Lê Mạnh Cường – Biên Hòa, Đồng Nai – 0969 925 745

VẤN ĐỀ 2: SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Hàm số y   x3  3x2  9 x  4 đồng biến trên khoảng nào sau đây ?
A.  3;1

B.  1;3

C.  ; 3

D.  3;  

1
Câu 2: Hàm số y  x 4  x3  2 x 2  12 x  1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây ?
4
A.  ; 2 
B.  2;3

C.  ; 2   2;3

D.  2; 2    3;  

Câu 3: Khoảng nào sau đây:
A.  ; 1

B. 1;  

C.  1;1

D.  ;1  1;  


e




x 1
. Khẳng định nào sau đây là đúng
x 1
A. Hàm số đồng biến trên \ 1 .

Câu 5: Cho hàm số y 

B. Hàm số nghịch biến trên

\ 1 .

C. Hàm số nghịch biến trên  ;1 , đồng biến trên 1;   .
D. Hàm số nghịch biến trên  ;1 và 1;   .
Câu 6: Hàm số y  2 x3  3  m  2  x2  6  m  1 x  3m  5 luôn đồng biến, khi đó giá trị của m
thỏa:
A. m  2
B. m  0
C. m  0
3
2
Câu 7: Để hàm số y  x  3mx  4mx  4 luôn tăng trên
thì:
4
4
3

Đồng hành cùng sĩ tử trong kì thi năm 2017

1


Lê Mạnh Cường – Biên Hòa, Đồng Nai – 0969 925 745

A. a  1

B. a  1

C. 1  a  1

D. a  1

x 2  mx  1
nghịch biến trên từng khoảng xác định thì:
1 x
A. m  0
B. m  0
C. m  0
D. m
m
1
Câu 11: Hàm số y  x3   m  1 x 2   m  2  x  đồng biến trong khoảng  2;   , thì m
3
3

Câu 10: Hàm số y 


12
D. a 
7
7
3
2
Câu 14: Cho hàm số y  x  3  2m  1 x  12m  5 x  2 . Để hàm số đồng biến trên khoảng

A. a  3

C. a 

B. a  3

 2;  thì tham số m phải thỏa:
A. 

1
1
m
6
6

B. m  

1
6

C. m 


Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

B
C
C
D
D
Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15
B

B

C

D

Câu 6

Câu 7

Câu 8


I. Định lí và ứng dụng

Ta có định lí sau: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng  a; b  :
- Nếu f '  x   0 x  a;b  thì y  f  x  đồng biến x   a; b  .
- Nếu f '  x   0 x  a;b  thì y  f  x  nghịch biến x   a; b  .
Vậy, hiểu đơn giản để biết được một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định cho
trước. Ta chỉ cần dùng chức năng đạo hàm tại một điểm của MTBT và gán một giá trị x0 nằm
trong tập xác định cho trước:
- Nếu kết quả S tính được là S  0 thì hàm số đã cho đồng biến.
- Nếu kết quả S tính được là S  0 thì hàm số đã cho nghịch biến.
Nhưng, nếu bài toán chứa tham số thì sao? Có nghĩa là: nếu thêm một biến nữa thì làm sao tính
được? Hay, nói rõ hơn là đây là bài toán tìm tập giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên các
tập xác định cho trước.
Chúng ta cùng xét ví dụ sau:
Câu 6: Hàm số y  2 x3  3  m  2  x 2  6  m  1 x  3m  5 luôn đồng biến, khi đó giá trị của m thỏa:
A. m  2
B. m  0
C. m  0
D. m  2
Rất may cho chúng ta, MTBT vẫn có thể tính giá trị của biểu thức nhiều biến bằng chức năng
CALC và chức năng này lại có hỗ trợ cho chức năng tính đạo hàm tại điểm.
Lợi dụng điều này, ta giải quyết các bài toán dạng nêu trên như sau:
- Bước 1 Nhập giữ liệu: Nhập hàm số chứa tham số vào MTBT đã bật chức năng đạo hàm.
- Bước 2 Đặt tên cho biến: Với biến x ta gán vào biến X, tham số đi kèm ta gán vào biến Y (hoặc
1 biến khác tương ứng) và với giá trị điểm x0 cần tính ta cũng gán X như biến x .
- Bước 3 Gán giá trị: Rất quan trọng. Đây là bước tư duy quyết định.
+ Bước 3.1 Gán giá trị cho biến X: Ta gán bất kì một điểm x0 nào trong tập xác định cho
trước.
+ Bước 3.2 Gán giá trị cho biến Y (tham số):
Chúng ta cần quan sát các đáp án đã có. Để gán các giá trị cụ thể vào biến Y.

