BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

PHẠM VĂN BẰNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

PHẠM VĂN BẰNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã ngành: 62460103

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN THIỆU HUY

Hà Nội - 2016

Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất . . . . . . . . . . . 13
1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2

Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm . . . . . . 15

1.2

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng 18

1.3

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng . . 20

1.4

Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5

Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định . . . . 26

Chương 2. NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNG
29

TRÌNH TRUNG TÍNH



3.4

Tính dương của nửa nhóm nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 59

Chương 4. ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
64

TRUNG TÍNH

4.1

Đa tạp ổn định bất biến của phương trình vi phân trung tính
trong không gian chấp nhận được trên nửa đường thẳng . . . 64

4.2

Tam phân mũ và đa tạp tâm ổn định của phương trình trung
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3

Đa tạp không ổn định của phương trình trung tính . . . . . . 86

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 119

ii


Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp đã
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè
đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học
mình đã chọn.
Tác giả

2


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N

: tập các số tự nhiên.

R

: tập các số thực.

R+

: tập các số thực không âm.

Lp (R)

:=

u:R→R: u


t
t+1

với chuẩn f

M

|f (τ )|dτ.

:= sup
t≥0

t

E

: không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+ .

ER

: không gian hàm Banach chấp nhận được trên R.

X

: không gian Banach.

C

:= C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0,
nhận giá trị trong X với chuẩn u

u (t) − u (t − 1) + u(t) = 0,
√
u (t) − u(t − 1) − u(t − 2) = 0,
u (t) − 2u(t) + u (t − 1) − 2u(t − 1) = 0,
hoặc nó mô tả dưới dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n và sai
phân cấp m :
F t, u(t), u(t − r1 ), ..., u(t − rm ), u (t), u (t − r1 ), ..., u (t − rm ), ...
..., u(n) (t), u(n) (t − r1 ), ..., u(n) (t − rm ) = 0
với F là hàm của (m + 1)(n + 1) biến.
Để hiểu được nguồn gốc thuật ngữ "trễ", "trung tính" ta xét phương
trình sai - vi phân cấp 1
a0 u (t) + a1 u (t − ω) + b0 u(t) + b1 u(t − ω) = f (t) với ω > 0 cố định .
Nếu a0 = a1 = 0 thì phương trình này gọi là phương trình sai phân. Nó không
chứa bất kỳ vi phân nào.
Nếu a0 = 0, a1 = 0 thì phương trình trên gọi là phương trình sai - vi
phân "có chậm" hay đơn giản là phương trình vi phân có trễ. Vì nó mô tả sự
phụ thuộc vào hệ trạng thái trong quá khứ.
Nếu a0 = 0, a1 = 0 thì phương trình trên gọi là phương trình sai - vi
phân "có sớm". Vì nó mô tả sự phụ thuộc vào hệ trạng thái trong tương lai.
4


Cuối cùng nếu a0 = 0, a1 = 0 thì loại phương trình sai -vi phân này, vừa
"có chậm" vừa "có sớm". Vì vậy trong trường hợp này phương trình trên gọi
là phương trình vi phân trung tính.
Gần đây J. Wu and H. Xia [24] đã xét một mạng lưới các đường dây
truyền tải và chỉ ra mô hình của nó tương ứng với phương trình sau:
∂2
∂
F ut = a 2 F ut + Φut .

t ∈ I,

(2)

trong đó I = R+ hoặc I = R, B(t) là toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn)
trên không gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định. Với C := C([−r, 0], X);
5


toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X là toán tử sai phân, Φ : C → X là
toán tử tuyến tính (hoặc Φ : R+ × C → X phi tuyến liên tục) là toán tử trễ,
và ut là hàm lịch sử được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0].
Việc xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm
tổng quát, cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những bước
phát triển gần đây của Toán học để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản
chất của nghiệm phương trình đó.
Sử dụng các phương pháp toán học hiện đại hiện nay như là lý thuyết
phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết
các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa tạp bất biến, ... Chúng
tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm (ổn định, không ổn định, nhị
phân,..) đối với phương trình (1) và (2).
Với phương trình trung tính tuyến tính (1) một số kết quả nền móng ban
đầu về sự tồn tại, ổn định mũ của nghiệm, đã đạt được bởi N.T. Huy và một
số tác giả khác (xem [33, 40, 43, 46, 53]). Trong luận án này, chúng tôi sẽ
phát triển các kết quả về tính nhị phân, không ổn định, ổn định tuyến tính
hóa đối với các phương trình trên để nhận được các kết quả tổng quát hơn
và ứng dụng vào các mô hình cụ thể.
Với phương trình trung tính nửa tuyến tính (2) chúng tôi nghiên cứu về sự
tồn tại đa tạp tích phân đối với nghiệm của phương trình này. Trong trường
hợp phương trình vi phân hàm có trễ (tức là trường hợp đặc biệt của phương

