ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

Vũ Thị Phương

một số dạng toán liên quan đến
định lý rolle đảo
đối với đa thức và phân thức

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:
60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
MỞ ĐẦU

2

1 Một số kiến thức bổ trợ
4
1.1 Tính chất của đa thức và phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Định lý Rolle và một số tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . 8

66

KẾT LUẬN

83

Tài liệu tham khảo

84

1


MỞ ĐẦU
Đa thức và phân thức là những đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số
có vị trí rất quan trọng trong toán học. Vấn đề khảo sát số nghiệm thực của đa
thức nhờ công cụ giải tích, cụ thể là định lý Lagrange và định lý Rolle nên việc
khảo sát số nghiệm thực của đa thức đạo hàm trên một khoảng được tiến hành
dễ dàng. Đó là, khi đa thức P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực trong khoảng (a, b) thì
đa thức P (x) sẽ có ít nhất k − 1 nghiệm thực trong khoảng đó.
Một câu hỏi được đặt ra, khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm
thực cho trước trong khoảng (a, b) sẽ cho ta một nguyên hàm
x

F (x) =

P (t)dt
x1

có đủ k + 1 nghiệm thực trên khoảng (a, b).

4


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Định lý 1.3 (xem [4]). Nếu đa thức Pk (x) ∈ R[x] có k nghiệm dương (k ∈ N∗ )
thì tồn tại s ∈ N để đa thức Qk (x) dạng Qk (x) = Pk (x)(x + 1)s có dãy hệ số đỏi
dấu đúng k lần.
Hệ quả 1.2 (xem [4]). Nếu đa thức P (x) ∈ R[x] chỉ có các nghiệm thực thì số
nghiệm dương của đa thức bằng số lần đổi dấu của dãy hệ số.
Chứng minh. Giả sử deg P (x) = n, n ∈ N∗ , do đa thức P (x) chỉ có nghiệm thực
nên P (x) có tất cả n nghiệm đều thực và viết được dưới dạng sau.
P (x) = (α1 + x)(α2 + x) . . . (αr + x)xm (β1 − x)(β2 − x) . . . (βp − x), (r + m + p = n),

trong đó r, m, p ∈ N, αi > 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , r, βj > 0, ∀j ∈ 1, 2, . . . , p.
Xét đa thức
Q(x) = (α1 + x)(α2 + x) . . . (αr + x)

có αi > 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , r nên sau khi khai triển Q(x) có dạng
Q(x) = Er + Er−1 x + Er−2 x2 + · · · + E1 xr−1 + xr

trong đó Ei (i ∈ 1, 2, . . . , r) là các đa thức đối xứng Viète bậc i của các số thực
dương α1 , α2 , . . . , αr . Nhận xét rằng, Ei > 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , r nên dãy hệ số của đa
thức Q(x) không đổi dấu.
Xét tích
Q1 (x) := (β1 − x)Q(x)
= (β1 − x)(Er + Er−1 x + Er−2 x2 + · · · + E1 xr−1 + xr ).

Thay x bởi β1 x ta thu được
Q1 (x) = (β1 − β1 x)(Er + Er−1 β1 x + Er−2 β12 x2 + · · · + E1 β1r−1 xr−1 + β1r xr ).

Thay x bởi β2 x ta được
Q2 (x) = (β2 − β2 x)(a0 + a1 β2 x + a2 β22 x2 + · · · + ar β2r xr − ar+1 β2r+1 xr+1 ).
= a0 β2 + (a1 β2 − a0 )β2 x + (a2 β2 − a1 )β22 x2 + · · · + (ar β2 − ar−1 )β2r xr
− (ar+1 β2 + ar )β2r+1 xr+1 + ar+1 β2r+2 xr+2 .

Để ý rằng, dãy hệ số a0 , a1 , a2 , . . . , ar , ar+1 của đa thức Q1 (x) có cùng vị trí đổi
dấu như đối với dãy hệ số
a0 β2 , (a1 β2 − a0 )β2 , (a2 β2 − a1 )β22 , . . . , (ar β2 − ar−1 )β2r , −(ar+1 β2 + ar )β2r+1 .

Suy ra dãy
a0 β2 , (a1 β2 − a0 )β2 , (a2 β2 − a1 )β22 , . . . , (ar β2 − ar−1 )β2r , −(ar+1 β2 + ar )β2r+1 .

