ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRUỒNG ĐẠI HỘC KHOA HỌC TựNHIÊN
* * * * * * *
Tén đề tài:
DÁNG ĐIỆU CỦA N G H IỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG
TRÌNH SAI PH ÁN TR ONG KHÔNG GIAN BANACH TRÊN M Ộ T KHOẢNG VÔ
HẠN VÀ M ỘT SỐ MÔ HÌNH ÚNG DỤNG.
M Ã SỐ: Q T 0 3 .0 3
Chủ trì đề tà i: T.s ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
OAI HỌC QUỐC ^ 1 '■
tru n g tâm th ò n g tin ỉm .
p r / 3 6 3
Hà nội 2004
REPORT ON PRỌJECT QT-03-03
I. T itle o f P jo ject :Behavior o f s o lu tio n s o f s y ste m s o f differen tial
Equations and difference equations in the Banach space on the inffinite
interval and some application models.
II. Pjoject ‘s code: QT 03-03
III. Head of Research Group: Dr. Dang Dinh Chau
IV. Participants: Dr. Hoang Quoc Toan, Dr. Nguyen Thi Hong Minh, MSc
Nguyen Minh Man, MSc Du Duc Thang, MSc Pham Thi To N g a .B S c M ai
N g o e D ieu
V . T arget and contents:
In recent years, thanks to the d evelop m e n t o f in ío r m ation te ch n o lo g y , the
stud y o f operator and the application in p ractice is im p roved and gets m u ch
ach iev em en t. A m o n g those stu dies, the th eo ry o f operator eq u atio n s has been
researched bv m anv scien tists.B esid es the qu a litative stu dv, so m e quan titative
stu d y as the supp lem entary also play an im p ortan t role in m eetin g th e d em and
o f solv in g the practicaỉ m athem atic issu e s su ch as:
-Stud y ing N euron netvvork and electro n ics netvvork.
-A p ply to study and so lv e E con om ic p rop lem s.

BÁO CÁO TÓM TẮT
a.T ên đề tài : Dáng điệu của nghiệm của các phương trình vi phán và phương trình sai
phán trong không gian Banach trên một khoảng vó han và mội số mô hình ứng dụng .
Mã số: QT 03.03
b.Chủ trì đề tài : T.s Đặng Đình Cháu
c.Các cán bộ phối hợp:
T.s Hoàng Quốc Toàn
Thạc sỹ Nguyễn Minh Mẫn
T.s Nguyễn Thị Hồng Minh
Thạc sỹ Dư Đức Thắng
cửnhán Mai Ngọc Diệu
Thạc sỹ Phạm Thị T ố Nga.
d. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
Trong những năm gần đáy, nhờ sự phát triển nhảy vọt của cỏ n g nghệ thông tin ,nhiều
lĩnh vục lý thuyết toán học đặc biệt trong đó có nghành lý thuvết phương trình vi phán,
phương trình sai phán được nhiều nhà toán học quan tám nghiên cứu và áp dụng các kết quả
nhận được vào thực tế chẳng hạn như: Nghiên cứu Mạng Neuron thần kinh và trí tụé nhân
tạo, ứng dụng toán học vào việc nghiên cứu và giải các bài toán kinh tế, ứng dụng toán học
vào các bài toán m ôi sinh.
Trong báo cáo này chúng tôi sẽ trình bàv một sô' kết quả mới nhận được trong việc
nghiên cứu các bài toán sau đãv:
-Sự tương đươne tiệm cân của các phương trình vi phân với biến sỏ' châm trong khỏng gian
hữu hạn chiều và không gian Banach
-M ột số tính chất của Hệ động lực tổng quát trên nhóm được sắp đặc biệt
-ứng dụng của phương pháp sai phán đối với các bài toán : Xử lý tín hiệu số, nghiên cứu sự
hoạt động của m ạn s Neuron thần kinh, nghiên cứu m ô hình Trí tué nhàn tạo. ứng dụng của
phương trình sai phán trone việc nghiên cứu m ột số bài toán kinh tế và bài toán sinh hoc và
môi trường.
e.C ác két q u ả đạt được :
- Viết được hai bài báo khoa học.

