l
dinh chung, hoac c6 m6t canh chung.
b. M 6 i canh ciia m6t da giac nao cung la canh chung ciia dung hai mien
da giac.
3. M 6 i kh6'i da dien c6 th^ phan chia dugc thanh nhieu kh6'i tii didn
4. Kh6'i da dien l o i la khoi da dien c6 tinh chat doan thang noi hai diem
bat ky cua no luon thu6c ve khoi da dien 66, hoac la toan bo khoi da dien
luon nam ve mot phia d6'i vdi mat phang chiia m6t mat ctia khoi da dien.
II. K H O I DA DifiN D ^ U
1. Kh6'i da dien loi dugfc ggi la deu loai (a,b) ne'u m6i mat ciia no la mot
mien da giac deu a canh va dinh ctia no la dinh chung ciia dung b canh
2. Nguofi ta chiing minh dugc chi c6 5 loai khoi da dien deu.
Kh6'i 4 mat deu
Khoi 6 mat deu
K h o i 8 mat deu

(tii dien deu)
(Khoi lap phuong)

Loai (3,3)
Loai (4,3)
Loai (3,4)


Kh6'i 12 mat d^u
Khd'i 20 mat d^u

I

Loai (5,3)


V = ^h(B + B'+V^^-)

a. Hinh 2 do ba miin da giac
ABCD, DCEF, EFMN hop thanh.
ABCD va EFMN khong giao nhau.
DCEF giao vdi 2 mi^n con lai
Of 1 canh chung, tinh chat a) duac
thoa man.
b. Tinh cha't b) khdng thoa man
vi cac canh AB, AD, BC, DE, CF,
FM, MN, NE chi la canh cua m6t
mien da giac.
V i du 3: Hinh dugc ve d hinh 3
cung kh6ng la hinh da dien vi AB
la canh chung cua 3 mien da giac,
ABCD, ABEF, ABMN. Cac canh
con lai la canh cua 1 mi^n da giac.
Tinh chat b) khong duoc thoa man.

Hinh 3

V i du 4. Trong cac hinh sau, hinh nao la hinh da dien? hinh nao kh6ng
la hinh da dien? Neu la hinh da dien hay de'm s6' dinh D, s6 canh C, s6' mat
M va tinh cac so X = D + M - C.

B. Vf DU
Vi du 1. Chtrng minh hinh
chop SABCD la mot da dien
a) Hinh SABCD c6
5mat - 5dinh - 8canh, do 5


N

T

Hinh 12
Khong Id khoi da dien

/ 2
JL

Hinh 9
Hinh 4 la kh6'i da dien lOi cu th^ la hinh chop ngu giac ABCDEF
Co so dinh D = 6, s6 canh C = 10, s6' mat M = 6 => X(H) = 6 + 6 - 10 = 2
ffinh 5 la khd'i da dien I6i c6 D = 12 so canh C = 18, s6 mat M = 8,
X ( H ) = 12+8-18 = 2
i
f
ffinh 6 la khoi da dien kh6ng I6i, D = 9, C = 14, M = 8,
X(H, = 9+8-14 = 3
ffinh 7 khong la kh6'i da dien
ffinh 8 khong la kh6'i da dien

Hinh 13
Hinh 14
Hinh 15
Khd'i da dien khdng iSi Khoi da dien khdng Idi D = 16,C = 28,M = 14

Hinh 18
Hinh 16

8
mat
d^u
la:
'6

_

2V2a^
27

Khoi 20 mat deu loai (3,5)
Hinh 19

2
9•

V2a^-


V i du 8. Cho hinh lap phuomg A B C D A ' B ' C ' D ' canh a, bang g6. Got kh6'i lap

I

phuong de lay khoi 8 mat deu noi tiep no, nghia la dinh ciia khoi 8 mat
deu la tam cua 6 mat cua
khoi

lap phuong.


OP = OQ = O ' M = O ' N =

/

=

QM

"~ 3 V2 •

=

OA

A

Hinh

deu la

tam giac deu canh

V =

41

The

tich kh6'i


8

4a^
24

mat

diu

canh

a4i

theo v i du 4

se

la

Hinh 22

. The tich g6 bo d i la
C . BAI T A P

V i du 9. Hay phan chia h6p ABCD.A'B'C'D' thanh cac khoi t i i dien,
thuc hien theo 3 budc sau:
1. Chia hop ABCD. A ' B ' C ' D '

1.


