CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC

*

)
)

*(
*(
*
*(
*(

⇔{
(

)(

)

⇔*

)
)

⇔*

*

(
)(

a>b  acb+c

a  b
 ac  bd

c  d
a  b
 ac  bd

c  d
ab

2 n1

a

2 n1

b


*

⇔

 A  0B  0
A B
A  B

| |

B  0
AB
2
A  B

B  0
A B 
A  B

B  0
B  0
AB
hay

2
A  0
A  B
Chú ý: Có thể giải pt, bpt chứa căn bậc 2 bằng cách dặt
ẩn phụ

AB
 A  B
A  B
A  B  B  A  B  
 A  B
Chú ý: Có thể giải pt, bpt chứa gttđ bằng cách sử dụng
 A  A  0
định nghĩa A  
để bỏ gttđ
  A  A  0

ĐỊNH LÝ VIÉT
Thuận:
Pt ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm x1, x2 thì {
Đảo:
Nếu {

*A3>0⇔
(n là số nguyên dƣơng)

thì x1, x2 là 2 nghiệm của pt: X2-SX+P=0
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

⇔

Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

Cho f(x) = ax2+bx+c (a  0)
 =b2-4ac (  ’ =b’2-ac, b’ = )
1

S
 0
2

+

ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI
Cho pt ax2+bx+c=0 (1)
a  0
+Pt (1) có 2 nghiệm pb

  0

a  0
+ Pt (1) có nghiệm kép  
(
  0
a  0
+ Pt (1) có 2 nghiệm  
  0
√
√
(
)
a  0
+ Pt (1) có nghiệm  
(Xét a = 0)
  0

 (x1- ). (x2- ) < 0

(x1 < 0 < x2)







* a  b  (a1  b1 ; a2  b2 )


* k a  ka1 ;ka2 


  0
+ Pt (1) có 2 nghiệm cùng dấu  
P  0
(0 < x1 x2 hoặc x1 x2 < 0)

  0

+ Pt (1) có 2 nghiệm dƣơng pb   S  0
P  0

(0 < x1 < x2)
  0

+ Pt (1) có 2 nghiệm âm pb   S  0
P  0





a1 a 2
 b1b2  0
b1 b2
⃗⃗
*Hai véctơ ⃗ ⃗⃗ cùng hƣớng ⇔ { ⃗
* a cùng phƣơng b  a  k . b 

*Hai véctơ ⃗ ⃗⃗ ngƣợc hƣớng ⇔ { ⃗

⃗⃗

* Góc giữa 2 véctơ:


SO SÁNH CÁC NG CỦA PT BẬC HAI VỚI SỐ
Gọi x1, x2 là các ng của pt ax2+bx+c=0 (nếu có)
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

a1b1  a2b2
  a b
cos a , b     

 a.b
a12  a22 b12  b22
2





*Góc của tam giác: cos BAC  cos AB, AC
*AD là phân giác trong của góc A trong tam giác ABC
AB
 DB  
DC
AC
*I là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
 AI2 = BI2 = CI2
*Tìm tâm J của đtròn nội tiếp tam giác ABC:
+Tim D là chân đƣờng phân giác trong AD của tam giác
ABC
+Tim J là chân đƣờng phân giác trong BJ của tam giác
ABD
+J là tâm đtròn nội tiếp tam giác ABC
*A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phƣơng
*ABCD là hình bình hành  AB  DC và A, B, C
không thẳng hàng
*ABCD là hình thang (AB//CD)
A,
 AB ,CD cùng huong và
B, C không thẳng hàng
(3 tính chất trên vẫn đúng trong không gian)
ĐƢỜNG THẲNG
*Véctơ ⃗⃗ ⃗⃗là vt chỉ phƣơng của đt d nếu giá của nó
song song hoặc trùng với d
*Véctơ ⃗⃗ ⃗⃗là vt pháp tuyến của đt d nếu giá của nó
vuông góc với d
)thì d có vtpt là

d1 //d2  1  2  1
b1 b2 c2

a1 a 2 c1


b1 b2 c 2
a
a
d1 cắt d2  1  2
b1 b2
Cho d1: y=a1x+b1, d2 : y=a2x+b2
a1  a2
d1 //d2  
b1  b2
d1  d2 

a1  a2
d1  d2  
b1  b2
d1 cắt d2  a1 a 2
a1 x  b1 y  c1  0
Tọa độ giao điểm là nghiệm hpt 
a 2 x  b2 y  c 2  0
GÓC GIỮA 2 ĐƢỜNG THẲNG
Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0
Gọi  là góc giữa 2 đƣờng thẳng d1, d2
a1a 2  b1b2
cos 
a12  b12 a 22  b22