đổi dấu một lần, trong đó hệ số của tất cả các hạng tử có bậc nhỏ hơn r + 1
đều dương, hệ số của hạng tử bậc r + 1 âm. Do hệ số của hạng tử bậc r + 2 là
ar+1 β2r+2 > 0 nên dãy hệ số của đa thức Q2 (β2 x) đổi dấu hai lần.
Mặt khác, hai đa thức Q2 (x) và Q2 (β2 x) có cùng vị trí đổi dấu nên dãy hệ số của
đa thức Q2 (x) đổi dấu hai lần.
Tiến hành tương tự như trên sau p bước, ta được đa thức Qp (x) có dãy hệ số
đổi dấu p lần. Do đa thức P (x) có p nghiệm dương nên số nghiệm dương của đa
thức bằng số lần đổi dấu của dãy hệ số.

6


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Định lý 1.4 (Phân tích phân thức hữu tỷ ra thừa số). Giả sử x = x0 là nghiệm
của

P (x)

∈ Q với mọi x ∈ Z.
ax + b

Chứng minh rằng a, b ∈ Q.
1
Lời giải. Do f (x) =
∈ Q với mọi x ∈ Z, nên
ax + b

ax + b =

1
với mọi x ∈ Z.
f (x)

Vậy ax + b ∈ Q[x] hay a, b ∈ Q.
Bài toán 1.2. Cho hàm phân thức hữu tỷ
ax + b
∈ Q với mọi x ∈ Z.
cx + d

Chứng minh rằng f (x) có thể biểu diễn được dưới dạng
Ax + B
∈ Q với A, B, C, D ∈ Z.
Cx + D

(1.1)

Lời giải. Nếu ad − bc = 0 thì f (x) = const thì biểu diễn (1.1) là hiển nhiên.
Xét trường hợp ad − bc = 0.

a0 + a1 k + · · · + am k m − b0 ck − b1 ck k − · · · + bn ck k n = 0, k = 0, 1, . . . , m + n

Hai nghiệm của hệ này cho ta hai cặp đa thức tương ứng P (x), Q(x) và P1 (x), Q1 (x)
có tính chất
P (k) − cQ(k) = 0, P1 (k) − ck Q1 (k) = 0, ∀k = 0, . . . , m + n.

Hai cặp nghiệm này cho ta đa thức
g(x) = P (x)Q1 (x) − P1 (x)Q(x), deg g(x) ≤ m + n

nhận giá trị 0 tại m + n + 1 điểm nên g(x) ≡ 0. Do P (x) và Q(x) nguyên tố cùng
nhau nên
P (x) = cP1 (x), Q(x) = cQ1 (x).

Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm với sự sai khác một tỷ lệ và như vậy tồn tại
ma trận cấp m + n + 1 trong ma trận hệ số của hệ phương trình để định thức
của nó khác 0 và nghiệm nhận được là các số hữu tỷ.
Ta có điều phải chứng minh.

1.2

Định lý Rolle và một số tính chất liên quan

Định lý 1.5 (Định lý Rolle cho khoảng hữu hạn, [4]). Giả sử hàm số f : [a, b] → R
liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b). Nếu f (a) = f (b) thì
tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.

8


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Định lý 1.6 (xem[4]). Nếu đa thức P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực trong khoảng
(a, b) thì đa thức P (x) có ít nhất k − 1 nghiệm thực trong khoảng đó.
Chứng minh.
1. Nếu đa thức P (x) có k nghiệm thực phân biệt x1 , x2 , x3 , . . . , xk , không giảm
tính tổng quát, ta giả sử x1 < x2 < x3 < · · · < xk .
Suy ra P (x1 ) = P (x2 ) = P (x3 ) = ... = P (xk ).
Theo định lý Rolle, trong khoảng (x1 , x2 ) tồn tại ít nhất một điểm x1 sao cho
P (x1 ) = 0, trong khoảng (x2 , x3 ) tồn tại ít nhất một điểm x2 sao cho P (x2 ) = 0,
9


Tài liệu tham khảo
[1] Lê Thị Thanh Bình, 2007, Luận văn "Đặc trưng nghiệm của đa thức nguyên
hàm và áp dụng", trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc Gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo
Dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục.
[4] Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất,
2008, Chuyên đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo Dục.
[5] Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam, 1990 - 2014, NXB
Giáo Dục.
[6] Tạp chí toán học và tuổi trẻ, 2013, NXB Giáo Dục.

84