BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÙI THỊ HẢI YẾN

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ KHÁI QUÁT
HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÙI THỊ HẢI YẾN

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ KHÁI QUÁT
HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý

SƠN LA, NĂM 2015



5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ............................................................... 3
6. Cấu trúc đề tài ................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 4
1.1. Một số khái niệm ............................................................................................ 4
1.1.1. Phân tích, tổng hợp...................................................................................... 4
1.1.2. Khái quát hóa .............................................................................................. 5
1.2. Vai trò của phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong giải bài tập toán học ...... 7
1.2.1. Vai trò của phân tích trong giải bài tập toán học ........................................ 7
1.2.2. Vai trò của tổng hợp trong giải bài tập toán học ......................................... 7
1.2.3. Vai trò của khái quát hóa trong giải bài tập toán học ................................. 8
1.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài tập toán học .......................................... 9
1.4. Nội dung phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit trong chương
trình môn toán Trung học phổ thông................................................................... 12
1.5. Thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong
việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh Trung học
phổ thông ............................................................................................................. 12
CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ
KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA
VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LÔGARIT .......................................................................................................... 15


2.1. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải
phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh Trung học phổ
thông .................................................................................................................... 15
2.1.1. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải
phương trình mũ cho học sinh Trung học phổ thông .......................................... 15
2.1.2. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải
bất phương trình mũ cho học sinh Trung học phổ thông .................................... 22
2.2. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải

Tuy nhiên, việc vận dụng phân tích, tổng hợp và khái quá hóa vào giải các
bài toán về phương trình và bất phương trình chưa được quan tâm đúng mức
trong quá trình dạy học toán ở nhà trường phổ thông. Hơn nữa, do phân bố
chương trình và thời gian có hạn, trong giờ lên lớp về phương trình và bất
phương trình mũ và lôgarit, giáo viên chỉ kịp hướng dẫn cho học sinh cách giải
những dạng phương trình và bất phương trình đơn giản, ít có thời gian cho các
em thực hành. Vì vậy chú trọng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và
khái quát hóa khi giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit là việc
làm cần thiết.
Xuất phát từ lí do trên, tôi chọn khóa luận: “Rèn luyện khả năng phân
tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông qua việc
giải phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ và lôgarit”

1


Với khóa luận này, tôi hi vọng nó sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các
em học sinh , đặc biệt là các em chuẩn bị ôn thi Đại học, Cao đẳng, các bạn sinh
viên toán và thầy cô giáo dạy toán ở nhà trường Trung học phổ thông.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa
qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit qua đó góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán trong các trường Trung học phổ
thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lí luận có liên quan như các khái niệm phân
tích, tổng hợp, khái quát hóa và vai trò của phân tích, tổng hợp và khái quát hóa
trong giải toán.
Tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái
quát hóa trong việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học

chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho
học sinh Trung học phổ thông qua việc giải phương trình và bất phương trình
mũ và lôgarit.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3


CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Phân tích, tổng hợp
Trong quá trình giải bài tập toán học, khả năng phân tích và khả năng tổng
hợp luôn là yếu tố quan trọng giúp học sinh vận dụng kiến thức vào việc giải
toán. Các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy cơ bản. Tất
cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác nhau của quá
trình phân tích, tổng hợp.
Theo G.Pôlya: “Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra từng phần và
tách ra từng thuộc tính khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể”. Trong giải
toán, phân tích (phép suy ngược) là phương pháp xuất phát từ cái phải tìm đến
cái đã biết, xuất phát từ cái phải chứng minh đến cái đã cho, từ giả thiết đến kết
luận. Phép suy ngược bao gồm: Suy ngược tiến và suy ngược lùi với các sơ đồ
như sau:
B  B0  B1  ...  Bn  A (suy ngược tiến),
B  B0  B1  ...  Bn  A (suy ngược lùi).