Cho 2 đƣờng thẳng d1: a1x+b1y+c1=0,
d2: a2x+b2y+c2=0
Pt các đƣờng phân giác của các góc tạo bởi 2 đƣờng
a x  b1 y  c1
a x  b2 y  c 2
 2
thẳng d1, d2 là: 1
2
2
a1  b1
a 22  b22
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐƢỜNG THẲNG

*Viết pt đƣờng thẳng qua 2 điểm A, B:
3


Đƣờng thẳng qua A, vtcp AB có ptts (hoặc ptct)
hoặc
(mẫu khác 0)
Chú ý: Viết pt trung tuyến AM của tam giác ABC
+Tìm trung điểm M của cạnh BC
+Viết pt tt AM qua A,M
*Viết pt đƣờng thẳng qua điểm M và vuông góc AB:
+Pttq đƣờng thẳng qua M, vtpt AB
Chú ý:
Đƣờng cao AA/ của tam giác ABC qua A, vtpt BC
Đƣờng trung trực của BC qua trung điểm I của BC, vtpt


 AI  BI
+(C) qua A và tiếp xúc đƣờng thẳng d tại B  


BI

ad

+(C) đi qua 3 điểm A, B, C  thế tọa độ A, B, C vào pt
đƣờng thẳngròn dạng khai triển. Giải hpt tìm a, b, c.
*PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA Đ/ TRÕN
* Viết pttt của (C) tại M:
+Tìm tâm I của (C)
+Tiếp tuyến của (C) qua M, có vtpt IM
* Viết pttt của (C) các dạng khác:
+Tìm tâm và bán kính của (C)
+Xác định dạng của ttuyến
●có hệ số góc k : Pttt có dạng : y = kx + m
●// đƣờng thẳng ax + by + c = 0: Pttt có dạng : ax + by + m
=0
●  đƣờng thẳng ax + by + c = 0: Pttt có dạng : bx ay +
m=0
●qua M : Pttt có dạng : a(x xM) + b (y yM) = 0
+Ttuyến d tiếp xúc (C)  d(I, d) = R
Từ dó tìm m hoặc a, b.



Pt đƣờng thẳng  đi qua M, vtpt n =(a; b) có dạng:
a(x xM)+b(y yM)=0

M  (E) : F1M, F2M : bán kính qua tiêu điểm
x2 y2
PT chính tắc của (E) : 2  2  1 (a2 = b2 + c2)
a
b
Độ dài trục lớn : 2a Độ dài trục nhỏ : 2b
Tiêu điểm : F1( c; 0) F2(c; 0) Tâm sai
Đỉnh : A1( a; 0) A2(a; 0) B1(0; b) B2(0; b)

Hình
Tam giác

DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
Diện tích
Trong đó
a:cạnh đáy
1
S  ah
h:chiều cao
2

( a  b )h
2

Hình thang

S

Hình bình hành


Hình hộp S tp 
chữ nhật 2ab  bc  ca 
Hình lập
phƣơng
Hình lăng
trụ(k.lăng
trụ)

Stp=6a2

Sxq=tổng dt mặt
bên
Stp=Sxq+S2đ
S =tổng dt mặt
Hình chóp xq
bên
(K/chóp)
Stp=Sxq+Sđ
Hình cầu
S  4R 2
(K/cầu)
S xq  Rl
Hình nón
S tp  S xq  S d
(K.nón)
 Rl  R 2
S xq  2Rl
Hình trụ
S tp  S xq  2 S d
(K.trụ)

R:bán
kính

1
V  R 2 h l:đƣờg
3
sinh

V  R h
2

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
*CÁC PP CM 2 ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG
a // b
u  a

+ a  ( ), b  (  )  u//a//b hoặc 
u  b
( )  (  )  u

a //( )
( ), (  ) // a

 a//b + 
 a//b
+ a  (  )
(

)


( ) //( P)

+ (  ) //( P)  ( ) //(  )
( )  (  )

( )  (  )
 ( ) //(  )
+
( ), (  )  a
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

*CÁC PP CM ĐƢỜNG THẲNG VÀ MP SONG SONG
a // b  ( )
a  ( )
+
 a //( ) + 
 a //(  )
a  ( )
( ) //(  )

a  ( )

+ a  b  a //( )
( )  b

*CÁC PP CM 2 ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
a  ( )
a // b
+
+

( )
a  ( )