Hai mat phang (ABF) va (CDE) chia kh6'i tii dien ABCD thanh 4 khoi tii
dien. Ke ten cac khoi tii dien va chiing minh th^ tich 4 khd'i tii ditn do
bang nhau, neu ABCD la khoi tii dien deu thi 4 kh6'i tu didn trdn c6 bang
nhau khong?
Cho chop S.ABC c6 ducmg cao SA = a. Day la tarn giac vu6ng can c6
AB = BC = a. Goi B' la trung diim SB, C la chan duomg cao A C cua
ASAC.
a. Tinh the tich cua khoi chop S.ABC.
b. Chiing minh SC vu6ng goc A B ' C .

6.

I.

c. Tinh the tich cua kh6'i chop S.AB'C
Hay chi ra each chia mot khoi tii dien thanh hai kh6'i tii dien sao cho th^
tich ciia hai khoi tii dien nay c6 ti so bang — > 0 cho tnrdrc
n
Cho kh6'i lang tru ABC.A'B'C c6 day la tarn giac deu canh a, dinh A'
each deu 3 dinh A, B, C canh ben A A ' tao vdri mat day goc 60°.
a. Tinh the tich khoi lang tru.
b. Chiing minh mat ben BCC'B' la mdt hinh chu nhat.
c. Tinh tong dien tich cac mat ben ciia lang tru (goi la dien tich xung
quanh ciia lang tru).

8.

12. Hay tim th^ tich kh6'i h6p n6u d6 dai canh ben la a, dien tich hai mat
cheo la S, va Sj, goc giffa 2 mat cheo la a.
13. Cho S.ABCD la chop deu, khoang each tir A den mat phang (SBC) la 2a,

Chung minh — =
.— .
.
V
SA' SB' SC
Cho khoi lang tru diing ABC.A'B'C c6 day la tam giac vuong tai A,
ACB = 60° AC = b. BC tao v6i (AA'CC) goc 30°. Tinh d6 dai A C va
tinh the tich V cua khoi lang tru da cho:

10. Cho
A ^

hop

ABCD.A'B'C'D' c6 tat ca cac

=BAD = A ^

canh la a, cac

goc

= a (a < 90°). Hay tinh th^ tich cua h6p.

I I . Cho h6p ABCD.A'B'C'D' c6 day ABCD la hinh chii nhat canh la a, b,
hai mat ben (ABB'A') va (ADD'A') tao vdi day ABCD goc 45° va 60°.
Tinh th^ rich ciia h6p n^u canh ben A A ' la c.

1



20. Cho khd'i chop S.ABCD c6 day ABCD la hinh binh hanh. Mat phang (P) cat
cac canh ben tai K, L, M , N. Chiing minh VgABCD =
. SA
SC
SB SD
va — +
=— + —
SK
SM
SL SN

VSACD = ^SABD = VSBCD-

21. Cho khdi chop S.ABCD c6 day ABCD la hinh chff nhat, canh ben SA
vu6ng goc vdi day, mat phang (a) qua A va vuong goc SC cat SB, SC,
SDaB',C',D'.


a. Chiing minh AB'C'D' c6 2 goc dd'i dien la vudng
b. Chiing minh khi S chay trfen du6ng thing vu6ng goc vol day tai A thi
(AB'C'D') lu6n di qua mot du5ng thing cd dinh va cac di^m A, B, B', C,
C, D, D cung each m6t d'dm c6 dinh m6t khoang kh6ng d6i.
c. Gia sur goc giua SC va (SAB) la x. Tinh th^ tich cua chop S.AB'C'D' va
S.ABCD bid't AB = BC.
22. Cho tii dien ABCD:
a. Chiing minh neu chSn ducmg cao H cua tur dien xua't phat tiif A triing
vdfi true tarn tam giac BCD va AB vuOng goc AC thi AC vu6ng goc AD
va AD vuong goc vdfi AB.
b. Gia sit BC = CD = DB, AB = AC = AD. H la chdn duomg vudng goc

Thanh ph6' Ho Chi Minh, nam hoc 1996).
28. Cho hinh chop tii giac d^u SABCD c6 tat ca cac canh bang a.
a. Tinh the tich cua no.
b. Tinh khoang each tii tam day de'n cac mat ben.
(DH Da Nang, khdi D, nam 1997)
29. Cho hinh chop OABC vdi OA, OB, OC vu6ng goc vdi nhau tutng doi
m6t va OA = a, OB = b, OC = c.
a. Ke OH vu6ng goc vdi mat phang ABC. Chiing minh H la true tam tam
giac ABC.
b. Cho H la true tam tam giac ABC. Chiing minh OH vuong goc mat
phang ABC.
c. Tinh dien tich tam giac ABC theo a, b, c.
d. Chiing minh: a^ tgA = b^tgB = e^tgC
''
.
(DH Ngoai Ngfl Ha N6i, 1997, theo phan ban)
30. Cho hinh h6p ehff nhat ABCD.A'B'C'D' c6 A'A = a, AB = b, AD = e.
Tinh thd tich tii dien ACB'D theo a, b, c.
(Hoc vien Quan he qu6c te' nam 1997).
31. AB la du5ng vuong goc chung ciia hai dudfng thing cheo nhau x, y. Lay
A e X, B e y, AB c6' dinh va AB = d. Me x, N e y, M, N thay d6i va
AM = m, BN = n (m, n > 0). Gia sir c6 m^+ n^ = k > 0, k khong doi.
a. Xac dinh m, n d^ d6 dai doan thang MN dat gia tri Idn nhat, nho nhat.