Ngược lại với phân tích là tổng hợp, theo G.Pôlya: “Tổng hợp là dùng trí
óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc hợp lại các thuộc tính, khía cạnh riêng

Ví dụ chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức sang
việc nghiên cứu những đa thức với bậc tùy ý. Chúng ta khái quát hóa khi chuyển
từ việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác vuông sang nghiên cứu những
hệ thức lượng trong tam giác thường.
Trong hai ví dụ nói trên, khái quát hóa được thực hiện theo hai hướng có
tính chất khác nhau. Ở ví dụ thứ nhất, khái quát hóa được thực hiện bằng
cách thay hằng số 2 bởi biến số n  n    . Ở ví dụ thứ hai, khái quát hóa
được thực hiện bằng cách loại bỏ điều kiện một góc của tam giác bằng 90 độ
để nghiên cứu những tam giác với góc tùy ý.
Những dạng khái quát thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn
bằng sơ đồ sau:

5


Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái riêng lẻ
đến cái tổng quát

Khái quát hóa từ cái tổng quát
đến cái tổng quát hơn

sadffbw
Ag,sd
Khái quát hóa tới cái tổng
quát đã biết

Khái quát hóa tới cái tổng quát
chưa biết

giúp ta biết cách giải quyết được vấn đề.
Ví dụ: Giải phương trình: 3x 5 x4  81 1
2

*Phân tích
Trong phương trình 1 vế trái là hàm mũ cơ số 3, vế phải là 81. Với
phương trình này ta có thể đưa hai vế của phương trình về cùng một cơ số hoặc
lôgarit hai vế của phương trình với cùng một cơ số. Ta nhận thấy phương trình
này có thể đưa vế phải về cùng cơ số 3 ta được 81  34 , khi đó phương trình đưa
về dạng a f  x  a  f  x    , từ đó giải phương trình x2  5x  4  4 để tìm
nghiệm của phương trình 1 .
1.2.2. Vai trò của tổng hợp trong giải bài tập toán học
Thông thường trong giải toán người ta dùng phương pháp tổng hợp để trình
bày lời giải một bài toán. Việc sử dụng phương pháp tổng hợp làm cho lời giải
bài toán sẽ ngắn gọn, xúc tích hơn so với việc dùng phương pháp phân tích. Tuy
nhiên, nếu ta chỉ dùng phương pháp tổng hợp để giải mà không trải qua việc
phân tích sẽ làm cho học sinh khó hiểu vậy muốn tổng hợp được ta phải trải qua
quá trình phân tích. Mặt khác phương pháp tổng hợp cho ta thấy quá trình phân
tích có chính xác không.
Phương pháp tổng hợp thường được vận dụng để trình bày các kiến thức
trong sách giáo khoa để đảm bảo tính ngắn gọn, cô đọng. Xong giáo viên cần có
những câu hỏi gợi mở dẫn dắt để đi đến những kết luận sao cho quá trình lí luận
7


càng tự nhiên càng tốt, từ dễ đến khó, không đột ngột để học sinh dễ dàng tiếp
thu, lĩnh hội tri thức.
Vì vậy tổng hợp không thể thiếu trong quá trình giải toán.
Ví dụ: Giải phương trình: 3x 5 x4  81 1
2

trình phát triển tư duy cho học sinh, chẳng hạn: Khái quát hóa liên quan đến việc
phát triển các khả năng suy đoán, tưởng tượng, liên quan đến việc rèn luyện các
thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, đặc biệt hóa. Nó cũng góp
phần hình thành các phẩm chất trí tuệ và các lập luận lôgic có lí cho học sinh.
Trong toán học, khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với các thao tác tư duy khác nhau
như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự,… Khái quát hóa giúp chúng ta hình thành
khái niệm, chứng minh định lí, phát hiện và đề xuất những kiến thức mới.
Trong giải toán khái quát hóa hay còn gọi là tổng quát hóa giúp chúng ta
khái quát các bài toán riêng lẻ thành bài toán tổng quát hơn. Để sau này khi gặp
các bài toán tương tự chúng ta sẽ dễ dàng giải hơn.
8


Ví dụ: Giải phương trình: 3x 5 x4  81 1
2

*Khái quát hóa
Từ việc giải phương trình 1 ta có thể khái quát hóa để có bài toán tổng
quát sau:
Giải phương trình: a f  x  b  b  0 
Nếu b đưa được về cơ số a thì:
a f  x   b  a f  x   a  f  x   