*Mp (đƣờng) trung trực của một đoạn thẳng là mp (đƣờng
thẳng) vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm.
Trong không gian, tập hợp những điểm cách đều 2 đầu
đoạn thẳng là mp trung trực của đoạn thẳng đó.
Trong mp chứa đoạn thẳng, tập hợp những điểm cách đều 2
đầu đoạn thẳng là đƣờng trung trực của đoạn thẳng đó.
*Các đlý khác:
●Hai mp // chắn trên 2 cát tuyến // các đoạn thẳng bằng
nhau.
●Ba mp // chắn 2 cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tƣơng
ứng tỉ lệ.
KHOẢNG CÁCH
*Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp (đƣờng thẳng) là độ dài
đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mp (đƣờng thẳng)
*Khoảng cách giữa 1 đƣờng thẳng và 1 mp (đƣờng thẳng)
song song là khoảng cách từ 1 điểm trên đƣờng thẳng đến
mp (đƣờng thẳng)
*Khoảng cách giữa 2 mp song song là khoảng cách từ 1
điểm trên mp này đến mp kia.
*Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau là:
+độ dài đoạn vuông góc chung
+khoảng cách giữa 1 trong 2 đƣờng thẳng đó và 1 mp
song song với nó chứa đƣờng thẳng còn lại
+khoảng cách giữa 2 mp song song lần lƣợt chứa 2 đƣờng
thẳng đó
5


Cách 4: (dùng thể tích)

*Định nghĩa: Hình lăng trụ là hình đa diện có 2 mặt nằm
trong 2 mặt // gọi là 2 mặt đáy và tất cả các cạnh không
))
( (
nằm trong 2 đáy thì // nhau. Trong đó:
+Các mặt khác với 2 đáy
))
⇒ ( (
gọi là các mặt bên (các
mặt bên là các hbh)
Chú ý: Để vẽ đt vuông góc mp từ M ta thƣờng tìm mp chứa +Cạnh chung của 2 mặt
M và vuông góc mp đó, từ M vẽ đt vuông góc giao tuyến.
bên gọi là cạnh bên.(các
GÓC
cạnh bên // và = nhau)
+Hai đáy là 2 đa giác có
*Góc giữa 2 đƣờng thẳng a, b là góc giữa 2 đƣờng thẳng các cạnh tƣơng ứng // và
cùng đi qua 1 điểm và lần lƣợt song song với 2 đƣờng = nhau.
thẳng đó. Ký hiệu là (a,b).
+Hlt có đáy là tam giác,
Chú ý: Góc giữa 2 đƣờng thẳng // hoặc trùng nhau =00
tứ giác, … gọi là hlt tam
Có thể từ 1 điểm trên đt này vẽ đt // đt kia
giác, hlt tứ giác, …
+Hlt có đáy là hbh còn gọi là hình hộp. Bốn đƣờng chéo
*Góc giữa đƣờng thẳng a và mp  là góc giữa đƣờng
của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đƣờng.
+Hình hộp có tất cả các mặt đều là hcn gọi là hình hộp chữ





Cho a =(a1; a2; a3), b =(b1; b2; b3), số k tùy ý
a1  b1



* a  b   a 2  b2
a  b
3
 3




* a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )




* k a  ka1 ; ka2 ; ka3  * a

b  a1 b1  a 2 b2  a 3 b3



* a  a12  a 22  a 32


* M là trung điểm đoạn thẳng AB
x A  xB

 xM 
2

y  yB

  yM  A
2

z A  zB

zM 
2

* G là trọng tâm tam giác ABC
x A  x B  xC

 xG 
3

y  y B  yC

  yG  A
3

z A  z B  zC

 zG 




(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

*Tính góc của tam giác ABC:
* AH là đƣờng cao tg ABC
 AH  BC

 BH cp BC

Cách 2: Tìm H là hình chiếu của A lâ đƣờng thẳng BC
* I là tâm của đƣờng tròn ngoại tiếp tg ABC
 AI  BI  CI

 A, B, C , I dong phang
*Thể tích hình hộp ABCD.A/B/C/D/:





V  AB, AD .AA ,





1
AB, AC .AD

a
* a, b cùng phƣơng  1  2  3 b1 , b2 , b3  0
b1 b2 b3



 a  k . b  a , b   0


 
 


* a , b   a , b


  
   
* a , b , c đồng phẳng   a , b  . c  0






 

*A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phƣơng
*A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện   AB. AC  . AD  0
Cách 2: D   ABC 

. Tâm đtròn J = d  (P )
. Bán kính R =

R 2  d 2  I , ( P )

PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG


*Mp   qua điểm M0(x0; y0; z0), vtpt n =(A;B;C)
có pt là: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
*Pt tống quát của mp có dạng:
Ax+By+Cz+D=0 với A2+ B2 +C2  0