b. Trong trilcmg x vu6ng y va mn ^ 0, hay xac dinh m, n theo k va d d^
the tich tii dien A D M N dat gia tri iom nha't va tinh gia tri do.
(DH Qudc gia Ha N6i, nam 1997, khoi A)
32. Cho tarn giac ABC can dinh A. Mot dilm M thay ddi tren duofng thang
vu6ng goc v6i mp (ABC) tai A (M


duofng r tao nen mot mat tron xoay nhan ducmg thang A lam true. Ducmg

34. Cho hinh chop d^u SABCD. Day ABCD la hinh vu6ng c6 canh bang 2a.
Canh ben SA = aVs . Mat phang (P) di qua AB va vuong goc v6i mat
phang (SCD). (P) Ian lugft cat SC va SD tai C va D'.
a. Tinh dien tich ciia tii giac ABCD'.
b. Tinh the tich ciia hinh da dien A B C D O ' C
(Dai hoc Nong nghiep I - Kh6'i A - 2000).

r sinh ra mat tron xoay nen dugfc goi la ducmg sinh cua mat tron xoay.
2. Tinh chat ciia mdt tron xoay
* Ne'u cat mat tron xoay bed mot mat phang vuong goc vdi true A thi
giao tuyen la m6t ducmg tron c6 tam nam tren true A.
* M6i diem M thu6c mat tron xoay d^u nam tren mot ducmg tron thu6c
mat tron xoay va c6 tam tren true A.
(Cho nen ngudi ta con noi mat tron xoay la tap hgfp cac ducmg tron nam
tren cac mat phang vuong goc vdfi ducmg thang A c6' dinh va c6 tam nam
tren ducmg thang A ) .
3. Mat non tron xoay
Dinh nghia: Cho 2 ducmg thang d va A cat nhau tai O tao thanh goc cp
vdfi 0 < 9 < 90". Khi quay ducmg thang d xung quanh true A sao cho goc cp
khOng thay ddi thi tao ra mat non tron xoay (goi tat la mat non) (h.23).
O goi la dinh ciia mat non va goc is dinh bang 2(p, d goi la ducmg sinh
cua mat non.


B. Vf DU

4. Hinh non

Hinh 25

tam giac SAB la tam giac can);
ASI = ^

thanh mot hinh tron xoay (con goi tk la hinh non). Hinh tron tam A do canh
AB tao ra trong khi quay goi la mat day ciia hinh non.

Trong tam giac vuong SI A ta c6: SA =

O goi la dinh ciia hinh non, d6 dai doan OA goi la chieu cao, 66 dai

AI
sin

a

2sin —

doan OB goi la dudng sinh ciia hinh non.
Canh OB trong khi quay tao thanh mat xung quanh ciia hinh non

VayS, =7t.

tron xoay (goi tk la khd'i non).
Dinh, chi^u cao, ducmg sinh cua hinh non cung la dinh, chi^u cao,
dircmg sinh ciia khoi non do.
6. Dien tich xung quanh ciia hmh non, the tich cua khoi non
= u r/ (Sxq la dien tich xung quanh, r la ban kinh hinh tron day, / la
duomg sinh).

= ^

Theo cong thiic tinh dien tich xung quanh hinh non:
S,^ = ml suy ra S^^ =

TI

^ .a =

^

c. Tinh ti s6' th^ tich ciia hinh chop va hinh non.
40. Cho hinh chop tam giac deu SABC canh ben nghieng v6i day goc (p,
canh day AB = a. Mot hinh non dinh S c6 day la hinh tron noi tiep tam
giac ABC.

^.a^

a. Tinh dien tich xung quanh ciia hinh non theo a va 9.
SO la ducmg cao ciia tam giac deu canh a, nen SO = — y Theo cong thiic tinh the tich khS'i n6n:

b. Tinh ti s6' the tich cua khoi non va kh6'i chop da cho theo a va cp.
I I . MAT T R U , HINH T R U , K H 6 I T R U

V=-7tr'h

A. LY THUYET CAN NHCl

3



Agoi la mat tru tron xoay (goi tat la mat tru).
A goi la true ciia mat tru, £ goi la ducmg sinh cua mat tru do (h.27).