hoạt động của m ạne Neuron thần kinh, nghiên cứu m ô hĩnh Trí tuệ nhân tạo, ứng dụng của
phương trình sai phán trons việc nghiên cứu một số bài toán kinh tế và bài toán sinh học và
môi trường.
e.Các kết quả đạt được :
- Viết được hai bài báo khoa học.
- Hoàn thành một luận vãn thạc sỹ (đã bảo vệ), sấp hoàn thành tiếp 2 luận vãn thạc sv và 2
luận vãn tốt nghiệp, một luận văn tiến sỹ (sắp bảo vệ)
f.T ìn h hình k inh phí của đ ề tài: Đã thanh toán và sử dụng theo đúng dự định
Xác nhán của B an C hủ n hiệm K hoa Chủ trì đé tài
GS.TSKH.
REPORT ON PRỌJECT QT-03-03
I. T itle o f Pjoject :B ehavior o f so lu tio n s o f sy stem s o f d ifferen tia l
Equations and differen ce equations in th e B anach sp ace on the in ffin ite
interval and s o m e application m od els.
II. Pjoject ‘s code: QT 03-03
III. Head of Research Group: Dr. Dang Dinh Chau
IV . Participants: Dr. H o a n g Q u oc T o an, D r. N gu y en T hi H on g M in h , M Sc
N g u y e n M inh M an, M S c D u D uc T h ang, M S c Pham Thi T o N g a .B S c M a i
N g o e D ieu
V . Target and contents:
In recent years, tharxks to the d e v e lo p m en t o f inform ation te ch n o lo g y , the
stu dy o f operator and the application in p ractice is im p roved and g ets m uch
ach iev em en t. A m o n g those stu dies, the theo ry o f operator eq u a tion s has b een
researched by m any scien tists.B esid e s the q u alitative stu d y, so m e quantitative
stu d y as the su pplem entary also play an im portant role in m e e tin s the dem and
o f solv in g the practical m athem atic issu es su ch as:
-Stu d ying N euron n etw o rk and elec tro n ics n etw ork.
-A p p ly to study and so lv e E cono m ic p roplem s.
-A p p ly m ath em atics in E nvironm ent pro b le m s.
T h er eíore, in this report, som e m ain co n ten ts is being reíerred through

hé đ ó n s lưc đươc sắp đãc b iê t

3.4. Đ iểm du đ ô n s và k h ôn g du đổn g tá m 47
3.5. Tập cực đ iể m 55
3.6. Ó n định th eo L ya p u n o v 61
C h ư o n g 4. P h á n ứ n g d u n g
3. ]. Mạng N euron 64
• Dang D inh Chau and K ieu Thu Linh, On the asymptotic
equivalence of solutions of the linear evolution equations,
International jou m al o f ev o lu tio n equations.
• Nguyen Van Minh and Nguyen Minh Man, On the asymptotic
behavior o f solutions o f ne li trai de lay difference equations,
VNƯ. J ou m a l o f Science. M a th em atics - P h y sics. T .X IX , N„3 -
20 03.
b. Training activities: W e instru cted su ccessfu lly 1 m aster o f
m a th e m atic.l doctor and 2 m asters o f m a th em atic are g oin g instru cted .
VII. Finance
T he Prjoect was ĩm an cia lly supported by V N U H w ith a total grant o f
1 5 .0 0 0 .0 0 0 V N D for 2 years.
MỤC LỤC
Lời mở đáu
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Ph ổ của toán tử tuv ến tính và lý thuyết nửa n h ó m
7
Chương 2. Sự tương đương tiệm cận của các hê phương trình vi phán với
đối s ố ch ậ m
2 .1 . Sự g iớ i nội n g h iệm củ a phương trình vi phán tu yến tính với
b iến s ố c h ậ m 13
2 .2. Đ ịn h lv L evin so n v ề sư tươ ng đ ương tiệm cận củ a các phương trình
vi phân với biến số c h ậ m 16