*Mp Ax+By+Cz+D=0 có vtpt n =(A;B;C)
*Pt mp theo đoạn chắn:
Pt mp cắt các trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)
x y z
với abc  0 là :    1
a b c
*Vị trí tƣơng đối của 2 mp:
Cho 2 mp   :Ax+By+Cz+D=0 và
  :A/x+B/y+C/z+D/=0
  cắt    A : B : C  A : B : C
  //    A  B  C  D
A B C  D
  trùng    A  B  C  D
A B C  D
*Khoảng cách từ điểm M đến mp (P) là:
AxM  ByM  CzM  D


pt tham số :  y  y0  bt t  R
 z  z  ct
0

x  x0 y  y0 z  z0
abc  0
pt chính tắc :


a
b
c
VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƢỜNG THẲNG


d1 đi qua điểm M1, vtcp u 1


d2 đi qua điểm M2, vtcp u 2
    
  u1 , u2   0


d1 // d 2  


 u , M M   0
1
1





*Mp chứa (//) AB,   có vtpt n  AB, n 


*Mp chứa (//) AB, // CD có vtpt n  AB, CD






*Mp   ,  có vtpt n   n  , n  


’
*Mp chứa 2 đt cắt nhau d, d qua M  d




và có vtpt là



n  ud , ud ' 

*Mp chứa 2 đt // d, d’

8


* Nếu pt có nghiệm t=t0: d cắt (P) tại (thế t=t0
vào ptts d)
CÁC CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH
*Khoảng cách từ điểm M đến mp  :
AxM  ByM  CzM  D
Ax+By+Cz+D=0: d ( M , ) 
A2  B 2  C 2
*Khoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng  (  qua


N, vtcp u ):



1
1
u .d M ,    MN , u
2
2



 MN , u 
 d ( M , ) 

u
S tam giac 




  
u

_d qua M, cắt d1 và // mp(P) thì d có vtcp d  u , n P  






với u   MN , u d1   N  d1 



PP THAM SỐ HÓA TỌA ĐỘ
*VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG QUA A VÀ CẮT 2
ĐƢỜNG THẲNG d VÀ d/
+Viết ptts của d và d/ theo t và t’
+Lấy M  d , M  d (Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t
và t’)
+MM’ qua A  AM , AM  cùng phƣơng
+Từ đk cùng phƣơng tìm t và t’ suy ra M, M’
+Pt đƣờng thẳng MM’.
*VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG //  VÀ CẮT 2 ĐƢỜNG
THẲNG d VÀ d/
+Viết ptts của d và d/ theo t và t’
+Lấy M  d , M  d (Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t


+MM’ //   MM , u cùng phƣơng
+Từ đk cùng phƣơng tìm t và t’ suy ra M, M’
+Pt đƣờng thẳng MM’.
*VIẾT PT ĐƢỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA 2
ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU d VÀ d/
+Viết ptts của d và d/ theo t và t’
+Lấy M  d , M  d (Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t
và t’)


 MM   u d
’
+MM là đoạn vuông góc chung  

 MM   u d 
+Giải hpt tìm t và t’ suy ra M, M’
+Pt đƣờng vuông góc chung MM’.
*VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG d qua M,  và cắt 
+Viết ptts của  theo t
+Lấy N   (Biểu diễn tọa độ của N theo t)


+MN    MN . u   0
+Giải pt tìm t suy ra tọa độ N
+Pt đƣờng thẳng MN.








+MN//    (P)  MN. n  P   0
+Giải pt tìm t suy ra tọa độ N
+Pt đƣờng thẳng MN.

HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
NHỊ THỨC NIUTƠN
I/ HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
*Số hoán vị của 1 tập hợp có n phấn tử là:
Pn = n! = 1.2.3…n
*Một chỉnh hợp k của n ptử tƣơng ứng với 1 cách
chọn k ptử từ n ptử có tính đến thứ tự
*Số chỉnh hợp k của n ptử là :

A I B còn viết là A.B
4) Tập A U B gọi là hợp của các biến cố A và B

5) Tập  \ A gọi là b/cố dối của b/cố A, k/hiệu A

n!
A 
 n  k !
k
n

*Một tổ hợp k của n ptử tƣơng ứng với 1 cách chọn k
ptử từ n ptử không có tính đến thứ tự
n!

n

 Cn0 a n  Cn1a n 1b  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnnb n  Cnk a n k b k

11) A, B là 2 b/cố độc lập P  A.B   P  A .P  B 

k 0

Chú ý:
* Cnk  Cnnk (n, k  N* , 0  k  n)
* Cnk1  Cnk +Ckn 1

* 1  x   C  C x  ...  C x  ...  C x
n

0
n

1
n

k
n

k

n
n

CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM


 ...  C

2n
2 n 1



2 n 1
2n

 C  C  C  ...  C
1
2n

C

1
2 n 1

3
2n

C

3
2 n 1

5
2n


n

Lấy tích phân 2 vế của (1)
2n1  1
1
1
1
*
 1  Cn1  Cn2  ... 
Cnn
n 1
2
3
n 1

QUY TẮC ĐẾM – XÁC SUẤT
I/ QUY TẮC ĐẾM :
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536



*  1    u ;  a    a.u
2
2

v





 x   2 1 x

 x  

 u   2uu

1

n

*

*

nn x n1

    . x


* x

 1

    .u


* u

 1

= u’ (1 + tan2u).