dụng một số nguyên lí cơ bản trong giải tích toán học như nguyên lí ánh xạ
co, định lý hàm ẩn, ... Việc sử dụng không gian chấp nhận được giúp các tác
giả xây dựng đa tạp bất biến mà không cần dùng điều kiện hằng số Lipschitz
đủ nhỏ của toán tử trễ phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [42]). Cụ thể các
tác giả đã xét điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại
của đa tạp ổn định bất biến (xem [37]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi
tuyến là hàm phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp
nhận được. Đồng thời, việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được
đã mang đến một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được
công bố trong thời gian gần đây (xem [8, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43]).
Tuy nhiên sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình trung tính phi
tuyến đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu.
Từ những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là "Một số tính

7


chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach".
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của Luận án:
Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm các phương
trình trung tính trong không gian Banach, tính ổn định của phương
trình trung tính tuyến tính và phương trình trung tính với quá khứ
không ôtônôm, tính dương của nửa nhóm nghiệm.
Xây dựng đa tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn
định đối với nghiệm của phương trình trung tính nửa tuyến tính.
• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính.
Tính chất nghiệm của phương trình nói trên khi thời gian đủ lớn.
3. Phương pháp nghiên cứu

quy mô và tính chất trong tương lai của các quá trình đó thông qua những
dữ liệu ban đầu của hệ thống vốn có thể tính được trong hiện tại và quá khứ.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
• Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Chúng tôi trình bày
khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nửa
nhóm. Sau đó, chúng tôi trình bày không gian hàm Banach chấp nhận
được (xem [37, 42]), nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định
của phương trình vi phân nửa tuyến tính (xem [36, 37, 39]).
• Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu tính nhị phân mũ của nghiệm phương
trình trung tính có dạng

 ∂ F ut
∂t
u (t)
0

= BF ut + Φut

với t ≥ 0,

= ϕ(t) với t ∈ [−r, 0].
9

(3)


Ở đây, B là toán tử đạo hàm riêng tuyến tính, các toán tử F và Φ là
toán tử sai phân và toán tử trễ, tương ứng. Trong [53], với giả thiết các

mũ với điều kiện là họ tiến hóa lùi U = (U (t, s))t≤s≤0 sinh bởi A(s) ổn
định mũ đều và toán tử B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0
trên X. Hơn nữa, với các điều kiện tính dương của (etB )t≥0 , U, F và Φ
chúng tôi chứng minh rằng nửa nhóm nghiệm nói trên là dương và chỉ
ra điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm ổn định mũ.

10


• Chương 4: Xét phương trình trung tính
∂
F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ),
∂t

t ∈ R+ (hoặc t ∈ R),

(6)

trong đó B(t) là toán tử tuyến tính (không nhất thiết bị chặn) trên
không gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định. Đặt C := C([−r, 0], X);
xét toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X là toán tử sai phân, toán
tử phi tuyến liên tục Φ : R+ × C → X là toán tử trễ, và ut là hàm
lịch sử được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]. Mục đích
của chương này là chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến
cho phương trình (6) khi phần tuyến tính của nó (B(t))t≥0 sinh ra họ
tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ trên nửa đường thẳng với
điều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyến Φ là ϕ− Lipschitz, tức là
Φ(t, φ) − Φ(t, ψ) ≤ ϕ(t) φ − ψ

C

– Semina "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và
ứng dụng" Đại học Bách khoa Hà Nội.
– Seminar Phương trình vi phân và tích phân, Trường Đại học Bách
khoa Hà Nội.

12


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của
nửa nhóm liên tục mạnh, không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa
đường thẳng R+ (xem [38]). Bằng một số những thay đổi nhỏ, chúng ta thu
được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được
trên đường thẳng thực (xem [42]). Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ
của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.

