Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Bài 1. Cho hàm số y  2x3  9mx2  12m2 x  1 (1) . Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng

 2; 3  .
Giải

y'  6x2  18mx  12m2 , y ' có   36m2  0 suy ra y ' có nghiệm x  2m,x  m
và ta có sơ đồ dấu của y ' trong các trường hợp sau :



m

+

-

2m

+

+

m  2m +


2

-

m
3

3

+

2m +




 2m  2
 m  1
(VN)


m  3
m  3




m  2
m  2

,
3

và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau:

+



3  9  3m 3  9  3m
3
3
+

Để y'  0 trên 0;   ,ta phải có
3  9  3m
3

+





+

3  9  3m
0
3
3  9  3m


y ' có   4m2  4m  24
+) Nếu 2  m  3 thì y'  0 với x  2  m  3 không thỏa mãn.
+) Nếu   0  m  2  m  3 thì y ' có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ,và ta có sơ đồ dấu của y '
như sau



+-

x1

+

x2

-+



Để y'  0 trên một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6 ta phải có x1  x2  2 6

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

y ' có   36  0 suy ra y ' có nghiệm phân biệt x  m,x  m  2 và ta có sơ đồ dấu của y ' như
sau :
m2 -

+



m

+



Để hàm số (1) đồng biến trên các đoạn 
 2; 1 và 1; 2  thì ta phải có y'  0 trên các đoạn

 2; 1 và 1; 2 
m2

+



-

m

+


-1



Hoặc m  2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

+



1

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

Hoặc m  2  2  m  4

m  2  1
 m 1
Hoặc 
m  1

+) nếu m  1  0  m  1 thì y'  0 x  
 m  2.
2



8m

20m

8

0



ĐS : m  2 .
Bài 7. Cho hàm số y  x4  mx2  m  2 (1) . Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên nửa đoạn
1;   .

Giải

y'  4x3  2mx  2x(2x2  m)
Để hàm số (1) đồng biến trên 1;   thì ta phải có y'  0 trên 1;   .
Xét f(x)  2x2  m , f(x) có   8m .
+) Nếu   0  m  0 thì f(x)  0 x .Khi đó ta có sơ đồ dấu của y ' như sau
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12


+

m
.Khi đó ta có sơ đồ dấu của y ' như sau
2

m
2

+



m
2

+



o

Để y'  0 trên 1;   ta phải có

m
 +
2

-



Xét f(x)  2x2 ,x  1 ,ta có f ' (x)  4x  0 , x  1 suy ra f(x) nghịch biến với x  1

 Max f(x)  f(1)  2 .Suy ra giá trị cần tìm là m  2 .
x 1

Bài 8. Cho hàm số y 

x  3m  1
(1) . Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên nửa đoạn  3;   .
xm

Giải
TXĐ: R\m , y' 

1  4m

x  m

2

.

Để hàm số nghịch biến trên  3,   , ta phải có:



m

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt



m  3(m   3,  )
m  3
(m<3 để đảm bảo hàm số nghịch biến tại mọi điểm trên  3,   , ví dụ: khi m=4 => điều kiện
xác định x khác 4 => h/s không thể nghịch biến tại 4)
Mặt khác, ta thấy với m 
m

Vậy

1
thì y'  0 trên toàn bộ tập xác định
4

1
không thoả mãn điều kiện.
4

1
 m  3.
4

Bài 9. Cho hàm số: y   m  1 x4  mx2  3  m . Tìm m để hàm số đồng biến trên  1,  
Giải

y'  4  m  1 x3  2mx  2x 2  m  1 x2  m 
Hàm số đồng biến trên  1,    y'  0 với x   1,   , tức y'  0 với x  1
+ m = 1 thì y'  2x
Khi đó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên  1,  

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Bài 10. Cho hàm số: y 
 2,  

Hàm số

mx3
1
  m  1 x2  3  m  2  x  . Tìm m để hàm số đồng biến trên
3
3

Giải
y'  mx2  2  m  1 x  3m  6

Để hàm số đồng biến trên đoạn  2,   , ta phải có y'  0 với x  2 .
* Xét trường hợp: m = 0
Ta có: y'  2x  6, y'  0  2x  6  0  x  3  m  0 không thoả mãn.
* Xét trường hợp: m < 0

y ' có  '  2m2  4m  1
- Nếu   0  m 

2 6
2 6
2 6
kết hợp với m < 0 ta được m 
thì y'  0 với

=> y'  0 với x  3  m 
- Nếu  '  0  0  m 

2 6
thoả mãn (*)
2

2 6
m  1  2m 2  4m  1
thì y ' có 2 nghiệm phân biệt x 
2
m

Và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau : (tự vẽ)
Để y'  0 x  2 ta phải có:

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

m  1  2m 2  4m  1
2

2
2 6
(**)
m
3
2

Từ (*)và (**) => m 
Bài 11. Cho hàm số: y 

2
.
3

x 3
  m  1 x 2   m  3  x  4 . Tìm m để hàm số đồng biến trên (0, 3).
3
Giải

y'  x2  2  m  1 x  m  3
2


1  15
y ' có  '   m  1  m  3  m  m  4   m     0
2
4

2


y ' có  '  6  3m
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

- Nếu  '  0  6  3m  0  m  2 thì y'  0 với x
 m  2 không thoả mãn.

- Nếu  '  0  6  3m  0  m  2 thì y ' có hai nghiệm phân biệt x 

3  6  3m
.
3

Và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau : (tự vẽ)
Để ý: y'  0 trên (-1, 1), ta phải có:
 3  6  3m
 1 


 6  3m  0
3

 Nếu 1  m2  0  1  m  1 => y'  0 thì hàm luôn đồng biến trên mỗi khoảng (; m) và
(m;  ).

m  1
 Nếu 1  m 2  0  
=> y'  0 thì hàm luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
 m  1
 Nếu 1  m2  0  m  1 thì y không đổi trên TXĐ.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai

- Trang | 9 -