Nếu b không đưa được về cơ số a thì:
a f  x   b  f  x   log a b

1.3. Phƣơng pháp chung tìm lời giải bài tập toán học
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi
bài toán. Điều đó là ảo tưởng. Ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có
trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng

Việc tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ giải với một
bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hay một bài toán
nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán như
chứng minh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, quỹ tích,...
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ càng từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được đối chiếu kết quả với một tri thức có liên quan.
Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng để tìm được cách giải
hợp lí nhất cho bài toán.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Khi đã tìm được cách giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn
nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau. Việc trình bày lời giải là văn bản
để đánh giá kết quả hoạt động giải toán.
10


Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách
lập luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng
những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình
tự các chi tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi
tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào
“bỗng nhiên” xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học những chi
tiết mà ta đã trình bày trước đó.
Trình tự các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khác
với trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải để sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó và
lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc.
Bƣớc 4: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải:
Bao gồm một số việc như sau:
+ Kiểm tra lời giải bài toán cả về mặt định tính và mặt định lượng.

trong việc giải phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ và lôgarit cho học sinh
Trung học phổ thông
Để tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái
quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông, chúng tôi tiến hành điều tra trên hai
đối tượng giáo viên và học sinh như sau:
a. Bảng điều tra giáo viên:
Bảng 1. Bảng điều tra giáo viên trƣờng Trung học phổ thông dân tộc nội
trú tỉnh Điện Biên:

STT Họ tên giáo viên

Tuổi
nghề

Hệ đào tạo
Thạc Đại
sĩ

1 Đỗ Lâm Tới

Trên 10
năm

2 Nguyễn Thị Huệ Trên 10
năm

Cao

học đẳng


Loan

Trên 10
năm

4 Nguyễn Thị

Trên 10

Thường

năm

5 Vi Thị Vân

Trên 10

+

năm
6 Hà Mạnh Tuân

Dưới 10
năm

8 Nguyễn Thị

Dưới 10

Thương

+

+

+

+

+

Nhận xét: Qua điều tra cho thấy nhiều giáo viên có thâm niên công tác lâu
năm nên có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. Do đó, phương pháp
giảng dạy đều nắm vững. Tuy nhiên cũng có một phần nhỏ giáo viên trẻ tuổi
mới bước vào nghề, chưa có kinh nghiệm dẫn tới chưa hình thành phương pháp
và kĩ năng giải toán cho học sinh.
Về trình độ đào tạo tất cả giáo viên của trường Trung học phổ thông dân
tộc nội trú tỉnh Điện Biên đều đạt trình độ đại học trở lên, theo đúng quy định
của luật giáo dục, tay nghề tương đối vững vàng, ngoài ra còn một giáo viên
được đào tạo lên thạc sĩ.
Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi,
tuy số lượng còn ít và chưa nhiều giáo viên đạt danh hiệu các cấp nhưng đội ngũ
giáo viên luôn trau dồi kiến thức và nghiệp vụ sư phạm, nhiệt tình trong giảng dạy.
b. Bảng điều tra học sinh

13


Bảng 2. Bảng điều tra học sinh lớp 12 Trung học phổ thông dân tộc nội trú
tỉnh Điện Biên:
Giới tính


31

6

18

7

0

2

12C2

19

11

30

5

17

8

0

3


24

0

5

12C5

16

21

37

2

12

23

0

Nhận xét: Về phía học sinh qua điều tra, quan sát tôi có một số nhận định
ban đầu như sau: Các em đều là người dân tộc, các em chưa có phương pháp học
tập tốt. Bên cạnh đó là hạn chế về tài liệu tham khảo, điều kiện học tập. Các em
chủ yếu là học sinh trung bình nên khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát
hóa còn nhiều hạn chế.
Qua phỏng vấn giáo viên và học sinh tôi rút ra nhận xét sau:
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán hiện nay giáo viên vẫn chưa chú trọng