1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất

1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X) gọi là
một nửa nhóm liên tục mạnh nếu:
(i) T (t + s) = T (t).T (s), ∀t, s ≥ 0.
(ii) T (0) = I toán tử đồng nhất.
(iii) lim+ T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X.


(iv) ∀t ≥ 0 ta có
t

T (t)x − x = A

T (s)xds nếu x ∈ X
0
t

T (s)Axds nếu x ∈ D(A).

=
0

Định nghĩa 1.1.4. Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach
X. Tập các giá trị chính quy của A: ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) là song ánh}.
Khi đó
R(λ, A) := (λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A) là giải thức của A,
σ(A) := C \ ρ(A) gọi là tập phổ của A.
Định lý 1.1.5. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian
Banach X, và lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0. Khi
đó với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tính chất
sau:
(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=

∞ −λs
T (t)xds
0 e


t→+∞

0

1.1.2

e−λs T (s)xds.

T (s)xds = lim

0

Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm

Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ và
nhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh và đặc trưng phổ cho tính ổn định
và nhị phân của nửa nhóm đó. Trước hết, ta nhắc lại khái niệm ổn định mũ
đều như sau.
Định nghĩa 1.1.6. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh
(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại > 0 sao cho
lim e t T (t) = 0.

t→∞

Sau đây, ta đưa ra các khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm như sau:
Định nghĩa 1.1.7. Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi
là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực tiếp
X = Xs ⊕ Xu , các không gian con đóng Xs , Xu bất biến đối với (T (t))t≥0 sao
cho hạn chế của (Ts (t))t≥0 trên Xs , và (Tu (t))t≥0 trên Xu thỏa mãn các điều
kiện:

Ta lưu ý rằng, trong trường hợp tổng quát điều kiện s(A) < 0 không
kéo theo tính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi A
(chẳng hạn xem [23, Ví dụ 1.2.4]). Tuy nhiên, nếu (T (t))t≥0 thỏa mãn Định
lý Ánh Xạ Phổ thì ta có đặc trưng sau:
(T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0.
Để đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây được lấy từ [28].
Định lý 1.1.11. Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , các mệnh đề
sau là tương đương:
16


(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ.
(ii) σ(T (t)) ∩ Γ = ∅ với một/ mọi t > 0.
Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ (SMT) và A là toán tử
sinh của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với
(iii) σ(A) ∩ iR = ∅.
Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh
Xạ Phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: σ(A) và σ(T (t)) thỏa mãn
σ(T (t)) ⊂ Γ.etσ(A) := {z.etλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0.
Hơn nữa nếu dùng trung bình Cesàro thì ta có đặc trưng sau đây của tính
nhị phân mũ mà không cần dùng đến Định lý Ánh Xạ Phổ.
Định lý 1.1.12. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian
Banach X với toán tử sinh A. Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ.
(ii) iR ⊂ ρ(A) và
(C, 1)
k∈Z

1
R(iω + ik, A)x := lim

là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được

Borel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|(λ-hầu khắp nơi ) thì ψ ∈ E và ψ

E

≤ ϕ

E,

(2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt≥0 χ[t,t+1]
∞, inf t≥0 χ[t,t+1]

E

E

> 0,

(3) E → L1,loc (R+ ), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R+ tồn tại βJ > 0 sao
cho

J

|f (t)|dt ≤ βJ f

E

với mọi f ∈ E.


E.

t+1
ϕ(τ )dτ .
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , với
Tτ+ ϕ(t) =

ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0
nếu 0 ≤ t < τ

0

Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với mọi
τ ∈ R+ .
Ví dụ 1.2.4. Không gian Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ ∞, và không gian
t+1

M(R+ ) :=

f ∈ L1, loc (R+ ) : sup
t≥0

với chuẩn f

M

:= supt≥0

0

∞

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

Λσ ϕ(t) =
t

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+ ) (điều này được thoả
mãn nếu ϕ ∈ E (xem Chú ý 1.2.5) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh
giá
Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

∞

và Λσ ϕ

∞

≤


Borel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|(λ-hầu khắp) thì ψ ∈ E và ψ
20

E

≤ ϕ

E,


(2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt∈R χ[t,t+1]
∞, inf t∈R χ[t,t+1]

E

E

> 0,

(3) E → L1,loc (R), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R tồn tại βJ > 0 sao
cho

J

|f (t)|dt ≤ βJ f

E

với mọi f ∈ E.

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định
Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau
t

Λσ ϕ(t) =

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,
−∞

21