Bài 1 : ĐẠO HÀM
1/ Công thức đạo hàm
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ
bản
Đạo hàm của hàm số
hợp
( )
( )
1
/
/
.
0
−
=
=
αα
α
xx
C
2
/
11
x
x
−=







( )
/
/
.
2
1
U
U
U
=
( )
( )
( )
( )
( )
xg
x
gx
xtg
x
tgx
xx
xx
2
2
/
2
2
/

1
cot
cos
1
.
.sincos
.cossin
U
U
gU
U
U
tgU
UUU
UUU
−=
=
−=
=
( )
( )
aaa
ee
xx
xx
ln.
/
/
=
=

=
( )
( )
aU
U
U
U
U
U
a
ln.
log
ln
/
/
/
/
=
=
2.Các bài tập đạo hàm :
1/ y =
tgx21
+
2/ y = x.cotgx
3/ y = tg
2
1
+
x
4/ y = sin(sinx)

ln
=

13/
x
xy
=
Bài 2 :NGUYÊN HÀM
1/Đònh nghóa nguyên hàm:
. F (x) là nguyên hàm của f( x) trên (a,b)

⇔

( ) ( )
xFxf
/
=
*lưu ý :
+ F(x) chỉ là một nguyên hàm của f(x)
+ F(x) + C là một họ nguyên hàm của f(x) và kí
hiệu
∫
dxxf )(
. Ta có:

( )
)()()(
/
xfxFCxFdxxf
=⇔+=

dx
x
C
x
dxx
Cxdx
x
x
xx
nn
ln
ln
1
)1(
11
1
1
1
1
α
α
α
( )
∫
∫
∫
∫
+=
++=
+

∫
∫
∫
+−=
+=
+−=
+=
Cgxdx
x
Ctgxdx
x
Cxxdx
Cxxdx
cot
sin
1
cos
1
cossin
sincos
2
2
∫
∫
∫
∫
++−=
+
++=
+

2
2
3.Các tính chất của nguyên hàm
a)
[ ]
∫∫∫
+=+
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

b)
[ ]
∫∫∫
−=−
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c)
∫ ∫
=
dxxfkdxxkf )()(
4.Các bài tập:
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1/ f(x) = x
2
-3x+
x
1

2/ f(x) =
( )
2
2

2
2
x

10/ f(x) =
( )
xx
ee
−
1
11/ f(x) =
xx
x
22
sin.cos
2cos
12/ f(x) =
52
1
+
x
13/ Chứng minh rằng F(x) = xlnx – x là một nguyên hàm của f(x) = lnx
14/ Tìm một nguyên hàm cho hàm f đònh bởi f(x) = 2x(x
3
+1). Biết rằng nguyên hàm này bằng 3
khi x= -1
15/ Xác đònh các số a;b;c để hàm số F(x) = (a.x
2
+bx+c)
x

trong đó bậc R(x)
≤
bậc Q(x)
* Do đó ta quan tâm việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn mẫu
Dạng
( )
( )( )( )
∫
−−−
dx
cxbxax
xp
: Đặt:
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
cx
c
bx
B
ax
A
cxbxax
xp
−
+
−
+
−
=
−−−
.

+
−
=
−−
@ Cần nhớ : công thức nguyên hàm hữu tỉ sau
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
ln
11

( )
∫
+
+
−=
+
C
baxa
dx
bax
1
.
11
2


11
22

=
∫
+








+
−
=






+
−
−
C
ax
ax
a

+
x
x
Đs: A = –2, B = 3,
C
x
x
xF
+
+
−
+
=
1
3
)1(
1
)(
2
2/
∫
+−
dx
xx 44
1
2
3/
∫
++
dx

x
xx
∫
+
++
3
23
2
7/
∫
+
++
dx
x
xx
2
54
2

8/
( )
∫
+
dx
x
3
32
1
9/
∫

xxx
x
)5)(2(
107

Bài 4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯNG GIÁC
1/. Cần nhớ công thức :

( )
Cx
a
dxbax
+−=+
∫
cos
1
sin

( )
( )
Cbaxtg
a
dx
bax
++=
+
∫
1
cos
1

∫
dx
x
tgxR
2
cos
1
đặt t = tgx
* Dạng
( )
∫
dx
x
gxR
2
sin
1
cot
đặt t = cotgx
* Dạng
[ ]
dxxxR
nn
∫
22
cos,sin
dùng công thức hạ bậc
2
2cos1
cos

1
sin.sin bababa
−−+−=
)]sin()[sin(
2
1
cos.sin bababa
−++=
)]sin()[sin(
2
1
sin.cos bababa
−−+=
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau
a)
∫
xdxx
52
cossin

b)
∫
xdxx
23
cossin
c)
∫
dx
x
x

d)
∫
xdx
2
cos

e)
∫
dx
x
3
sin
Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau
a)
∫
dx
xsin
1

b)
∫
dx
xcos
1

c)
∫
+
dx
xcos45

3
tg xdx
∫d)
4
tg xdx
∫e)
2
4
sin
cos
x
dx
x
∫

f)
1
sin2
dx
x
∫

Bài 5 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1.Đònh nghóa: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên

∫
=
a
a
dxxf
2/
∫
=
b
a
dxxf )(
-
∫
a
b
dxxf )(

3/
∫
=
b
a
dxxf )(
∫
c
a
dxxf )(
+
∫
b

( )
abMMdx
b
a
−=
∫

7/ Nếu f(x)
≥
g(x) ,
[ ]
bax ,
∈∀
thì
dxxgdxxf
b
a
b
a
∫ ∫
≥
)()(
*Đặc biệt, nếu f(x)
≥
0 ,
[ ]
bax ,
∈∀
thì
∫

dx
Đsố:
)22(
3
4
−
2/
∫
+
1
0
3
1
dx
x
x
Đsố :
2ln
6
5
−
3/
dx
x
x
∫
−
2
1
0

3
+
5/
∫
π
0
4
cos xdx
Đsố
8
3
π
6/
( )
∫
+
4
0
44
cossin
π
dxxx
Đsố
16
3
π
7/
∫
+
π

xx
cossin
sincos
+
−

b) Tính
∫
2
0
)(
π
dxxf
(Đsố
2
1
=−=
ba
, I =
4
π
)
11/ a) Tính đạo hàm của hàm số
F(x) = ln
12
12
2
2
++
+−

−=
I
12/ Tính
∫






−
t
dxx
0
4
2
3
sin4
. Từ đó giải pt f(t) = 0
13/ Tính
( )
∫
∈+
1
0
;1 Nndxx
n
.Từ kết quả đó chứng minh rằng 1+
1
12

cot23
π
π
dx
x
xg
15/
∫
−
π
0
2
sin1 dxx
16/
dx
x
x
∫
+
+
1
0
1
12

17/
∫
+
++
3

20/
∫
+−
+
5
3
2
23
1
dx
xx
x
21/
( )
∫
+
+
1
0
3
1
13
dx
x
x22/
dx
xx





−∈
2
,
2
ππ
t
* Dạng
∫
+
dx
xa
22
1

Đặt x = atgt t






−∈
2
,
2
ππ