Xem bài toán thuộc loại gì, phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm… Phải
biết nhìn bài toán trong bối cảnh chung nhưng lại phải biết nhìn bài toán
trong từng hoàn cảnh cụ thể.
Theo G.Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là hai động tác quan trọng của trí óc.
Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy. Những chi tiết quá nhiều và quá
nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩa, không tập trung vào điểm căn bản. Đó là trường
hợp của một người chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Trước hết phải tìm hiểu
bài toán như một cái toàn bộ. Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem
xét những điểm chi tiết nào là căn bản. Ta phải nghiên cứu thật sát và chia bài
toán thành từng bước và chú ý, không đi quá xa khi chưa cần thiết”.
Sau khi bài toán đã được hiểu trên toàn bộ, khi đã tìm được mục đích chủ
15


đạo thì phải đi vào chi tiết. Đặc biệt, nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần
thiết phải thực hiện xa hơn nữa việc phân chia và khảo sát các chi tiết nhỏ hơn.
Sau khi đã phân chia bài toán, ta cố gắng tổ hợp lại một cách khác các yếu
tố của nó. Chẳng hạn ta có thể tạo nên một bài toán mới dễ hơn, mà trong trường
hợp cần thiết ta có thể dùng như một bài toán phụ.
Việc giải bài toán đòi hỏi học sinh phải biết phân tích các trường hợp khác
nhau của nó, chia bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ. Giải các bài toán nhỏ
kết hợp thành bài toán lớn. Trong nhiều bài toán, đòi hỏi học sinh phải biết tách
các yếu tố đã cho để nhận biết đặc điểm riêng rồi tổng hợp lại để từ đó rút ra
cách giải.
Ví dụ 1: Giải phương trình:



 
x

Bằng tổng hợp ta có lời giải bài toán như sau:
Nhận thấy:





2 1



2 1  1

Đặt t   2  1 điều kiện t  0 * , thì
x





x

2 1 

Khi đó phương trình 1 tương đương:
1
t 2 2
t
 t 2  2 2t  1  0


t

Khi đó đặt t  a x , điệu kiện t  0 suy ra b x  ta được:
1t 

2
t

 3  0  1t 2   3t   2  0

 Với phương trình 1a 2 x   2  ab   3b2 x  0 khi đó chia 2 vế của phương
x

2x

x

a
a
trình cho b  0 ( hoặc a ,  ab  ), ta được: 1     2    3  0
b
b
2x

2x

x

x


9

9

3

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 3x  4x  5x 1 .
* Phân tích
Ta thấy 1 là phương trình có cùng số mũ, tuy nhiên các cơ số khác nhau
mà lại có ba cơ số, từ đó ta nghĩ đến việc tìm cách triệt tiêu một cơ số bằng cách
chia cả hai vế cho 5 x (hoặc 3x ; 4 x ). Để giải phương trình này ta chia cả hai vế của
x

x

3  4
phương trình cho 5 , khi đó phương trình 1 có dạng       1 .Sau đó ta đi
5  5
x

x

x

3  4
xét sự biến thiên của hàm số f  x        và chỉ ra nghiệm duy nhất của
5  5

phương trình.
* Tổng hợp

Do đó :
x

x

x

x

3  4
Với x  2 thì f  x   f  2 hay       1 , nên phương trình không thể có
5  5

nghiệm x  2 .
3  4
Với x  2 thì f  x   f  2 hay       1, nên phương trình không thể có
5  5

nghiệm x  2 .
Mà ta có: f  2   1  x  2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình 1 có nghiệm duy nhất: x  2 .
*Khái quát hóa
Từ việc giải ví dụ trên ta có thể khái quát hóa để có bài toán tổng quát sau:
Giải phương trình dạng : a x  b x  c x  2 
Từ việc sử dụng tính chất: Nếu hàm y  f  x  đồng biến ( hoặc nghịch
biến) trong khoảng  a, b  thì phương trình f  x   k có nghiệm duy nhất trong
khoảng  a, b  , áp dụng tính chất này để giải phương trình  2  ta làm như sau:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f  x   k
Bước 2: Xét hàm số y  f  x  ,
Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến)

Phương trình 1   23 x   3.23 x  1  0  2  .
2

Đặt 23 x  t  0 . Phương trình  2  trở thành:
2t 2  3t  1  0

t  1
  1 (thỏa mãn)
t 
 2

Với t  1  23 x  1  23 x  20  3x  0  x  0 .
1
2

Với t   23 x  21  3x  (1)  x 

1
.
3

Vậy phương trình 1 có hai nghiệm: x1  0; x2 
20

1
.
3