TỔNG HỢP BÀI TẬP GIẢI TÍCH LỚP 12 CÓ LỜI GIẢI
CHI TIẾT
BÀI BIỂU DIỄN CUNG TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Câu 1:

2sin 2 x + sinx.cosx + 3
D=
3 + 4cos 2 x

Câu 2: Hãy tìm số đo

α

của góc lượng giác

cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
Câu 3: Hãy tìm số đo

a0

của góc lượng giác

( OA, OM ) , 0 ≤ α < 2π
29π −2003π
;
;18,5
4
6

( OA, OM ) , 0 ≤ α < 3600

cuối với góc đã cho?
Câu 5: Trên đường tròn lượng giác hãy tìm các điểm xác định bởi số:

a)

π
π
+ k , (k ∈ Z )
4
2

k

π
, (k ∈ Z )
3

k

2π
, (k ∈ Z )
5

b)

c)


Câu 6: Trong các cặp góc lượng giác


bằng nhau?

và

13π
6

−1211π
8

ĐÁP ÁN
Câu 1:
Chia cả tử và mẫu cho

cos 2 x

ta có

2 tan x + tan x + 3(tan x + 1) =
D=
3(tan 2 x + 1) + 4
2

2

5 tan 2 x + tan x + 3
25
3tan 2 x + 7
=
19

π
6

α = 5.93363


3950 = 350 + 1.360 0

vậy

−10520 = 280 − 3.3600

α = 350

vậy

α = 280

α = (20π )0

(OA, OM )

Câu 4: Các góc lượng giác

có số đo là

Kiểm tra ta thấy trong các số đo chỉ có số

Vậy:


vuông nội tiếp đường tròn đó, có hai cạnh song song với OA (O là tâm, A là điểm gốc).
k = 1, 2,3, 4

Chỉ cần lấy
trong 4 điểm đó.

vì lấy

k

bằng những giá trị khác thì cũng được những điểm trùng với 1

k

π
, (k ∈ Z )
3

b) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi số
là các đỉnh của lục giác
đều nội tiếp đường tròn đó, trong đó có một đỉnh là gốc A của đường tròn lượng giác.
k = 0,1, 2,3, 4,5

Chỉ cần lấy
với 1 trong 6 điểm đó.

vì lấy

k


α0

Với

β0

là số đo của

,

là số đo của

.

Hai góc hình học bằng nhau khi và chỉ khi:
α = β 0
α 0 = β0 ⇔  0
α 0 = − β 0
 β − α = k 2π
⇔
 β + α = k 2π

Áp dụng:

a) Bằng nhau vì

b) Bằng nhau vì

13π 11π
+

5

và

π


a) sin 
+ x÷
 2


 9π

b) cos 
+ x÷
 2


Câu 7: Đơn giản biểu thức:
π

a ) A = cos  α − ÷+ sin ( α − π )
2

π

π

π

π

b) B = cos  − α ÷+ sin  − α ÷− cos  + α ÷− sin  + α ÷
2


5

và

π

1 1 8 15
119
= . − . =−
9 16 9 16
144

Câu 4:

Do

3 π
sin x = , < x < π
5 2

tan x =

Suy ra

nên

cosx < 0

cosx = − 1 − sin 2 x =

, do đó

3
4

π




a) sin 
+ x ÷ = sin  6π − + x ÷
2
 2



 π

π

= sin  − + x ÷ = − sin  − x ÷
 2

2

= − cos x

π
 9π



π

b) cos 
+ x ÷ = cos  4π + + x ÷ = cos  + x ÷ = − sin x

2

2

2

= sin α + cos α − ( − sin α ) − cos α
= 2sin α
π

 3π

c) C = cos  − α ÷+ cos ( π − α ) + cos 
− α ÷+ cos ( 2π − α )
2

 2

π

= sin α − cos α + cos  + α ÷+ cos α
2

= sin α − sin α = 0

Câu 8:
Ta có:
Suy ra:

cos1600 = cos(1800 − 200 ) = − cos 20 0

13π
2

tan150

Câu 3: Chứng minh rằng:


sin( a + b) tan a + tan b
=
sin( a − b) tan a − tan b

Câu 4: Tính:
π

cos  α + ÷
3


sin α =

biết

1
π
và 0 < α

=
π
π
1 + tan tan
3
4
3 −1
=
3 +1

Câu 2:
tan150 = (tan 450 − tan 300 )

tan 450 − tan 300
=
1 − tan 450 tan 300
3
3 = 3− 3
=
3 3+ 3
1+
3
1−

Câu 3:


sin(a + b) sin a cos b + cos a sin b
=
sin( a − b) sin a cos b − cos a sin b

Vậy:
=

cosα > 0

6
3

π
π
π

cos  α + ÷ = cosα cos − sin α sin
3
3
3


61 1 3
6 1 1 1 6 
−
=
− = 
− 1÷
3 2
3 2 2 2 3
3 2


Câu 5:

1 + cos 2a
= cot a
sin 2a

sin 2 2 x − 4sin 2 x
A=
sin 2 2 x − 4cos 2 x
1 + sin 2a + cos 2a
= cot a
1 + sin 2a − cos 2a

Câu 3: Chứng minh đẳng thức

Câu 4: Thu gọn biểu thức sau:

1 + cos 4 x
cot x − tan x

Câu 5: Chứng minh đẳng thức

cos 4a = 8cos 4 a − 8cos 2 a + 1

ĐÁP ÁN
Câu 1:
1 + cos2a 1 + 2cos 2 a − 1
=
sin2a
2sin a cos a
2
2cos a

1 + sin2a + cos2a
1 + sin2a − cos2a

=

1 + 2sinacosa + 2cos2 a − 1
1 + 2sinacosa − 1 + 2sin2 a

=

2sinacosa + 2cos2 a
2sinacosa + 2sin2 a

=

cosa(sina + cosa)
= cot a =VP
sina(cosa + sina


Câu 4:
1 + cos 4 x
1 + 2cos 2 2 x − 1
=
cos x sin x
cot x − tan x
−
sin x cos x
2cos 2 2 x
cos 2 2x .sin2 x

1
= cos 2 4 x + 1
π

π
 2
tan  − x ÷tan  + x ÷
4

4


(

Câu 3: Chứng minh đẳng thức

Câu 4: Chứng minh đẳng thức

Câu 5: Chứng minh đẳng thức

)


π
π 


4 sin 4 x + sin 4  x + ÷+ sin 4  x − ÷ = 2 + 2sin2 x + sin 2 2 x
4
4 


Câu 8: Chứng minh đẳng thức:
Câu 9: Chứng minh đẳng thức:

1
( 35 + 28cos 4 x + cos8 x )
64

sin 3x.sin 3 x + cos 3x.cos 3 x = cos3 2 x

ĐÁP ÁN
Câu 1:
sin 2 x cos 2 x
VT = tan x + cot x =
+
cos 2 x sin 2 x
1 − cos2 x 1 + cos2 x (1 − cos2 x )2 + (1 + cos2 x )2
=
+
=
1 + cos2 x 1 − cos2 x
1 − cos 2 2 x
2 + 2cos 2 2 x 2(2 + cos 4 x + 1) 6 + 2cos 4 x
=
=
=
= VP
cos 4 x + 1
1
−


π

π

tan  − x ÷tan  + x ÷ = tan  − x ÷cot  − x ÷ = 1
4

4

4

4


sin 4 2 x + cos 4 2 x
= sin 4 2 x + cos 4 2 x
π
π

 

tan  − x ÷tan  + x ÷
4
4

 




Câu 4:

π
π 


4 sin 4 x + sin 4  x + ÷+ sin 4  x − ÷
4
4 



2
2
 1 − cos2 x 2  1 
π    1 
π   


= 4 
÷ +  2  1 − cos  2 x + 2 ÷÷ +  2  1 − cos  2 x − 2 ÷÷ 
2

  

   

   
= ( 1 − cos2 x ) + ( 1 + sin2x ) + ( 1 − sin2 x )
2


Vậy:
VT =
=

cos 2 x − sin 2 x
1
= sin 2 x .cos 2 x = sin 2 2 x
2
2
cot x − tan x
4

1
( 1 − cos 4 x ) = VP
8


Câu 6:
Ta có:
2

2
 1 − cos 2 x  1 + cos 2 x − 2 cos 2 x
sin x = 
=
÷
2
4


1
1
4π  1 

 4π

(1 + cos 2 x) + 1 + cos  2 x +
− 2 x ÷
÷ + 1 + cos 
2
2
3  2 

 3


=

3 1
4π

+ cos 2 x + cos  2 x +
2 2
3


=

3 1
 −1  

32
9 3
1
1
1
= + cos 4 x + cos8 x + cos 4 x − (1 + cos8 x)
16 8
32
16
64
65 7
1
1
=
+ cos 4 x + cos8 x = ( 35 + 28cos 4 x + cos8 x ) = VP
64 16
64
64
=

Câu 9:
Ta có:


sin 3x.sin 3 x + cos 3 x.cos3 x
 3sin x − sin 3 x 
 3cos x + cos 3 x 
= sin 3 x 
÷+ cos 3 x 
÷

