Bài tập đại số tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính
Dạng 1 Chứng minh một ánh xạ là ánh xạ tuyến tính
u, v  V : f (u  v)  f (u)  f (v)
Phương pháp f : V  V1 là ánh xạ tuyến tính  
k  R,u  V : f (ku)  kf (u)

Ví dụ 1 Cho f :

3



2

, f (x, y, z)  (x  y, z  x) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

Giải Xét u  (x, y,z), v  (x1 , y1 ,z1 ) 

3

;k  . Ta có u  v  (x  x1 , y  y1 ,z  z1 )

 f (u  v)   (x  x1 )  (y  y1 ),(z  z1 )  (x  x1 )    (x  y)  (x1  y1 ),(z  x)  (z1  x1 ) 
 (x  y,z  x)  (x1  y1 ,z1  x1 )  f (u)  f (v) (1)

ku  (kx,ky,kz)  f (ku)  (kx  ky,kz  kx)  k(x  y,z  x)  kf (u) (2)
Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
Ví dụ 2 Cho f : P2 

2


 c  c1

b  b1 
 . Suy ra
d  d1 

  a  a1 b  b1  
f (A  B)  f  
   ((a  a1 )  (b  b1 )  (c  c1 ),(d  d1 ), 0)  (a  b  c,d, 0)  (a 1  b1  c1 ,d1 , 0)
  c  c1 d  d1  

 f (A)  f (B) (1).
  ka kb  
 ka kb 
kA  
  f (kA)  f  
   (ka  kb  kc, kd, 0)  k(a  b  c,d, 0)  kf (A) (2)
 kc kd 
  kc kd  

Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
Dạng 2 Tìm nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f : V  V1
Phương pháp Tìm Kerf : Giả sử u  Kerf  f (u)   . Từ đó dẫn đến mô tả cho Kerf


Tìm Imf : Xét một cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  của không gian nguồn V. Khi đó Imf  L  f (u1 ),f (u 2 ),...,f (u n ) 
Ví dụ 1 Cho f :

3


3

2

và dễ thấy dimImf  2 nên Imf 

2

, f (x, y)  (x  y, y, x) . Tìm Kerf và Imf.

Giải Tìm Kerf: Giả sử u  (x, y)  Kerf  f (u)    (x  y, y, x)  (0, 0, 0)  x  y  0  u  (0, 0)
Vậy Kerf  u  ( 0, 0) 
Tìm Imf: Xét cơ sở u1  (1, 0),u 2  (0,1) của

2

. Ta có f (u1 )  f (1, 0)  (1, 0,1)  v1;f (u 2 )  f (0,1)  (1,1, 0)  v 2

Vậy Imf  L(v 1,v 2)
Ví dụ 3 Cho f : P2 

3

, f (ax 2  bx  c)  (a  b,b  c,c  a) . Tìm Kerf và Imf.

a  b  0
 a  c

Giải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  (a  b, b  c,c  a)  (0, 0, 0)  b  c  0  
b  c

Tìm Imf: Xét cơ sở p1  1,p2  x,p3  x 2  của P2 . Ta có f (p1 )  f (1)  (1,1)  v1 ,f (p2 )  f (x)  (1, 0)  v2 ,

f (p3 )  f (x 2 )  (1, 0)  v3 . Vậy Imf  L(v 1,v 2)


Ví dụ 5 Cho f : M 2 

3

a b
,f  
   (a  b, b  c,c  d) . Tìm Kerf , Imf
 c d

a   d
a  b  0 
a b
 d d 

 b  d
Giải Tìm Kerf: Xét A  
A
  Kerf  (a  b, b  c,c  d)  (0, 0, 0)  b  c  0  

c d
 d d 
c  d  0
c  d



0 0
0 0
1 0
 0 1 


f (A1 )  (1, 0, 0)  v1 ,f (A2 )  (1,1, 0)  v2 ,f (A3 )  (0, 1,1)  v3 ,f (A 4 )  (0, 0,1)  v 4 . Vậy Imf  L(v 1,v 2,v 3,v 4)

Dạng 3 Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V  V1 trong cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  của V và U1  s1 ,s2 ,...,s m 
của V1
Phương pháp Tìm ảnh của các véc tơ trong cơ sở U: f (u1 )  v1 ,f (u 2 )  v2 ,...,f (u n )  vn
Khi đó ma trận A có cột thứ i là viU 
1

Ví dụ 1 Cho f :

3



2

,f (x, y,z)  (x  z, x  y) . Tìm ma trận của f trong cơ sở

U  u1  (1, 2,1),u 2  (0,1, 1),u 3  (0,1, 0) của

3

và U1  s1  (1, 2);s2  (1, 3) của



Giải Ta có f (p1 )  f (x 2  x  1)  (1, 2, 1)  v1 ,f (p2 )  f (x 2  2x)  (3, 3, 0)  v 2 ;f (p3 )  f (2x  1)  (3, 2,1)  v3
Xét v1  k1s1  k 2s2  k 3s3  (1, 2, 1)  k1 (2,1, 0)  k 2 (1,1,1)  k 3 (1, 0, 0)  (1, 2, 1)  (2k1  k 2  k 3 ,k1  k 2 ,k 2 )
2 k 1  k 2  k 3  1  k 1  3
 3
3
1


 
 
 
  k1  k 2  2
 k 2  1 . Vậy v1 U1    1  . Tương tự v2 U1    0  ; v3 U1    1 
k  1
k  4
 4 
 3 
0
 
 
 
 2
 3

3


 3 3 1


 1 1
 0 1 


U1  s1  (1, 2, 3),s2  (0,1, 2),s3  (1,1, 6) của

3

Giải Ta có f (A1 )  (1, 1, 0)  v1 ,f (A2 )  (1,1, 0)  v2 ,f (A3 )  (1, 1, 1)  v 3 ,f (A 4 )  (0, 1, 1)  v 4
Xét v1  k1s1  k 2s2  k3s3  (1, 1, 0)  (k1  k 3 , 2k1  k 2  k 3 , 3k1  2k 2  6k 3 )
 k1  k 3  1
k1  10
 10 
 10 
 11 
 3 








 
 2k1  k 2  k 3  1  k 2  12  v1 U1    12  Tương tự v2 U1    12  , v3 U1    3  , v 4 U1    4 
3k  2k  6k  0
k  9
 9 
 9 




Giải Xét phương trình
2  
2
10
2   20
2 10
2
10
| A  I | 0  8
2   20  0  (2  )
 8.
 1.
0
2
9
2 9  
2   20
1
2
9

 (2  )(2  7  22)  8(2  2)  (20  10)  0  3  5 2  2  8  0  (  2)( 2  3  4)  0
 (  2)(  1)(  4)  0  1  2, 2  1, 3  4 . Vậy A có 3 giá trị riêng là 2, 1, 4

Ví dụ 2 Tìm các giá trị riêng của các ma trận sau
 1 2 6 