(tanu)’ =

= – (1 + cot2x)

* (cotx)’ =

= – u’ (1 + cot2u).

(cotu)’ = –
* (ex)’ = ex

(eu)’ = u’eu

* (ax)’ = axlna

(au)’ = u’aulna

1
* ln x  
x

'
ln u  u
u
'

'


)

aa ' x 2  2ab' x 

a'

'

 ax 2  bx  c 
 
* 
'
'
 a xb 

b

c
b'

a x  b 
'

' 2


 ax 2  bx  c 

 
2

f
coù
ñh
taï
i x0

 f ( x0 )  0
*
Hs f ñaït cöïc trò taïi x 0
*Quy tắc 1 tìm cực trị hs:
+Tìm TXĐ D
+Tính f /(x). Tìm các điểm x0 mà f /(x0) = 0 hoặc
f /(x0) không xác định.
+Lập BBT
+Kết luận.
*Quy tắc 2 tìm cực trị hs:
+Tìm TXĐ D
+Tính f /(x). Giải pt f /(x0) = 0 tìm các nghiệm x0.
+ Tính f //(x) và f //(x0)
.Nếu f //(x0) < 0 thì x0 là điểm CĐ
.Nếu f //(x0) > 0 thì x0 là điểm CT
*Chú ý:
 f  x0   0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt CĐ tại x0  
 f  x0   0

 f x0   0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt CT tại x0  
 f x0   0
 f x0   0

.y/ =0  4ax3  2bx  0 (1)  
2
4ax  2b  0 (2)
●Hs y=ax4+bx2+c có 3 cực trị (có CĐ, CT)
 Pt (1) có 3 nghiệm p/b
 Pt (2) có 2 nghiệm p/b khác 0
b

0
2a
●Hs y=ax4+bx2+c có 1 cực trị (Xét a = 0)
 Pt (1) có 1 nghiệm
 Pt (2) VN hoặc có nghiệm kép = 0
b

0
2a
P( x )
+Nếu hs y  f ( x) 
( P(x), Q(x) là các đa thức) đạt
Q( x )
P( x0 )
cực trị tại x0 thì f ( x0 ) 
Q( x0 )

ax2  bx  c
có CĐ, CT thì pt đƣờng
ax  b
2ax  b
thẳng đi qua các điểm ctrị là y 

* Hệ số góc tt trên là f /(x0)
*Viết pttt tại hoặc có hệ số góc hoặc //   với dt d:
y=kx+b: +Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm
+ Tìm x0, y0, f /(x0)
(tt//d  f /(x0) = k. tt  d  f /(x0).k= 1)
+PTTT cần tìm là: y=f /(x0)(x x0)+y0
*Viết pttt biết tt đi qua (xuất phát từ, vẽ từ) điểm M(x0;
y0).
+Pt đƣờng thẳng d đi qua M, hệ số góc k có dạng:
y=k(x x0)+y0
+Đƣờng thẳng d tiếp xúc (C)  hệ sau có nghiệm
 f ( x )  k ( x  x0 )  y0 (1)

 f ( x )  k (2)
+Thế (2) vào (1). Giải pt tìm nghiệm x (là hoành độ tiếp
điểm). Thế x tìm đƣợc vào (2) suy ra k
+Vậy pttt cần tìm là: (thế k tìm đƣợc vào pt d)
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM 2 ĐƢỜNG
Cho 2 đƣờng (C) : y=f(x) và (C /): y=g(x)
*Pt có nghiệm là hoành độ giao điểm của (C) và (C/):
f(x)=g(x) (1)
*Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C) và (C/)
*CHÚ Ý:
+Pt (1) là pt có dạng: ax3+bx2+cx+d=0
ax3+bx2+cx+d=0
 (x-x0)(ax2+Bx+C)=0 (1)(nhẩm 1 no, chia đa thức)
 x  x0
 2

hoặc   0
   0
ax 2  Bx  C  0
ax2  Bx  C  0
0
0
 0
 0
**Nếu pthđgđ không phân tích đƣợc hoặc có đk đối với
nghiệm phức tạp thì biến đổi về dạng g(x)=m rồi lập BBT
+Pt (1) là pt có dạng: ax4+bx2+c=0(1)
Đặt t = x2 ĐK : t  0
Pt (1) trở thành : at2+bt+c=0(2)
●(C) và (C/) cắt nhau tại 4 điểm pb
 Pt (1) có 4 nghiệm pb
 Pt (2) có 2 nghiệm dƣơng pb
  0  S  - b 

a 
 S  0 
 P  0  P  c 

a 

/
●(C) và (C ) cắt nhau tại 3 điểm pb
 Pt (1) có 3 nghiệm pb
 Pt (2) có 1 nghiệm dƣơng và 1 nghiệm =0
(c=0:pt có nghiệm =0
c  0 S>0: số 0 + số dƣơng >0