Câu 2: Tính:
B = sin

π
5π
7π
11π
.sin .sin
.sin
24
24
24
24

Câu 3: Tính:
C = cos100 cos500 cos700

Câu 4: Chứng minh:
π  π

 1
a)sin x sin  x + ÷sin  + x ÷ = sin3 x
3 3

 4
π

π
 1
b)cos x cos  − x ÷cos  + x ÷ = cos3 x


5π 7π π
+
=
24 24 2

Do đó:

π
5π
5π
π 1
π
5π
.sin .cos .cos
= sin .sin
24
24
24
24 4
12
12
1
4π
6π  1 
π
π 1
=  cos
− cos
=  cos − cos ÷ =


C=

(

)

(

Câu 4:

1
2π

a)VT = sin x  cos2 x − cos
2
3

1
1
= ( sin3 x − sin x ) + sin x
4
4
1
= sin3 x = VP
4

1
 1
÷ = 2 sin x cos2 x + 4 sin x

= sin5 x − (sin5 x − sin3 x ) − (sin3 x − sin x )
= sin x = VP

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
Câu 1: Biến đổi thành tích:
a) A = sin a + sin b + sin(a+ b)

b)cos a + cos b + cos(a + b) + 1

Câu 2: Chứng minh:
a
a π 
1 + sin a + cos a = 2 2 cos sin  + ÷
2
2 4 

Câu 3: Cho ABC là một tam giác nhọn. Chứng minh:
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 c = 1 − 2cosAcosBcosC

Câu 4: Chứng minh:
sin a + sin3a + sin5a
= tan3a
cos a + cos3a + cos5a

Câu 5: Chứng minh:


sin a + sin b + sin c − sin( a + b + c ) = 4sin

a+b

2
2 ÷

a+b
a
b
a
b
a+b
= 2sin
2cos cos = 4cos cos sin
2
2
2
2
2
2

a) A = 2sin

a+b
a−b
a+b
cos
+ 2cos 2
2
2
2
a+b
a−b

a
a a π 
= 2cos  sin + cos ÷ = 2 2 cos sin  + ÷ = VP
2
2
2
2 2 4 

Câu 3:

1 + cos2 A 1 + cos2B
+
+ cos 2 C
2
2
1
= 1 + cos ( cos2 A + cos2B ) + cos 2 C
2
= 1 + cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos 2 C

VT =

= 1 − cos C cos ( A − B ) − cos C 

= 1 − cos C cos ( A − B ) + cos ( A + B ) 
= 1 − 2cos C cos B cos C = VP

Câu 4:




÷
2 
2
2

a+b
a+c
−b − c
= −4sin
sin
sin
2
2
2
a+b
a+c
b+c
= 4sin
sin
sin
= VP
2
2
2
= 2sin

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Câu 1: Giải phương trình:



π

2cos  x + ÷− 2
3

π

3tan  x + ÷ = 3
3

2sin 2 2 x + sin7 x − 1 = sin x


Câu 7: Giải phương trình:

Câu 8: Giải phương trình:
Câu 9: Giải phương trình:

( 2sin x + 1 ) ( 2sin2x − 1 ) = 3 − 4cos 2 x
1
sin 2 2x − cos 2 8 x = cos10 x
2

1 + sin x + cos x + tan x = 0

Câu 10: Giải phương trình:
Câu 11: Giải phương trình:
Câu 12: Giải phương trình:

Câu 18: Giải phương trình:
Câu 19: Giải các phương trình:
− 2
2
b)cos ( 4 x + 2 ) = − 3

(

)

a)cos 2 x + 250 =


Câu 20: Giải phương trình:

(

)

a)sin 2 x − 150 =

b)tan ( 3 x + 2 ) = 3

2
2

với
−

với




Câu 1:

ĐÁP ÁN

π

x
=
2
x
+
+ k2π
π 

4
sin x = sin  2 x + ÷ ⇔ 
4 
π

x = π − 2 x − + k2π

4
π

x
=
−

 x = 36 + k 3
⇔
⇔
2 x + π = − 2π + x + k2π
 x = − 11π + k 2π


4
3
12

Câu 3:
π
π
3


2sin  2 x − ÷+ 3 = 0 ⇔ sin  2 x − ÷= −
6
6
2


π

 π
⇔ sin  2x − ÷= sin  − ÷
6

 3

π
π

⇔ cos  x + ÷ = cos
3
4


π
 π π

 x + 3 = 4 + k 2π
 x = − 12 + k 2π
⇔
⇔
(k ∈ Z )
 x + π = − π + k 2π
 x = − 7π + k2π


3
4
12

Câu 5:


3
π


π

4 x = 2 + kπ
cos 4 x = 0 
π
⇔
⇔ 3 x = + k 2π
1

sin3 x =
6

2

3 x = 5π + k2π

6