 y 3z 4t m
Giải Xét ma trận bổ sung
4
4
2 1 1 1 4
2 1 1 1
2 1 1 1
2 h2 3h1
h3 h2
B 3 2 1 2 1
0 7 5 7
14 0 7 5 7
14
2 h 3 h1
1 4 3 4 m
0 7 5 7 2 m 4
0 0 0 0 2 m 18
Copyright: Tài liệu đại học ©