*Không có tiếp tuyến nào của đồ thị đi qua I
*Hai tt’ của (C) không bao giờ vuông góc nhau
*Hai tt’ ssong của (C) có các tiếp điểm đối xứng nhau
qua I
*Gọi M là 1 điểm tùy ý thuộc (C), A, B là giao điểm của
tt tại M và 2 tiệm cận thì:
_M là trung điểm AB
_Tam giác IAB có dtích không đổi
_Tích các khoảng cách từ M đến 2 tcận khôg đổi
MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN KSHS
1) Bài toán 1: Giải pt, bpt, hpt:
Cách 1: *Chuyển pt về dạng : f(x)=k
*Xét hs y=f(x). Cm hs đơn điệu
*Nếu x=x0 là nghiệm thì là nghiệm duy nhất
Cách 2: *Chuyển pt về dạng : f(x)=g(x)
*Xét hs y=f(x) và y=g(x). Cm hs y=f(x) đồng biến và
y=g(x) nghịch biến
*Nếu x=x0 là nghiệm thì là nghiệm duy nhất
Vd: Gpt: 1  x  1  x  2 x 3  6 x

Chú ý Hs y=ax4+bx2+c tƣơng tự
Vd: Cho hs y=2x3-3(m+1)x2+6mx+m3. Tìm m để hs có
CĐ, CT và :
a) Khoảng cách giữa 2 điểm CĐ, CT là 2 (m=0 hoặc
m=2)
b) Hai điểm CĐ, CT tạo với C(4; 0) 1 tam giác vuông
tại C (m=-1)
Vd: Tìm m để hs y=mx4+(m−1)x2+1−2m có 1 điểm ctrị.
3)Bài toán3: Lập pt đƣờng thẳng đi qua các điểm ctrị của
đồ thị hs y=ax3+bx2+cx+d:

a2
b2
Gọi A(1−a;
), B(1+b;
) là 2 điểm tùy ý trên
a
b
(H)
2

2)Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số dể hs
y=ax3+bx2+cx+d có các điểm cực trị thoả đk K :
* TXĐ D=R Tính y’
*Hs c ó CĐ, CT  y’=0 có 2 nghiệm pb
a  0

  0

 x1  x2 
Khi đó y’=0 có 2 nghiệm pb thỏa 
(đl Viet)
 x1 x2 
*Chia đa thức y cho y’ : y=y’.g(x)+h(x)  y1=h(x1) và
y2=h(x2) Vậy các điểm ctrị là (x1; y1), (x2; y2) ( cũng có
thể tính y1=f(x1) và y2=f(x2) )
*Xét đk K
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

1 1
Ta có AB =(b+a) + 4    16

0

*a =1

* a

* am. an =

*

* (a. b)n = an . bn

*(

* am. an =

*

*(

)

n

1
= 
a

=


=

)

=
=

= (an)m
n

1

* m an  a m
VD: a  a 2
*am>an  m>n ( a>1)
*am>an  m

=b

*

Các trƣờng hợp logaf(x)  m, logaf(x)  m, logaf(x)  m
giải tƣơng tự
*Cùng cơ số :
f(x)  g(x)
logaf(x)> logag(x)  
(a > 1)
g(x)  0

=

=
=

hay

.

=1

=

* log10 x  log x  lg x ; log e x  ln x
*logab > logac  b > c ( a > 1)
*logab > logac  b < c ( 0 < a < 1)
PT, BPT M


x
  .x
*


 1


–>  x dx 

x  1
c
 1

1 (ax  b) 1
c
–>  ax  b  dx  .
a
 1



1
1
*/     2 –>
x
 x

1

 ln sin x   cot x   cot x.dx  ln sin x  C
'

2
x x  c ->
3
3
2
ax  bdx 
ax  b  c
3a



*

x dx 





 x  2


*

1




1
x2  k

 ln x  x 2  k  C  k  0 

x k
ĐỊNH NGHĨA TÍNH PHÂN
2

b

 f  x dx  F  x 

 F b   F a 

b
a

a



*/ ln x

  1

–>

x


dx  e x  c

1 ax  b
e
c
a

ln a –>

x
 a dx 

ax
c
ln a

1 a bx  c
dx 
C
b ln a



1


sin
ax


a

sin ax  b  
sin ax  b  




dv  cosax  b  dx  v   cosax  b  dx
e ax b 

e ax b 





ax b
Dạng  P ( x )e
dx cũng có thể giải bằng pp đồng

nhất thức.
* Dạng 2:  P  x ln( ax  b)dx

* cos x    sin x –>  sin xdx   cos x  c
–>



b

a
dx
ax  b
 v   P ( x )dx

Dạng 3:  x m ln n xdx

n ln n1 x
dx
Đặt u = ln x  du 
x
x m 1
m
dv=x
v
m 1
Dạng 4: Truy hồi:  e ax b sin( cx  d )dx
n

