Phần 1. Hàm số lượng giác
I. Các hàm số lượng giác
1. Hàm số tuần hoàn
Hàm số f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho:
a) ∀x ∈ D, đều có: x - T ∈ D và x + T ∈ D
b) ∀x ∈ D, đều có: f(x + T) = f(x)
Số T > 0 nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f(x).
2. Hàm số y = sỉnx
Có tập xác định D = R, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì 2 , lấy mọi giá trị thuộc đoạn [-1 ; 1].
3. Hàm số y = cosx
Có tập xác định D = R, là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì 2 , lấy mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1].
4. Hàm số y = tanx

Tập xác định D = {x ∈ R/x ≠

+ k , k ∈ Z}, là hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì

, lấy mọi giá trị thuộc R.

5. Hàm số y = cotx
Tập xác định D = {x ∈ R/x ≠ k , k ∈ Z}, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì
II. Công thức biến đổi
1. Tích thành tổng

2. Tổng thành tích

, lấy mọi giá trị thuộc R.


Phần 2:Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình sinx = m (1)


Ta được phương trình theo t.
4. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d
Cách giải
• Xét cosx = 0
• Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x, ta đưa về phương trình theo tanx.
(Cũng có thể xét sinx = 0; còn khi sinx ≠ 0, chia hai vế phương trình cho sin2x, ta đưa về phương trình
theo cotx).

Phần 4: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
1. Hai quy tắc đếm cơ bản
a) Quy tắc cộng
Nếu có m cách chọn đối tượng A, n cách chọn đối tượng B và cách chọn đối tượng này không trùng với
bất kì cách chọn nào trong các cách chọn đối tượng kia thì có m + n cách chọn đối tượng A hoặc B.
Nói cách khác: Tập hợp hữu hạn A và B không giao nhau thì số phần tử A ∪ B là:
N(A ∪ B) = N(A) + N(B)


Ghi chú : Nếu kí hiệu |X| là số phân tử của tập hợp hữu hạn X.
Ta có : | A ∪ B| = |A| + |B|
b) Quy tắc nhân
Nếu một công việc phải thực hiện qua hai bước. Bước thứ nhất có thể thực hiện theo m cách, bước thứ
hai có thể thực hiện theo n cách thì số cách hoàn thành công việc nói trên là m x n cách.
2. Hoán vị
Tập hợp hữu hạn A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của A được gọi là một hoán vị
của n phần tử đó.
Định lí: Số nhóm hoán vị khác nhau của n phần tử là:
P = n(n - 1)(n - 2)... 2.1 = n!
3. Chỉnh hợp

A là biến cố chắc chắn

A∪B

Biến cố "A hoặc B"

A∩B

Biến cố "A và B"

A∩B=Ø

A, B là hai biến cố xung khắc
Biến cố đối của biến cố A

Định nghĩa xác suất của biến cố A:

Trong đó N(A): Số phần tử của A
N(Ω): Số phần tử của Ω.
3. Tính chất
+ P(∅)= 0; P(Ω) = 1
+ 0 ≤ P(A) ≤ 1
+ Nếu A ∩ B = Ø thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
+ Nếu A, B là hai biến cố bất kì thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
+ P( ) = 1 - P(A)

Phần 6: Xác suất có điều kiện - Kì vọng phương sai


I. Xác suất có điều kiện

x

...

x

...

x

P

p

p

...

p

...

p

1

1

2


p

p

...

p

1

1

2

2

3

3

n-1

n

p

n

n-1


Khi đó, ta có un = f(n).
Kí hiệu (un) hay ở dạng khai triển là u1, u2, ... , un, ...


2. Cách xác định một dãy số
Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:
Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u n.
Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi, tức là:
• Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)
• Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.
3. Dãy số đơn điệu
Định nghĩa 1:
(Dãy số tăng): Dãy số (un) được gọi là tăng nếu ∀n ∈ N*, un < un + 1.
Định nghĩa 2:
(Dãy số giảm): Dãy số (un) được gọi là giảm nếu ∀n ∈ N*, un > un + 1.
4. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 3:
(Dãy số bị chặn trên): Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu: ∃M ∈ R : un ≤ M, ∀n ∈ N*
Định nghĩa 4 :
(Dãy số bị chặn dưới): Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu: ∃m ∈ R : un ≥ m, ∀n ∈ N*
Định nghĩa 5:
(Dãy số bị chặn): Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là:
∃m, M ∈ R : m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N*

Phần 8. Cấp số cộng
1. Định nghĩa
Dãy số (un) được xác định bởi:

(u, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng.

III. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:
Gọi Sn = u1 + u2 + ... + un là tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với q ≠ 1, ta có:

Phần 10. Giới hạn của dãy số


I. Dãy số có giới hạn
1. Dãy số có giới hạn 0
Dãy số (un) có giới hạn là 0, kí hiệu

(hoặc limun = 0 hoặc un → 0 khi n →+∞), nếu tất cả các

số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương
tùy ý cho trước.

Định lí: Cho hai dãy số (un) và (vn).
Nếu l un l ≤ vn, ∀n và limvn = 0 thì limun = 0.
2. Dãy số có giới hạn

3. Các định lí về dãy số có giới hạn hữu hạn
Định lí 1.

Định lí 2: Nếu limun = L, limvn =M và c là hằng số thì:
• lim(un ± vn) = L ± M, lim(un.vn) = L.M, limcun = cL.

Định lí 3: (Định lí kẹp về giới hạn của dãy số)
Cho ba dãy số (un), (vn), (wn) và số thực L.
Nếu un ≤ vn ≤ wn ∀n và limun = limwn = L thì limvn = L.
Định lí 4:
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn


, trong đó limf(x) = limg(x) = 0 hoặc limf(x) = ∞, limg(x) = ∞ khi x →

x0 hoặc x → x0 hoặc x → x0 hoặc x → ±∞
+

-

Khi giải các bài toán loại này ta phải biến đổi để khử dạng vô định nhằm áp dụng các định lí giới hạn.
2. Dạng 0, ∞.
Dạng toán tìm giới hạn lim[flx).g(x)] trong đó limf(x) = 0, limg(x) = ∞ khi x → x0 hoặc x → x0+ hoặc x →
x0- hoặc x → ∞
3. Dạng ∞ - ∞
Dạng toán tìm giới hạn lim[f(x) - g(x)], trong đó limf(x) = limg(x) = +∞ hoặc limf(x) = limg(x) = -∞ khi x →
x0 hoặc x → x0+ hoặc x → x0- hoặc x → ∞

Phần 12. Giới hạn của hàm số


I. Giới hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K, có thể trừ ở điểm x 0 ∈ K.
Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x0, nếu với mọi dãy số (xn) (xn ∈ K, xn ≠ x0, ∀xn ∈ N*)
sao cho: nếu limxn = x0 thì limf(xn) = L

2. Một số định lí về giới hạn của hàm số
Định lí 1: Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới x0 thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lí 2: Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x dần tới x 0 thì:

Định lí 3: (Giới hạn của một hàm số bị kẹp)

khoảng xác định của nó.
Định lí 2: Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì:
a) Các hàm số f(x) ± g(x), f(x).g(x) liên tục trên K.

Định lí 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b], f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số M nằm giữa f(a) và f(b) có ít nhất 1
số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = M.
Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.
Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).

Phần 14. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và điểm x 0 ∈ (a, b). Nếu tồn tại giới hạn hữu
hạn sau đây:

thì giới hạn trên được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0, kí hiệu là f(x0) hay y'x0.
2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
• Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên K nếu f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm bất kì


x0 ∈ K.
Đạo hàm của hàm số y = f(x) được kí hiệu là y’ hay f'(x).
• Định lí: Với mọi x ∈ R ta có:
a) f(x) = c thì f'(x) = 0
b) f(x) = x thì f'(x) = 1
c) f(x) = xn, n ∈ N* thì f'(x) = nxn-1

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0;
f(x0)). Phương trình của tiếp tuyến của đồ thị tại M 0(x0; f(x0)) là:
y = f'(x0)(x - x0) + f(x0).

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x.
Tích f'(x)Δx, kí hiệu df(x) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia Δx đã cho:
df(x) = f'(x)Δx
Vì

dx = (x)’Δx = Δx nên ta có:
df(x) = f'(x)dx hay dy = y’dx.


2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Nếu l Δx l khá nhỏ ta có:
Δy ≈ f'(x0)Δx tức là f(x0 + Δx) - f(x0) ≈ f'(x0)Δx
Suy ra f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f'(x0)Δx
II. Đạo hàm cấp hai
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Hàm số f(x) còn được gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f(x) và
kí hiệu là f(1)(x). nếu hàm số f(1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm
số f(x) và kí hiệu là f''(x) hay f(2)(x). nếu hàm số f(2)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm
cấp ba của hàm số f(x) và kí hiệu f'''(x) hay f(3)(x).
Một cách tổng quát:
Đạo hàm cấp n (n ∈ N, n ≥ 2) của hàm số y = (x), kí hiệu là f(n)(x) hay y(n), là đạo hàm cấp một của hàm số
f(n-1)(x) tức là: f(n)(x) = [f(n-1)x]’
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: s = s(t)
Ta đã biết, vận tốc tại thời điểm t0 của chất điểm đó là:
v(t0) = s'(t0)
Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 (hay còn nói: gia tốc tại thời điểm t0) của một chất điểm chuyển động với
phương trình s = s(t) là:
(t0) = s''(t0)
3. Đạo hàm cấp cao

∗ Tính chất:
• Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm bất kì M và N thành hai điểm M’ và N’ thì MN = M’N’. Nói một cách
khác: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
• Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba
điểm thẳng hàng đó.
• Phép tịnh tiến:
a) Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
b) Biến một tia thành tia
c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
d) Biến một góc thành góc có số đo bằng nó.
e) Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường tròn thành đường tron bằng nó.
2. Phép quay
Cho điểm O và góc α. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M, một điểm M’ sao cho:
OM’ = OM và

= α gọi là phép quay tâm O, góc α. Kí hiệu:


3. Phép vị tự
∗ Định nghĩa: Cho điểm O cố định và số k không đổi, k ≠ 0
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M, một điểm M’ sao cho
gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k. Kí hiệu

= k.

.

∗ Tính chất:
• Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì




2. Định nghĩa hai hình bằng nhau
Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia

⇒Nếu hình H1=hình H2 và hình H2=hình H3 thì hình H1=hình H3.

Phần 20. Tóm tắt lý thuyết
1. Các tính chất thừa nhận:
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều
thuộc mặt phẳng đó.
- Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một điểm chung khác.
- Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
2. Ba cách xác định mặt phẳng: qua ba điểm không thẳng hàng; qua một đường thẳng và một điểm
không thuộc đường thẳng đó; qua hai đường thẳng cắt nhau.
3. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng; hai đường thẳng gọi là song song
nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
4.
- Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi
một song song.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu
có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
5.
- Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
- Nếu một đường thẳng không nằm trên một mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó trên
mặt phẳng thì đường thẳng song song với mặt phẳng.
6.
- Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

chung
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Nếu đường thẳng a không nằm trên mp (P) và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a
song song với (P)
3. Tính chất
Nếu đường thẳng a song song với mp (P) thì mọi mặt phẳng (P) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao
tuyến song song với a


Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng
nào đó trong mặt phẳng
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng
cũng song song với đường thẳng đó
Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b

Phần 23. Hai mặt phẳng song song
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt
Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P)
song song với (Q)
3. Tính chất
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao
tuyến của chúng song song
4. Định lí Ta-lét trong không gian
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Phần 24. Phép chiếu song song
1. Định nghĩa phép chiếu song song