Bài tập đại số tuyến tính: Không gian véc tơ
Dạng 1 Chứng minh tập hợp S là một không gian véc tơ con của không gian V.
S  

Phương pháp S là không gian véc tơ con của V  u, v  S  u  v  S
k  R, u  S  ku  S


Ví dụ 1 Cho tập hợp S  (x, y,z)  R 3 | x  0 . Chứng minh S là không gian véc tơ con của R 3
Giải   (0,0,0) S  S   (1)
Giả sử u, v S  u  (0, y,z);v  (0, y1 ,z1 ) . Khi đó u  v  (0, y  y1 ,z  z1 ) S (2)
Với k  R  ku  k(0, y,z) (0,ky,kz) S (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra S là không gian véc tơ con của R 3
Ví dụ 2 Chứng minh tập S  (x1 , x 2 , x 3 )  R 3 | x1  2x 2  0 là không gian véc tơ con của R 3
Giải   (0,0,0)  S (vì 0  2.0  0 ) nên S   (1)
Giả sử u  (x1 , x 2 , x3 );v  (y1 , y2 , y3 ) S  x1  2x 2  0 và y1  2y2  0 . u  v  (x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 ) có
(x1  y1 )  2(x 2  y2 )  (x1  2x 2 )  (y1  2y2 )  0  0  0

nên u  v  S (2).
Với k  R thì ku  (kx1 ,kx 2 ,kx 3 ) có (kx1 )  2(kx 2 )  k(x1  2x 2 )  0 nên ku  S (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra S là không gian véc tơ con của R 3
Ví dụ 3 Chứng minh tập S  p(x)  ax 2  bx  c  P2 | a  b  2c  0 là không gian véc tơ con của P2
Giải   0x 2  0x  0 S (vì 0  0  2.0  0 ) nên S   (1)
Giả sử p(x)  ax 2  bx  c;q(x)  mx 2  nx  p S  a  b  2c  0;m  n  2p  0

p(x)  q(x)  (a  m)x 2  (b  n)x  (c  p) có (a  m)  (b  n)  2(c  p)  (a  b  2c)  (m  n  2p)  0
Nên p(x)  q(x)  S (2).
Với k  R  kp(x)  (ka)x 2 (kb)x (kc) có (ka)  (kb)  2(kc)  k(a  b  2c)  0 nên kp(x)  S (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra S là không gian véc tơ con của P2
 a b 


 ka kb 
Với k  R  kA  
 có (ka)  (kb)  k(a  b)  k(c  d)  (kc)  (kd) nên kA  S (3)
 kc kd 

Từ (1),(2) và (3) suy ra S là không gian véc tơ con của M 2
Ví dụ 5 Chứng minh tập S  (x1 , x 2 , x 3 , x 4 )  R 4 | x1  x 2  x 4  0, x1  2x 2  x 3  0 là không gian véc tơ
con của R 4
Giải   (0,0,0,0)  S (vì 0  0  0  0,0  2.0  0  0 ) nên S   (1)

 x1  x 2  x 4  0
Giả sử u  (x1 , x 2 , x 3 , x 4 );v  (y1 , y2 , y3 , y4 ) S  
và
 x1  2x 2  x 3  0

 y1  y 2  y 4  0

 y1  2y 2  y3  0

u  v  (x1  y1 , x 2  y2 , x 3  y3 , x 4  y4 ) có

(x1  y1 )  (x 2  y2 )  (x 4  y4 )  (x1  x 2  x 4 )  (y1  y2  y4 )  0  0  0 và
(x1  y1 )  2(x 2  y2 )  (x3  y3 )  (x1  2x 2  x 3 )  (y1  2y2  y3 )  0  0  0 nên u  v  S (2)

Với k  R  ku  (kx 1,kx 2,kx 3,kx 4) có (kx1 )  (kx 2 )  (kx 4 )  k(x1  x 2  x 4 )  k.0  0
và (kx1 )  2(kx 2 )  (kx3 )  k(x1  2x 2  x3 )  k.0  0 nên ku  S (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra S là không gian véc tơ con của R 4
Ví dụ 6 Tập hợp S  (x1 , x 2 , x 3 )  R 3 | x1  x 22  có là không gian véc tơ con của R 3 ?
Giải Không. Vì u  (1,1,2);v  (4, 2,0) S ( 1  12 ,4  (2)2 ) nhưng u  v  (5, 1,2) S
Ví dụ 7 Tìm m để S  (x1 , x 2 , x 3 )  R 3 | x1  x 2  x 3  m là không gian véc tơ con của R 3 .

  M 2 | a  b  c  2d  0  . Tìm cơ sở và số chiều của S
c
d





 b  c  2d b 
 b b   c 0   2d 0 
Giải Giả sử A  S  A  
 (b,c,d  R) . Ta có A  



c
d

 0 0  c 0  0 d 



 1 1  1 0 
 2 0
1 1
1 0 
 2 0 

 b
, A2  

1 0 
 0 1

 k1  k 2  k3  0 . Vậy U độc lập tuyến tính. Do đó U là cơ sở cho S. dimS  3 .

Ví dụ 5 Cho S  (x, y,z, t)  R 4 | x  2y  t  0,2x  y  z  0 . Tìm cơ sở và số chiều của S .

k1 

k3 


2
1

x  5 z  5 t

 t0
 x  2y  t  0
 x  2y
1
2


 y  z  t
Giải Xét điều kiện 
5
5
2x  y  z  0  5y  z  2t  0 
z, t  R

1
1
2
Xét   k1u1  k 2 u 2    k1 ( , ,1,0)  k 2 ( , ,0,1)  (0,0,0,0)  ( k1  k 2 , k1  k 2 , k1 , k 2 )
5 5
5 5
5
5
5
5
 k1  k 2  0 . Vậy U độc lập tuyến tính nên là cơ sở của S . dimS  2

Ví dụ 6 Cho S  (x, y,z)  R 3 | 2x  y  z  0, x  y  0 . Tìm cơ sở và số chiều của S
2x  y  z  0
x  y
Giải Xét điều kiện 
. Giả sử v  S  v  (y, y,3y) (y  R) . Ta có

x  y  0
z  3y

v  y(1,1,3) nên U  u1  (1,1,3) là hệ sinh của S . Do u1   nên S độc lập tuyến tính và là cơ sở của U .

dimS  1 .
Dạng 3 Tìm hạng của một hệ véc tơ U ; Xác định số chiều và cơ sở cho không gian véc tơ sinh L(U)
Phương pháp Xác định ma trận A tương ứng với hệ U trong cơ sở chính tắc.
Tìm hạng của A

dimL(U)  r(U)  r(A)
Từ dạng hình thang của ma trận A ta sẽ xác định được cơ sở cho L(U) (đó là một tập hợp con của U )

1 1
1 2


1 3  h3 3h 2  0 1

3 9  h 4  6h 2  0 0


2 2
0 0

1 1 
1 2


1 3  h3  h 4  0 1

0 0
0 0 


8 16 
0 0

Vậy r(U)  r(A) 3
b) dimL(U)  r(U)  3 . Cơ sở cho L(U) là hệ S  u1 ,u 2 ,u 3  (theo biến đổi trên r(S)  3 )

1 1 







Vậy dimL(U)  r(U) r(A) 3 . Cơ sở cho L(U) là hệ S  p1 ,p2 ,p3  (theo biến đổi trên r(S)  3 )


1 2 
 1 3 
 1 1
 4 6  

Ví dụ 3 Cho hệ véc tơ U  A1  
 , A2  
 , A3  
 , A4  


1 3 
2 4 
0 2 
 3 9 



Tìm cơ sở và số chiều của không gian sinh bởi U
Giải Xét ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc
1 1 1 4
1 1 1 4 

0 0

0 0

1
1
0
0

1 4

1 2
0 1

0 1

4

2
. Vậy dimL(U)  r(U) r(A) 3 . Cơ sở cho L(U) là hệ S  A1 ,A2 ,A4 
1

0

Ví dụ 4 Cho hệ véc tơ U  u1  (1,3,2,m),u 2  (2,2,1,3),u 3  (3,1,1,0) . Tìm m để dimL(U) nhỏ nhất.
Giải Gọi A là ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc. Do dimL(U)  r(A) nên cần tìm m để r(A) nhỏ
nhất. Xét
1

3







0

Vậy r(A) nhỏ nhất bằng 2 khi m  3 hay m  3 là giá trị cần tìm
Dạng 4 Chứng minh hệ véc tơ U  u1 , u 2 ,..., u m  là hệ độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính.
Phương pháp Cách 1: Chứng minh bằng định nghĩa. Xét   k1u1  k 2 u 2  ...  k m u m , dẫn đến hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất m ẩn k1,k 2 ,...,k m . Hệ này có ma trận hệ số ẩn A .
Nếu r(A)  m thì hệ U độc lập tuyến tính
Nếu r(A)  m thì hệ U phụ thuộc tuyến tính.( m là số véc tơ của hệ U)


Cách 2: Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc.
Nếu r(A)  m thì hệ U độc lập tuyến tính
Nếu r(A)  m thì hệ U phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 1 Chứng minh hệ véc tơ U  u1  (1,2,3, 1),u 2  (2,1,1,3),u 3  (1,5,1, 6) độc lập tuyến tính.
Giải Xét ma trận của U trong cơ sở chính tắc của R 4 :
1

2
A
3

 1

2 1

k1  k 2  2k 3  0

(*) Hệ phương trình có ma trận hệ
 (0,0,0)  (k1  k 2  2k 3 ,3k1  3k 3 ,2k1  k 2  3k 3 )  3k1  3k 3  0
2k  k  3k  0
2
3
 1

 1 1 2
1 1 2 
1 1 2 

 h 2 3h1 
 3h3  h 2 

số ẩn: A   3 0 3  
h 3  2h1
 0 3 3    0 3 3  r(A)  2  3 nên hệ (*) có vô số nghiệm,
 2 1 3
 0 1 1 
0 0 0 






suy ra hệ véc tơ U là hệ phụ thuộc tuyến tính.