Hoặc

1
1
 cos 2 ax  bdx  a tgax  b  c

e

ax b

cos(cx  d )dx


1  1
1 



 x  a  x  b b  a  x  a x  b 
1
1  1
1 
* 2




2
2a  x  a x  a 
x a
1

*



* Với m > n

(ax  b) n







Nhân tử, mẫu cho xn

 x2 

  
2 
1 x 

m

1  x 

2 2

x2
1 x2
x2  1
dx Chia tử,mẫu cho x2
* 4
x 1
TÍCH PHÂN hàm lượng giác

 sin

m

n



dx
dx
hoặc 
ax  b  ax  c
ax  b  ax  c

cos x  m le 
*Nếu m hoặc n lẻ : đổi biến số, đặt t  
sin x(n le)
Dạng 2:



 f (sin x) cos xdx Đặt t = sinx

f (cos x ) sin xdx Đặt t = cosx

f (tan x )
 cos 2 x dx Đặt t = tanx
f (cot x )
 sin 2 x dx Đặt t = cotx
Dạng 3:  sin( ax  b). sin( cx  d )dx

Dạng 5 :

dx
dx
hoặc 






hồi:
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

  
a 2  x 2 dx Đặt x=asint t   ; 
 2 2



  
a 2  x 2 dx Đặt x=atant t    ; 



 
x 2  a 2 dx Đặt x=a/cost t  0;  \  

n

1






x 1 n





–n

Đặt t=x +1
MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT



n

2

*

Dạng 4: 

tanmx = tanm-2x(tan2x+1)–tanm-2x–> tanx hoặc tan2x

ax m 1  b

n



1

 sin n x  cos n x dx hoặc
0

cos n x
 sin n x  cos n x dx
0
2

a

*

 f ( x )dx  0 nếu f(x) là hàm lẻ

a
a

a

 f ( x )dx  2 f ( x )dx nếu f(x) là hàm chẵn

a

0
1

*

n x x
 1  2 x  e dx  0

1
x 1
x2
* 4
Đặt t  x 

2
2
x  2x 1 
x
1
x  4
x

1
1 2
1
x2  1
x
* 4
Đặt t  x 

2
x 1 
x
1
x    2
x

u  P( x)

2

u  ln(sin x)
ln(sin x)

*
Đặt 
dx
2
cos x
dv  cos2 x
Đổi biến số đặc biệt:


a





2

 f ( x)dx Đặt x = 2  t

f ( x)dx Đặt x =−t

a

0



1
1
sin[( ax  b)  sin( ax  c)

sin( ax  b).sin( ax  c) sin( b  c) sin( ax  b).sin( ax  c)
*
1
1
,
ttự
sin( ax  b). cos(ax  c) cos(ax  b). cos(ax  c)
*PP trên cũng áp dụng đƣợc đvới dạng
1
1
1
sin x  sin  cos x  cos sin x  cos
1
1
*

(sin x  cos x) sin x (1  cot x) sin 2 x
1
sin x sin( x  a)
*

tan x tan( x  a) cos x cos(x  a)
cos x cos(x  a)  sin x sin( x  a)

1

*
a sin x  b cos x  c
asinx+bcosx+c=A(a’sinx+b’cosx+c’)+B(a’cosx−
b’sinx)+C
1
1
1  cot2 x 1


* 3
cot x sin 2 x
sin x cos x sin 4 x cot x
1
1
1

3
3
tan x cos2 x
sin x cos5 x 3 tan x cos6 x
u  x
x

*
Đặt 
dx
2
cos x
dv  cos2 x
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

sin x  cos x
sin x  cos x
*

3  sin 2 x
4  (sin x  cos x) 2


*  x cos4 x sin 3 xdx Đặt t=  −x
0

2

*  sin(sin x  ax)dx Đặt t=2  −x
0

1
Đặt t  x  a  x  b
( x  a)( x  b)

*
1

0

1

a

0

a

1
a
a
0
(f(x) là hs chẵn)
b
b
ab
f ( x)dx Đặt t=a+b−x
*  xf ( x)dx 

2
a
a
(f(a+b−x)=f(x))
*

b

*f(a+b−x)=−f(x) thì

 f ( x)dx  0
a

 4

Vd:



S   h( x ) dx 
a

c

 h( x )dx   h( x )dx
c

*Nếu phƣơng trình (1) có 2, 3,...nghiệm  (a; b):
Giải tƣơng tự.
* Dựa vào đồ thị: f(x)–g(x)>0 x  a; b  nếu đthị hs
y=f(x) “nằm trên” đthị hs y=g(x) trong (a; b)
II)Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình
phẳng giới hạn bởi các đƣờng: y=f(x), y=g(x), x=a, x=b
một vòng quanh trục Ox
b

V     f ( x ) dx
2

SỐ PHỨC
*Định nghĩa: Số phức là một biểu thức có dạng a + bi
với a, b  R và i2 = -1.
a  a
*Hai số phức bằng nhau: a+bi=a/+b/i  
b  b
*Biểu diễn hình học của số phức:
Mỗi số phức a+bi đƣợc biểu diễn bởi điểm M(a;b). Trục
Ox còn gọi là trục thực, Oy là trục ảo.


1
cos 2 a
1
1  cot 2 a 
sin 2 a
1  tan 2 a 

1
sin4a+cos4a=1–2sin2acos2a  1  sin 2 2a
2
3
sin6a+cos6a=1–3sin2acos2a  1  sin 2 2a
4
* Các góc có liên quan đặc biệt:
a/ Các góc đối nhau: a và –a
sin(–a) = –sina
cos(–a) = cosa
tan(–a) = –tana cot(–a) = –cota
b/ Các góc bù nhau: a và  –a
sin(  –a) = sina
cos(  –a) = –cosa
tan(  –a) = –tana cot(  –a) = –cota

c/ Các góc phụ nhau: a và  –a
2

a

 < 0  Pt có 2 nghiệm phức : x1, 2 

tan(  –a) = cota
cot(  –a) = tana
2
2
d/ Các góc hơn kém  : a và  +a
sin(  +a) = –sina
cos(  +a) = –cosa
tan(  +a) = tana
cot(  +a) = cota
e/ Các góc hơn kém  : a và  +a
2
2
sin(  +a) = cosa
2

cos(  +a) = –sina
2

tan(  +a) = –cota
cot(  +a) = –tana
2
2
* Công thức cộng:
sin(a  b) = sina.cosb  cosa.sinb
cos(a  b) = cosa.cosb
cosa.sinb
tan  a  b  

tan a  tan b
1 tan a.tan b

sin
2
2

18


ab
ab
cos
2
2
ab
ab
cos a  cos b  2 sin
sin
2
2
sin(a  b)
tan a  tan b 
cos a . cos b




( )⇔



* Công thức biến đổi tích thành tổng:

(Nếu v là hằng số thì không cần đk)
* Các trƣờng hợp đặc biệt:


sin u  1  u   k 2
sin u  1  u    k 2
2
cos u  1  u  k 2

cos u  1  u    k 2 cos u  0  u    k
2
sin u  0  cos u  1
cos u  0  sin u  1

*Gộp nghiệm:
k 2

 x    m .n
k 2
 x  

m .n
k
2

x   

m

x  

Chia 2 vế cho

cos a  cos b  2 cos

k 2
có m điểm biểu diễn cách đều trên Đtròn
m

lƣợng giác với 1 trong m điểm là  .
VD: x    k có 2 điểm bdiễn đối xứng qua gốc O
với 1 trong 2 điểm là 

⇔

(

)

(Gọi √

√

√

)

PT ĐẲNG CẤP BẬC 2 ĐV SINU, COSU
Dạng: asin2u+bsinucosu+ccos2u=d (1)
Cách giải: Nếu cosu=0(sinu=±1) thỏa pt (1) thì
là nghiệm pt

 g ( x)  0

f2(x) + g2(x) = 0  

* PP Pitago:
Cho f ( x)  M , g(x)  N
 f ( x)  M
+ f(x)+g(x)=M+N  
 g ( x)  N
 f ( x)  M
+ f(x).g(x)=M.N  
 g ( x)  N

* PP đối lập : Cho f ( x)  M  g ( x)
 f ( x)  M
 g ( x)  M

f(x) = g(x)  

sin u  1
sin u  1
hay 
sin v  1
sin v  1
sinu.sinv = -1, sinu.cosv =  1 giải t/tự

* sinu.sinv = 1  

PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINU, COSU
Dạng: asinu+bcosu=c (1) (a2+b2≠0)

11).CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
11).TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HS
11).PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
12).BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM 2 ĐƢỜNG
13).CÔNG THỨC LŨY THỪA
13).CÔNG THỨC LOGARIT
13).PT, BPT MŨ
14).PT, BPT LÔGARIT
14).CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
15).TÍCH PHÂN
17).ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
17).SỐ PHỨC
18).CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
18).PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

20