+ Bước 3.1 gán giá trị cho X: Vì tập xác định là toàn
nên ta sẽ khéo gán giá trị cần tính là
x0  X  0 (chú ý là các em có thể gán các giá trị khác, nhưng đáp án cuối cùng phải như nhau).
+ Bước 3.2 gán giá trị cho Y: Quan sát đáp án, ta thấy:
* Nếu ta gán Y  2 mà kết quả S  0 thì đáp án A và D sẽ bị loại. Còn nếu S  0 thì Đáp án A và
D có khả năng nhận….
Thật vậy, khi CALC với X  0; Y  2 thì S  18  0 suy ra f  x  đồng biến. OK.
* Tiếp tục, bấm CALC và lại gán X  0; Y  0 thì ta được S  6  0 . Cũng OK.
Vậy tới đây, ta thấy là m  0 , m  2 nhận được thì 2 đáp án A và B lại là đáp án sai.
Chỉ còn 2 đáp án có thể đúng là C hoặc D. Tư duy nhé các em…
* Tiếp, để loại (hoặc nhận) được C hoặc D, ta chỉ cần gán 1 giá trị Y sao cho lệch với C hoặc D. Cụ
thể như gán Y  3 thì lệch với D, gán Y  1 thì lệch với C.
Thật vậy, khi CALC với X  0; Y  3 thì S  24  0 . Ok. Vậy thì C đúng. Còn D bị loại.
Kết luận C là đáp án cuối cùng.
Sau ví dụ này, các ví dụ tiếp theo thầy sẽ bỏ qua bước 1 và 2. Trong bước 3 thầy cũng sẽ bỏ những
câu từ dài dòng.
Các em chú ý theo dõi…

Câu 7: Để hàm số y  x3  3mx2  4mx  4 luôn tăng trên
thì:
4
4
3
A. 0  m 
B.   m  0
C. 0  m 
3
3
4
Giải: TXD trên

A. 2  m  1
Giải: Txđ:

B.   m 

C. 0  m 

D. Đáp án khác

\ m nên nếu gán X  0 thì nhớ đừng gán Y  0 (hoặc các giá trị X, Y tương ứng).

Ở bài này thầy gán X  0 .
Quan sát đáp án, thấy nếu gán m  Y  2 mà < 0 thì chỉ đáp án B đúng. Nếu > 0 thì B sai.
B sai. Gán tiếp nếu m  Y  1 mà < 0 thì C đúng. Nếu > 0 thì C sai.
C sai. Gán m  Y  1 < 0. Vậy A đúng.
Ta thu được đáp án là A.
Câu 9: Cho hàm số y 
A. a  1
Giải: Txđ:

ax  1
. Để hàm số luôn nghịch biến thì:
xa
B. a  1
C. 1  a  1

\ a . Gán X  0 .

D. a  1


Đồng hành cùng sĩ tử trong kì thi năm 2017

5


Lê Mạnh Cường – Biên Hòa, Đồng Nai – 0969 925 745
Giải: Đồng biến trên  2;   nên gán X  2 .
Gán Y  0 > 0 thì loại A, D. Sai loại B.
Y  0 > 0, nên gán tiếp Y  1 > 0 nên chọn B loại C.
Ta thu được đáp án là B.
Câu 12: Để hàm số y  x 2  m  x   m đồng biến trong khoảng 1;2  thì:
A. m  3

B. m  

C. 1  m  3

D. m  

Giải: Đồng biến trên: 1;2  . Gán X  0,5 .
Gán Y  3 > 0 loại A. Gán tiếp, Y  4 > 0 chọn B, loại C và D.
Ta thu được đáp án là B.
Câu 13: Để hàm số y  

x3
  a  1 x 2   a  3 x  4 đồng biến trong khoảng  0;3 thì tham số a
3

phải thỏa:
A. a  3


1
6

C. m 

5
12

D. m 

5
12

Giải: Đồng biến trên  2;  gán X = 3.
B, D cùng chiều. Gán Y  

5
1
> 0 nhận B và A. Gán Y 
> 0 nhận C và D.
12
6

Gán tiếp Y  1 > 0 nhận B loại A, C. Gán tiếp Y  0 > 0 nhận D loại B.
Ta thu được đáp án là D.
Câu 15: Cho hàm số y 

x2  4 x
. Để hàm số đồng biến trên 1;   thì tham số m phải thỏa:

7