 1
2

2

 1 2 1 
 1 2 1 
 1 2 1 

 h 2  h1 
 4h3 5h 2 

  0 4 3  
  0 4 3  r(A)  3 nên hệ (*)
Hệ này có ma trận hệ số ẩn A   1 2 4  
h 3  h1
 1 3 2 
 0 5 3 
 0 0 27 






có nghiệm duy nhất k1  k 2  k3  0 , tức hệ U độc lập tuyến tính.


Cách 2. Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc
 1 2 1 

  . Tìm m để U độc lập

1 1 
1 0
m 0 
 3 2 



tuyến tính.
Giải Xét ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc
 1 1 1

3 2 1
A
1 1 m

1 0 0

1
1
1
1 
 1 1 1
 1 1 1
 1 1 1
 h 2 3h1 





1 
1 
 1 1 1
 1 1 1




2  2h4 h3  0 1 2
2 
h 3  2h 2
 0 1 2


h4 h2
 0 0 6 m  3
 0 0 6 m  3




1 
0 0 3
0 0 0 1 m 

Hệ U độc lập tuyến tính thì r(U)  r(A)  4  m  1
Ví dụ 5 Chứng minh hệ U  u1  (1, 1,2,1),u 2  (0,1,1,3),u 3  (2, 1,5,5),u 4  (1,2,3,m) luôn phụ thuộc tuyến
tính với mọi m
Giải Xét ma trận tương ứng với hệ U trong cơ sở chính tắc

3  h3 h 2  0

1
1  h 4 3h 2  0


3 m  1
0

0
1
0
0

2
1 
1


1
3  2h 4  (m 10)h 3  0

0
0
2 


0 m  10 
0



 1

1
0
2
1

1 1
1 1 1 1 
1 1
 h 2  2h1 


4 1  h3 3h1  0 2 2 1  2h3  h 2  0 2


4 1  h 4  h1  0 1 1 2  h 4  h 2  0 0




1 1
0 2 2 0 
0 0

1 1
1 1



 1 1 1 
0 1 2 
0 0 3 







 2 1
 1 2
 3 3
1 0  


Ví dụ 3 Tìm m để hệ U  A1  
 , A1  
 , A1  
 , A1  
  là một cơ sở của M 2

 1 3 
 m 4
0 7
1 1  



Giải Xét ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc của M 2

3 .
6h 4  h 3
 0 1 3

 0 0 12 2m  10 


 0 0 0 2  2m 

1
0
1
1

3 1
2 1
 2h 2  h1 
3 2  2h3  h1  0 1


0 m  2h 4 3h1  0 3


7 4
 0 1

3
1 
1 
2 1 3


A   3 1 1  
  0 5 1    0 5 1  . r(S)  r(A)  3  dimV nên S là một cơ sở
2h 3  h1
 1 2 3 
 0 5 5 
 0 0 6 






của không gian V.

Ví dụ 5 Hệ U  u1  (1,2,3),u 2  (1,1,0),u 3  (2,1,3),u 4  ( 1,1,1) có là cơ sở của R 3 hay không?
Giải Số véc tơ của hệ U là 4  dimR 3  3 nên U không thể là cơ sở của R 3
Dạng 6 Xác định tọa độ của véc tơ trong một cơ sở; Ma trận chuyển cơ sở
Trong không gian véc tơ V cho cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  . Nếu v  V thỏa mãn v  k1u1  k 2 u 2  ...  k n u n thì

Tọa độ của v trong cơ sở U là : (k1 ,k 2 ,...,k n ) ; Tọa độ cột của v trong cơ sở U: v U

 k1 
 
k
 2
 
 
 kn 


 k1  7
7
1
2


 
 
 
 3k1  2k 2  5k 3  1  k 2  0 Vậy s1 U   0  Tương tự s 2U   1 ;s3U   0 
k  k  k  3

 4 
0
 1
 
 
 
2
3
k 3  4
 1

7 1 2


Vậy A   0 1 0 
 4 0 1 







Vậy s1U 
. Tương tự s 2U   0  ; s3U 
 2k1  k 2
 3  k 2 
 4 
 4 
4
2k  3k  2

 5 




1
2

27

 
 27 
 11 
k

 2 
 8 

4 

11 
8 

Ví dụ 3 Trong không gian V cho cơ sở U  u1 ,u 2 ,u 3  . Xét hệ
S  s1  2u1  u 2  2u3 ,s2  u1  u 2  u 3 ,s3  u1  2u 2  2u 3 

a) Chứng minh S cũng là cơ sở của V
 2
 
b) Biết x  U   1  . Tìm xS  ?
 3
 
2 1 1


Giải a. Tương tự dạng 5. Xét ma trận tương ứng của hệ S trong cơ sở U: A   1 1 2  .Ta kiểm tra được
 2 1 2


r(A)  3 nên r(S)  3 hay S độc lập tuyến tính và là cơ sở của V.

b. Ma trận A chính là ma trận chuyển từ cơ sở U sang S nên ta có AxS  xU  xS  A1xU
 2 1 2
 0 1 1 
 0 1 1 
1 * 

