ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ ỨNG
DỤNG TRONG THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI- 2014


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

Chuỗi Fourier

3
5


11

2 Biến đổi tích phân Fourier và các tính chất cơ bản

14

2.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . .

32

2.4

Biến đổi Fourier - cosine và Fourier - sine . . . . . . . . . . .

44


. . . . . . . . . . . . . .


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

2


LỜI NÓI ĐẦU
Toán giải tích là một trong những chuyên ngành nghiên cứu quan trọng
hàng đầu của toán học hiện đại. Nó bao gồm nhiều lĩnh vực được mọi người
quan tâm, nghiên cứu. Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rất
nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê,
hải dương học, quang học, hình học và nhiều lĩnh vực khác. Ngày nay các
nhà khoa học vẫn đang cố gắng khám phá ra những kết quả có tầm quan
trọng nhằm nâng cao được ứng dụng của nó.
Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về biến đổi tích phân Fourier và
ứng dụng của nó trong thống kê toán học.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương mở đầu là phần kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại về chuỗi
Fourier và tính chất cơ bản của nó. Trong quá trình tìm hiểu về chuỗi Fourier
sẽ cho chúng ta thấy được khởi nguồn của biến đổi tích phân. Qua đó ta đưa
ra khái niệm về biến đổi tích phân Fourier.



Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn kiến thức
về chuỗi Fourier và biến đổi tích phân.

1.1
1.1.1

Chuỗi Fourier
Định nghĩa chuỗi Fourier

Trước hết luận văn sẽ nhắc lại về chuỗi Fourier và một số tính chất quan
trọng của nó.
Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đa được làm
quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội
tụ của nó.
Định nghĩa 1.1.1. Chuỗi hàm dạng
∞

a0
+
(an cos nx + bn sin nx) ,
2
n=1

(1.1)


−π
π
−π
π
−π

Khi đó chuỗi lượng giác (1.1) với các hệ số được xác định theo công thức
(1.2),(1.3),(1.4) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x) và ký hiệu
∞

a0
f (x) ∼
+
(an cos nx + bn sin nx) .
2
n=1

(1.5)

Chú ý rằng vì f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nên trong các công
thức (1.2), (1.3), (1.4) có thể thay tích phân từ −π đến π bằng cách tích phân
trên đoạn có độ dài 2π bất kỳ.
Nếu f (x) là hàm chẵn thì từ các công thức (1.2), (1.3), (1.4) ta có bn =
0(n = 1, 2, . . . ) còn
2 π
a0 =
f (x)dx,
π 0
2
an = f (x) cos(nx)dx,

f (x) ∼

bn sin nx.
n=1

Tiếp theo ta sẽ đề cập chuỗi Fourier theo Định nghĩa 1.1.2 dưới đây
6


Định nghĩa 1.1.2. [7] Cho f (x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả
tích trên đoạn [−π, π]. Khi đó các hệ số được xác định bởi
1
fˆ(n) =
2π

π

f (x)e−inx dx,

n ∈ Z,

(1.6)

−π

được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x). Chuỗi hàm
+∞

fˆ(n)einx



b

f (x)e−2πinx/L dx,

a
+∞

(1.9)
fˆ(n)e2πinx/L .

f (x) ∼
n=−∞

Định nghĩa 1.1.3. Cho hàm f khả tích và tuần hoàn với chu kỳ 2π. Với
mỗi số tự nhiên N, tổng riêng thứ N của chuỗi Fourier của f được xác định
bởi

N

fˆ(n)einx .

SN (f )(x) =
n=−N

Tiếp theo ta trình bày về tính duy nhất và sự hội tụ đều của chuỗi Fourier.
7


1.1.2


π

f (x)dx =
−π

g(x)dx = 4π.
−π

Định lý 1.1.1. [7] Giả sử f là hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu
kỳ 2π và fˆ(n) = 0 với mọi n ∈ Z. Khi đó, nếu f liên tục tại x0 thì f (x0 ) =
0.
Hệ quả 1.1.1. [7] Nếu f liên tục trên [−π, π] và fˆ(n) = 0 với mọi n ∈ Z thì
f = 0.
Từ những kết quả trên ta có định lý về tính duy nhất của chuỗi Fourier
như sau
Định lý 1.1.2. Giả sử f và g là hai hàm liên tục trên [−π, π] và có hệ số
Fourier lần lượt là fˆ(n) và gˆ(n) được xác định theo (1.6)
1
fˆ(n) =
2π
1
gˆ(n) =
2π

π

f (x)e−inx dx,
−π
π


N → ∞.

Chứng minh. Ta nhắc lại rằng nếu một dãy của hàm liên tục hội tụ đều thì
giới hạn của nó cũng liên tục. Ta có
π

1
|fˆ(n)einx | =
2π
Theo giả thiết

f (x)e
−π

∞
n=−∞

inx

1
dx ≤
2π

π

|f (x)||einx |dx = |fˆ(n)|.
−π

|fˆ(n)| < ∞ nên theo dấu hiệu Weierstrass thì SN (f )(x)


Fourier
fˆ(n) = O(1/|n|k )
9

khi

|n| → ∞,


Tài liệu tham khảo
[1] D.I. Kazakevits (2005), Cơ sở Lý thuyết Hàm ngẫu nhiên và ứng dụng
trong Khí tượng Thủy văn (Người dịch: Phạm Văn Huấn, Nguyễn Thanh
Sơn, Phan Văn Tân), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Vũ Viết Yên (2009), Bài tập Lý thuyết xác suất, NXB Đại học Sư phạm.
[3] Joseph Beyene (2001), Use of the fast Fourier transform in exact statistical inference, University of Toronto.
[4] R. N. Bracewell (1986), The Fourier transform and its applications, McGraw Hill.
[5] K. Chandrasekharan (1989), Classical Fourier transforms, SpringerVerlag, New York.
[6] Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta (2007), Integral transforms and
their applications, Taylor and Francis group.
[7] Elias M. Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford.