NGUYỄN ðỨC TUẤN
TỰ ÔN LUYỆN THI

MÔN TOÁN
MÔN TOÁNMÔN TOÁN
MÔN TOÁN Hà nội, 1 - 2005
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
1
Chương 1: Phương trình và bất phương trình
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I. Cách giải
1) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a,b
∈
IR.

xx
-
a2
b
.
•

N
ế
u
∆
> 0 ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
=
2,1
x

a2
b ∆±−
.
II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm
1) ðịnh lí Viét
: N
ế
u ph

ng trình b
ậ
c hai ax
2
+ bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi
ệ
m:
Trái d
ấ
u
⇔

0
a
c
< Cùng d
ấ
u
⇔






>
≥∆
0
a
c







<−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam th
ứ
c b
ậ
c hai f(x) = ax
2
+ bx + c, a
≠
0 ta có

.
•

N
ế
u
∆
> 0 khi
ñ
ó f(x) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
< x
2
và
a.f(x) > 0 v
ớ
i x ngoài ]x;x[
21
.
a.f(x) < 0 v
ớ
i
21
xxx <<
.
2. ðịnh lí ñảo:

ñ
ó:
21
xx
<α<
. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
2
IV. Ứng dụng

1. ðiều kiện ñể f(x) = ax
2
+ bx + c không ñổi dấu với mọi x
f(x) > 0 v
ớ
i
∀
x







>



≥
==
⇔
0
0a
0c
0ba f(x) < 0 v
ớ
i ∀ x










<∆
<



0a
0c
0ba

2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực
α

•
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
f(x) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và
21
xx <α<
là: a.f(
α
) < 0.
•
ð
i
ề
u ki

ệ
m: α<<
21
xx ⇒







<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0

- N
ế
u α n
ằ
m bên trái hai nghi
ệ
m:
21

ệ
m phân bi
ệ
t và m
ộ
t nghi
ệ
m n
ằ
m trong, m
ộ
t nghi
ệ
m
n
ằ
m ngoài
ñ
o
ạ
n [
βα;
] là: f(
α
).f(
β
) < 0.

3. ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x >
α





<α
>α
≥∆
2
S
0)(f.a
0

•

Tr
ườ
ng h
ợ
p 3: f(x) có nghi
ệ
m
21
xx <=α





<α
=α

hàm s
ố
y = f(x) liên t
ụ
c. Khi
ñ
ó
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể

ph
ươ
ng trình f(x) = m có nghi
ệ
m là minf(x)
≤
m
≤
maxf(x).Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
3
Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai


a.f(x) > 0 v
ớ
i x ngoài
]x;x[
21

a.f(x) < 0 v
ớ
i
21
xxx <<
Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực
αð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể

f
(x) = ax
2



>α
>∆
0)(f.a
0

α<<
21
xx

α<<
21
xx

a.f(
α
) < 0 







Ví dụ 1
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình 08mx)4m(2x
22
=+++− có 2 nghi
ệ
m d
ươ
ng.
Ví dụ 2
. Xác
ñị
nh a
ñể
bi
ể
u th
ứ
c 3a3x)1a(2x)1a(
2
−+−−+ luôn d
ươ
ng
Ví dụ 3
. Tìm m
ñể
b

ỏ
a mãn
-1<
21
xx <

Ví dụ 5
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình
01m2mx2x
22
=−+−
có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
4xx2
21
≤≤≤−
Ví dụ 6
. Cho ph
ươ
ng trình 2m3x)2m(x
2
−+++ =0
Tìm m

ươ
ng trình 02m2m9mx6x
22
=+−+− có nghi
ệ
m 3xx
21
≤≤
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
4
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI
I. Phương trình trùng phương
0a,0cbxax
24
≠=++
(1)
ðặ
t t =
2
x
≥ 0 ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành: at

t nghi
ệ
m d
ươ
ng.

•

PT (1) có
ñ
úng 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ằ
ng 0 và m
ộ
t
nghi
ệ
m d
ươ
ng.

– 1 = 0.
a)Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
b)Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
ph
ươ
ng trrình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.

Ví dụ 2.
Tìm m sao cho
ñồ
th

1) Các dạng cơ bản:
| a | = b



±=
≥
⇔
ba
0b

| a | = | b |
ba ±=⇔

| a | ≤ b



≤
≥
⇔
22
ba
0b

| a | ≥ b





– 4x + m |.

2)Phương pháp ñồ thị:
a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x).
- Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và
phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2).
- Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị
(3).
- ðồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa
vẽ.
b) ðịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng
nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng
chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp
dụng ñịnh lí trên ñể biện luận.

Ví dụ 6. Tìm m ñể phương trình | x
2
– 1 | = m
4
– m
2
+1 có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
5
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.Các dạng cơ bản

0)x(

D
ạ
ng 3:





ϕ<
>ϕ
≥
⇔ϕ<
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f
,





ϕ≤
≥ϕ
≥
⇔ϕ≤
2

0)x(f
)x()x(f
,










ϕ≥
≥ϕ



≥ϕ
<
⇔ϕ≥
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f

Ví dụ 1
. Gi

−>−+

Ví dụ 4
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
3mxx2mx
2
−+=−

II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không cơ bản
1) Phương pháp lũy thừa hai vế:
-
ðặ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n tr
ướ
c khi bi
ế
n
ñổ

c
ủ
a m
ộ
t b
ấ
t ph
ươ
ng trình và gi
ữ
nguyên chi
ề
u)
nếu
hai v
ế
c
ủ
a chúng
không âm.
- Chú ý các phép bi
ế
n
ñổ
i c
ă
n th
ứ
c
AA


Ví dụ 8.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x1x2x ≤+−+

Ví dụ 9
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2x21x6x8x2
22
+=−+++

Ví dụ 10
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
1x1x3x23x4x

ñẳ
ng th
ứ
c
222
bab2a)ba( +±=± , )ba)(ba(ba
22
−+=− , …
Ví dụ 11
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x2x71x10x5
22
−−≥++

Ví dụ 12.
i
ả
i ph
ươ
ng trình
47x1x7x28x
=+−+++++

Ví dụ 13

ấ
t ph
ươ
ng trình
4
x2
1
x2
x2
5
x5
++<+

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
6
Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG

I. Hệ phương trình ñối xứng loại 1
1)Khái niệm
: Là h
ệ
mà m
ỗ
i ph
ươ
ng trình không
ñổ
i khi ta thay x b
ở

ệ
.
3)Cách giải:
Bi
ế
n
ñổ
i h
ệ
ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng: H
ệ

ñ
ã cho
⇔



=
=+
Py.x
Syx
(1)
Khi

ph
ươ
ng trình (1) có hai
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t (t
1,
t
2
), (t
2
, t
1
).
N
ế
u
∆
= 0 thì ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m kép t
1
= t
2
nên h
ệ

0, y
≥
0





≥
≥
≥−=∆
0P
0S
0P4S
2

Ví dụ 1
.Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình



=+
=+
26yx






+−=+
=−++
6m4myx
m1y1x
2




=+++
−=++
m2)yx(2yx
6m5)2y)(2x(xy
22II. Hệ phương trình ñối xứng loại 2
1)Khái niệm:
Là h
ệ
ph
ươ
ng trình mà trong h
ệ
ph

thì (y
o,
x
o
) c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
.

3)Cách giải:

Tr
ừ
v
ế
v
ớ
i v
ế
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ

23






=−
=−
22
22
x4xy
y4yx








+=
+=
x
1
xy2
y
1
yx2
2

2 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
7
Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC

I. Hệ vô tỷ

Ví dụ 1.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+

ng trình





=−−+
=−++
1xyxy
2yxyx

Ví dụ 4.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+−
=−−
2yx2
2y2x

Ví dụ 5.




=++
=+
−+
22
y
x4
yx
1
x
y2
1yx
3
22
22

Ví dụ 7
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình



=−

có nghi
ệ
m



=+++
+=−
02yxxy
)xy1(ayx

Ví dụ 10
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+
=−
y10)yx(x
x3)yx(y2
22
22




=−
−=−−
180xy)yx(
11yxyx
22
22

Ví dụ 13
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





+=+
−=−
)yx(7yx
)yx(19yx
33
33


l
ượ
ng giác c
ơ
b
ả
n. Ta c
ầ
n ghi nh
ớ
b
ả
ng sau
ñ
ây:

Ph
ươ
ng trình
ð
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m
ðư
a v
ề

tgx = m m
ọ
i m
tgx = tg
α

α
+ k
π

cotgx = m m
ọ
i m
cotgx = cotg
α

α
+ k
π Ở
b
ả
ng trên k nh
ậ
n m
ọ
i giá tr
ị

ượ
ng giác t
ạ
i các góc
ñặ
c bi
ệ
t.
ðườ
ng
tròn l
ượ
ng giác s
ẽ
giúp ta nh
ớ
m
ộ
t cách rõ ràng h
ơ
n.

π
) = cos(x +
2
π
); c) cosx = sin(2x +
4
π
).
Ví dụ 3
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
0)
3
8
xcos
3
(cos
2
=
π
−
π
.
Ví dụ 4.
Gi
ả
i ph

a ph
ươ
ng trình (1) cho
22
ba +
, ta
ñượ
c:
(1)
⇔

222222
ba
c
xcos
ba
b
xsin
ba
a
+
=
+
+
+
(2)

ðặ
t
22

ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi:
222
22
cba1
ba
c
≥+⇔≤
+

Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i
[ ]
π∈α
;0
sao cho
22
ba
c
cos
+

ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = - 3 .
b)

Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
Ví dụ 8
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 1xsin3xcosxsin32xcos
22
=++

Ví dụ 9
. Tìm
α

ñể
ph



π
∈
2
;0x
:
cos2x – msin2x = 2m – 1
Ví dụ 12
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x).
Ví dụ 13
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
0
4
1
xsinx4cos.xcosx4cos
22
=+−−


các s
ố

h
ạ
ng có t
ổ
ng s
ố
m
ũ
c
ủ
a cosx và c
ủ
a sinx ho
ặ
c
ñề
u là s
ố
t
ự
nhiên ch
ẵ
n ho
ặ
c
ñề
u là s

ấ
t trong các t
ổ
ng s
ố
m
ũ
nói trên
ñượ
c g
ọ
i là b
ậ
c c
ủ
a ph
ươ
ng trình.

Cách giải
: - Xét tr
ườ
ng h
ợ
p cosx = 0 th
ử
vào ph
ươ
ng trình
- Khi 0xcos

ng trình: xsin2)
4
x(sin
3
=
π
+

Ví dụ 16
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m:
msin2x + cos2x + sin
2
x +m = 0.
Ví dụ 17:
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có
ñ
úng hai nghi
ệ
m x n
ằ

ộ
t ph
ươ
ng trình sau khi bi
ế
n
ñổ
i v
ề
cosx, sinx mà các s
ố
h
ạ
ng có
ch
ứ
a t
ổ
ng (cosx
±
sinx ) ho
ặ
c ch
ứ
a tích cosx.sinx
ñượ
c g
ọ
i là ph
ươ


N
ế
u
ñặ
t t = sinx - cosx, ta có
2t ≤
. Khi
ñ
ó: sinx.cosx =
2
t1
2
−Ví dụ 18
. Cho ph
ươ
ng trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m).

a)

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình v

2
3
x2cosx2sin1
33
=++
Ví dụ 21
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m






ππ
∈
4
3
,
4
x
:

.mxsinxcos
33

ñ
ã trình bày
ở
các
m
ụ
c tr
ướ
c, ng
ườ
i ta th
ườ
ng ngh
ĩ
t
ớ
i phân tích chúng thành nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n.
Vi
ệ
c phân tích thành tích th
ự
c ch

i thành th
ạ
o các công th
ứ
c l
ượ
ng giác, các
h
ằ
ng
ñẳ
ng th
ứ
c
ñạ
i s
ố

ñ
áng nh
ớ
và c
ũ
ng c
ầ
n ph
ả
i có kinh nghi
ệ
m nhìn nh

2
1
xsin
±=
,
1xcos ±=
,
2
1
xcos
±=

và ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a th
ừ
a s
ố
(cosx ± sinx). S
ử
d
ụ
ng
ñẳ
ng th
ứ
c sin
2

thành t
ổ
ng, hàm s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a hai góc có liên quan
ñặ
c bi
ệ
t. Chú

thêm m
ộ
t
s
ố
bi
ế
n
ñổ
i sau
ñ
ây:

x2sin
2
tgxgxcot =+ ,

u th
ứ
c có nhân t
ử
chung.

f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x)
sinx sin2x, tgx, tg2x,
cosx sin2x, tg2x, cotgx,
1+cosx
2
x
cos
2
,
2
x
gcot
2
, sin
2
x, tg
2
x
1-cosx
2
x
sin
2
,


1-sinx
cos
2
x, cotg
2
x,
)
2
x
4
(cos
2
+
π
,
)
2
x
4
(sin
2
−
π

sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx

Ví dụ 1
.Gi

ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin
3
x + cos2x + cosx = 0
Ví dụ 5
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
Ví dụ 6.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
x2sin1
tgx1
tgx1
+=
−
+

Ví dụ 7
.Gi
ả
i ph
ươ

.1a0 ≠<

•

T
ậ
p xác
ñị
nh: IR.
•

T
ậ
p giá tr
ị
: IR
+
. (
ñồ
th
ị
luôn n
ằ
m phía trên tr
ụ
c hoành)
•

Khi a > 1 hàm s
ố

t:
•

T
ậ
p xác
ñị
nh: IR
*
(x > 0 ).
•

T
ậ
p giá tr
ị
: IR
•

Khi a > 1 hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n.
Khi 0 < a < 1 hàm s
ố
ngh
ị

h
ơ
n 1 quy
ế
t
ñị
nh chi
ề
u c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình. Vì v
ậ
y ph
ả
i chú ý
ñế
n chi
ề
u c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
trong quá trình bi


•

alog
blog
blog
c
c
a
=
( Công th
ứ
c
ñổ
i c
ơ
s
ố
v
ớ
i
0b >
,
1a0 ≠<
,
1c0 ≠<
).
•

blog


D
ạ
ng 1:



=
>
⇔=
blog)x(f
0b
ba
a
)x(f

D
ạ
ng 2:
ba
)x(f
<
(v
ớ
i b > 0)






u
0b ≤
b
ấ
t ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i x thu
ộ
c t
ậ
p xác
ñị
nh
c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình.
-
N

>
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a

D
ạ
ng 4:










>
<<



<
>
⇔<
)x(g)x(f








>
<<



<<
>
⇔<
b
b
a
a)x(f
1a0
a)x(f0
1a
b)x(flog

D
ạ
ng 3:











<<
<<



<<
>
⇔<
)x(f)x(g0
1a0
)x(g)x(f0
1a
)x(glog)x(flog
aa

Ví dụ 1.
Cho ph
ươ
ng trình:
1mm
5
1
24

t ph
ươ
ng trình:
2)3x8x5(log
2
x
>+−

Ví dụ 3.
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t:
x)m99(log
3x
2
=+

Ví dụ 4
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
15
III. Các phương trình, bất phương trình không cơ bản
•

Ph
ả
i
ñặ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n.
•

Nh
ữ
ng bài toán có tham s

ng trình m
ũ
, logarit mà
ẩ
n x v
ừ
a
ở
s
ố

m
ũ
c
ủ
a l
ũ
y th
ừ
a, v
ừ
a
ở
h
ệ
s
ố
, th
ườ
ng chuy

ủ
a tích
ñố
i v
ớ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình.
•

Khi bài toán ph
ứ
c t
ạ
p, có nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
gi
ố
ng nhau hay nhân t
ử
gi
ố
ng nhau
ta có th

4.69
3
1
4.3
+++
−=+
Ví dụ 8.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
xxx
6242.33.8 +=+

Ví dụ 9.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
3
)x5(log
)x35(log
a
3
a
>


Ví dụ 11
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 0)2xlg(lg)xlg(lg
3
=−+
Ví dụ 12
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:

x2x)3x2x5(log.x3x2x5log.x
22
6
1
2
6
2
+=−−−−−

Ví dụ 13.
Gi
ả
i b
ấ

. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
25)1x(lg)1x(lg
3224
=−+−

Ví dụ 16.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
4)21x23x6(log)x4x129(log
2
3x2
2
7x3
=+++++
++

Ví dụ 17
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau
ñ

ố
(Xét tính ch
ẵ
n l
ẻ
, tính tu
ầ
n hoàn (n
ế
u có)).
2) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên hàm s
ố

a) Xét chi
ề
u bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố

•


ó )x(f
′
không xác
ñị
nh ho
ặ
c b
ằ
ng 0)
•

Xét d
ấ
u c
ủ
a
ñạ
o hàm trong các kho
ả
ng xác
ñị
nh b
ở
i các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h

n thiên hàm s
ố
trong m
ỗ
i kho
ả
ng
(
ðồ
ng bi
ế
n n
ế
u
)x(f
′
>0, ngh
ị
ch bi
ế
n n
ế
u
)x(f
′
<0).
b) Tính các c
ự
c tr
ị

)
•

Khi x d
ầ
n t
ớ
i bên trái và bên ph
ả
i, các giá tr
ị
c
ủ
a x t
ạ
i
ñ
ó hàm s
ố
không
xác
ñị
nh (
o
xx +→ ,
o
xx −→ )
•

Tìm ti


- Ti
ệ
m c
ậ
n xiên: y = ax + b . Trong
ñ
ó
x
)x(f
lima
x
∞→
=
;
]ax)x(f[limb
x
−=
∞→

(khi
+∞→x
(
−∞→
x
),
o
xx +→ (
o
xx −→ ) thì

a th
ứ
c)
•

Tính
ñạ
o hàm c
ấ
p 2
•

Xét d
ấ
u c
ủ
a
ñạ
o hàm c
ấ
p 2
•

Suy ra tính l
ồ
i, lõm và
ñ
i
ể
m u

ồ
i trên kho
ả
ng
ñ
ó)
e) L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên (ghi t
ấ
t c
ả
các k
ế
t qu
ả
tìm
ñượ
c vào b
ả
ng bi
ế
n thiên)
3)V
ẽ


ấ
y thêm m
ộ
t s
ố

ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñồ
th
ị
, nên v
ẽ
ti
ế
p tuy
ế
n
ở
m
ộ
t s
ố

ñ
i

BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Tìm giao ñiểm của hai ñường

Gi
ả
s
ử
hàm s
ố

)x(fy =
có
ñồ
th
ị
là (C) và hàm s
ố

)x(gy =
có
ñồ
th
ị
là
)C(
1
. Rõ ràng
)y;x(M
ooo
là giao

Do
ñ
ó
ñể
tìm hoành
ñộ
các giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) và
)C(
1
ta gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
)x(g)x(f =
(1)
S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ

)) x(f;x(M)),x(f;x(M
111ooo
là các
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) và
)C(
1
.
Bài toán:
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng t
ạ

các hàm s
ố2x
3x6x
y
2
+
+−
=
và mxy −=
Ví dụ 2.
Bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
m2x3x
23
=−+


t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 4
. Tìm k
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng y = kx + 1 c
ắ
t
ñồ
th
ị

2x
3x4x
y
2
+
++
= t

= t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
Ví dụ 6
. Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố

1x
mxmx
y
2
−
++
= c
ắ
t tr
ụ
c hoành t

3x3x
y
2
−
−+−
=
t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m A và B
sao cho
ñộ
dài
ñ
o
ạ
n AB = 1.
Ví dụ 8
. Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
1mxx3xy
23
+++= c

ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 10.
Tìm a
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng
1)1x(ay ++=
c
ắ
t
ñồ
th
ị
hàm s
ố


ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñườ
ng cong (C) t
ạ
i
ñ
i
ể
m ))x(f;x(M
ooo

)xx)(x(fyy
ooo
−
′
=−
b) Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ

cho
ñườ
ng th
ẳ
ng d ti
ế
p xúc v
ớ
i (C), h
ệ
ph
ươ
ng trình sau ph
ả
i có nghi
ệ
m:




=
′
+−=
k)x(f
y)xx(ky
11

H
ệ

hàm s
ố

)x(fy =
và
)x(gy =
ti
ế
p xúc v
ớ
i nhau n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u h
ệ

ph
ươ
ng trình sau
ñ
ây có nghi
ệ
m:





góc k có d
ạ
ng
bkxy +=
ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñồ
th
ị
(C), ta gi
ả
i
ph
ươ
ng trình
k)x(f =
′
tìm
ñượ
c hoành
ñộ
các ti
ế
p
ñ
i
ể

n c
ủ
a hàm s
ố
khi bi
ế
t ph
ươ
ng c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n ho
ặ
c
ñ
i qua
m
ộ
t
ñ
i
ể
m cho tr
ướ
c nào
ñ
ó.

n
ñ
ó
ñ
i qua
ñ
i
ể
m A(0 ; 4)
Ví dụ 2
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các
ñườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng 3x
4
1
y += và ti
ế
p xúc

a hàm s
ố
1x3xy
3
++−= bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n

ñ
ó song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1x9y +−=

Ví dụ 4.
T
ừ
g
ố
c t
ọ
a

ế
n
ñ
ó.

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
19
Ví dụ 5
. Cho hàm s
ố

2
3
x3x
2
1
y
24
+−−= có
ñồ
th
ị
là (C)
a)

Vi
ế
t ph
ươ

ñ
i
ể
m
)
2
3
;0(A

Ví dụ 6.
Cho hàm s
ố

2x
2x3
y
+
+
= có
ñồ
th
ị
là (C).
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng, không có ti
ế
p tuy

ố

1x
1
xy
+
−= có
ñồ
th
ị
là (C)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trên (C) t
ồ
n t
ạ
i nh
ữ
ng c
ặ
p
ñ
i
ể
m mà ti
ế
p tuy

p tuy
ế
n t
ạ
i
)C(M ∈
c
ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i P và Q. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng MP=MQ
Ví dụ 9
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị

1x
1xx
y
2
+
−−
=
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ

ể
m trên tr
ụ
c tung mà t
ừ

ñ
ó có th
ể
k
ẻ

ñượ
c 2 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
ñồ
th
ị
(C)
Ví dụ 12.
Tìm a
ñể

ñồ
th

++−=
ti
ế
p xúc v
ớ
i tr
ụ
c hoành.
Ví dụ 14.
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị

2x
1m2mx3mx
y
2
+
+++
=
ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñườ
ng th

5xy
2
+=
.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
20
III. Sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số Cho hàm s
ố
y = f(x) có
ñạ
o hàm trên kho
ả
ng (a;b)
a)

Hàm s
ố
f(x)
ñồ
ng bi
ế
n trên (a;b)
0)x(f
≥
′
⇔

ñể
cho hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n trong m
ộ
t kho
ả
ng nào
ñ
ó
Chú ý:
C
ầ
n n
ắ
m v
ữ
ng các
ñị
nh lý v
ề
d

Cho hàm s
ố

1mmx2x2y
2
−++=

Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trong kho
ả
ng
);1(
+∞−

Ví dụ 3.
Cho hàm s
ố

m4x)1m(x3xy
23
++++=

Tìm m

ng
);0(
+∞

Ví dụ 5.
Cho hàm s
ố

2mx)1m2(mxx
3
1
y
23
+−−+−=

Tìm m
ñể
hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (-2;0).
Ví dụ 6.
Cho hàm s
ố

1x
mx3x2

ñồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p h
ợ
p các giá tr
ị
c
ủ
a x sao cho
2x1
≤≤

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
21
IV.Cực ñại và cực tiểu

Cho hàm s

ộ
t
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
.
o
N
ế
u
ñổ
i d
ấ
u t
ừ
+ sang – thì x
o
là
ñ
i
ể
m c

ố
.
ðể
tìm các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
ta có hai quy t
ắ
c:
o
Tìm các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ó xét d

ñể
hàm s
ố
y = f(x) có c
ự
c tr
ị
và các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n nào
ñ
ó.
- Tìm
ñ
i
ề

)
-
Tìm t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
r
ồ
i
ñặ
t ti
ế
p
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ

t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i x = 2.
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

mmxx3x)2m(y
23
++++=

V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a m, hàm s
ố
có c
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti

u.
Ví dụ 4.
Cho hàm s
ố
1x)1m2(3mx3xy
23
+−+−=

Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố
có m
ộ
t c
ự
c
ñạ
i và m
ộ
t c
ự
c ti
ể
u. Tính t
ọ
a
ñộ
c
ủ

Ví dụ 6.
Cho hàm s
ố

1mx
1m2mxx
y
2
+
+++
=

Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
và ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
ñồ
th
ị

ị
.
Ví dụ 8.
Tìm a và b
ñể
các c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ốbx9ax2xa
3
5
y
232
+−+=ñề
u là nh
ữ
ng s
ố
d
ươ

có c
ự
c tr
ị
trong kho
ả
ng
),1(
+∞−

Ví dụ 10.
Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố1x
1m4x)m42(mx
y
2
−
−+−+
=

Có c
ự
c tr
ị
trong mi

.
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố
có c
ự
c
ñạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m
ở
hai phía tr
ụ
c tung.
Ví dụ 13.
Cho hàm s
ố

1x
mxx

Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
ñể
hàm s
ố

mx
m4mx)3m2(x
y
22
+
++++
=
có hai
c
ự
c tr
ị
và giá tr
ị
c

ị
và giá tr
ị
c
ủ
a
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
t
ươ
ng
ứ
ng cùng d
ấ
u nhau.