1||||P * cat mat tru boi m6t mat phang vuong goc vod A thi thiet dien la m6t
du5ng tron c6 tam nam tren A va c6 ban kinh r.
2. Hinh tru

37. Cho hinh non c6 thiet dien qua true la mot tam giac deu, ban kinh day
la R; tinh dien tich ciia thiS't dien qua hai dudng sinh tao thanh m6t
goc a.
38. Ban kinh day cua hinh non bang 3m, chieu cao bang 4m.
a. Tinh do dai ducmg sinh va goc tao hbi ducmg sinhvoi mat day.
b. Tinh dien tich xung quanh.
c. Tinh the tich cua khoi non.
39. Cho hinh vuong ABCD canh a noi tiep day hinh non c6 dinh S sao cho
goc SAB = 60°.
a. Chung minh rang SABCD la hinh chop tu: giac deu.

Hinh 27

Hinh 28

b. Tinh the tich hmh chop SABCD theo a.
23


Cho hinh chO nhat A B C D , k h i quay hinh chff nhat nay quanh canh A B
thi ducmg gap kJuic A D C B tao thanh mot hinh tru tron xoay (goi tat la hinh
tru) (hinh 28).

S u y r a N I = — M ' N =—atana
2
2

xoay (goi tat la khoi tru)
Ban kinh day, dttdng sinh, chieu cao, mat xung quanh ctia hinh tru cung

A p dung dinh ly Pitago trong tam giae vudng N O I ta cd:

la ban kinh day, ducmg sinh, chieu cao, mat xung quanh cua kh6'i tru.

01=

4. Dien tich xung quanh hinh tru, the tich khoi tru
= 2 ;T rh (S^^, la dien tich xung quanh, r la ban kinh day, h la c h i l u
V = ;r r'h (V thd tich kh6'i tru)

^

B. V I DU:

A B . O K la dudng cao cua tam giae d^u BAO canh a nen K O =
c. Ke ir vudng day dudi thi 11' song

ducmg

song va bang O'O, I'F la hinh chie'u cua IF

cao


hinh tru den du&ng thang M N
b. Mat phang (P) song song true, cat hinh tru theo m6t thie't dien la hinh
vuong. Ti'nh khoang each tOr true hinh tru den mp (P).
e. Mat phang (Q) khong song song vdi true hinh tru, cat no theo mot
thie't dien la hinh vu6ng. Tinh goc tao bcri true hinh tru va mp (Q).

= I v suy ra I'E la dudng kinh.

Do EF vudng gdc IF va I'F nen
EF 1 mp (H'F) suy ra mp (UEF) 1 m p d l ' F ) .
Ke I ' K 1 IF t h i I ' K l mp (UEF). K I la
hinh chie'u cua 11' tren Q nen gdc tao bdi
n' va Q la gdc FFE
tao bdi true O'O va Q.

=> nd cung la gdc

J'
0\


Tilr hai tarn giac vudng IFF va EFI' c6 cung canh goc vuong I' F, cho:
IF' - ir' = I'E' - EF' suy ra IF' - a' = 4a' - IF' » IF =

Suy ra cos I'FE = :—
TF = aVio

2

5


32

1
nen ICO = - C ma goc C la goc tao bdi

dudng sinh va day nen C = a

a
ICO = -a , O C = r n e n I O = R = r t a n — . '
2
2

Theo cdng thiic tinh dien tich mat cSu S = 4TtR^

ciu da cho cac tiep tuyen nay tao thanh mot mat non tron xoay dinh M , khi
do do dai doan t h i n g n6'i tCr A den tiep diem deu bang nhau.

giac

\

Vay S = 47t

a
rtan —
2

3


c6: BD ± AB ma SA ± (P) suy ra
(SAB) 1 (P), BD c (P) va BD 1 AB =>

49. Trong mp (P) c6 ducmg thang d c6 dinh va mot diem co dinh A g d. Goc

BD 1 (SAB) => BD ± A H , ta lai c6
A H 1 SB (-t) suy ra A H ±

xOy = Iv thuoc (P) quay quanh A, Ax va Ay cat d tai B, C. Cho d' 1

(SBD)

A H 1 HD. Chiing minh tuofng tu ta c6
Hinh 33

A K ± KD. Nhu vay cac diem A, B, C, H ,
K each O C O dinh m6t khoang bang

AD

(P) tai A. Lay S e d'. Goi H va K la cac hinh chie'u vuong goc cua A
tren SB va SC.
a) Chiing minh cac die'm A, B, C, H, K cCing nam tren m6t mat c^u.

khong doi. Vay chiing nSm tren mat c^u tam O bdn kinh

AD

b) Tinh ban kinh mat ciu bie't AB = 2, AC = 3, BAC = 60°.
(AD la ducmg