neuron thần kinh và m ỏ hình mạng trí tuệ nhán tạo. N ộ i dung chính của bản báo cáo
gồm có 3 phần :
1.Trong chươn g 1 và chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu về tính tương
đương tiệm cận của phương trình vi phân tuyến tính với biến số chậm trong không
cian R n và trong khóní: Banach. Đ ây là những kết quả m ới và có ý nghĩa khoa học
trong rình vực lí thuvếi định tính của phương trình vi phân.
2 .Ch ươn 2 3 dành cho việc n ghiến cứu hệ đ ộn s lực rời rạc( hệ đ ộng lực được sắp
đặc biệt) .Nhò' sự phát triển mạnh m ẽ của có ng nghệ thông tin và kĩ thuật điện tử
trong nhữnc nãm £ần đảv. một số nghành khoa học như giải tích số. xử lý tín hiệu số
và một số nshành khoa học liên quan đã nhãn được sư quan tám đặc biệt của các nhà
khoa học. Những ván để mà chúnc tôi đang quan tám nghiên cứu ở chươnc 3 như là
các tập bất biến cùa hệ động lưc. sự phân lớp của các chuyển động tuần hoàn, sư ổn
định của các hệ độns lưc rời rạc là những vấn đế manc tính thời sự cao và có nhiéu
khả nãnc áp dune vào thực tiễn .Thông qua việc đi sáu ùm hiểu và nghiên cún những
vấn đề này chúns tỏi dần dán đi đến mục đích cuối cùng là ứng dune các kết quả
nchiên cứu trone lí thuvết phươns trình vi phân và hệ động lực tổng quái vào các
lĩnh vực khác nhau cua khoa học kĩ thuật và đời sống hànc nsàv.
3. Ch ươn £ 4 dành cho những tìm hiểu đẩu tiên về cơ c h ế hoạt đ ộng của m ạna
thán kinh và sự mó hình hoá của nó thành các mỏ hình toán học.ĐổnE thòi chươns
này cũ nc có trình bàv một số kết quà ứng dung của lí thuyết ổn định của phương
trình vi phán với biến số chậm th eo xu hưótts nói trén. T uy nhiên n hũ ìis nchiên cứu
của phán nà y còn ó m ức khời thao và m ang tính m inh hoạ. nếu có điều kiện chơ
phép đi xa hơn nữa th eo xu hướnc này ch ú ns tỏi hy vọn g sẽ đạt được những kết quả
m ĩ m ãn m à ch ú n s tỏi đane kv v ọ ne.
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH VÀ LÝ TH U Y ẾT NỬA NHÓM
1.1.1 Không gian Banach. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach
Cho khổng gian tuyến tính X , chuẩn trong X được ký hiệu là một hàm số từ X —> R
sao cho chúng thòa mãn các tiên đề sau:

(ii) ơ(A) là một tập đóng
(iii) ơ(A) g iớ i n ộ i
(iv) R(\,A) luỏn giải tích trên táp p{A).
Trong luận vãn này chúng tôi thường sử dụng một số' kết quả sau:
Định lý 1.1. Già sử X là mội không gian Banach và A € I /(X ) là toán từ compact nếu
X Ỷ 0 thuộc phổ ơ(A) thì X là một giá trị riéng của A.
Chứng minh. X em [ 2]. trans 129 □
Đ ịnh lý 1.2. Già sử X là một không gian Banach, nếu A G L(X) là toán tủ compací thì
ơ(A) không có điém tụ khác không và tập phổ ơ(Á) có nhiếu nhất là đếm được phấn tủ.
Chửng minh. X em [2]. trang 131. □
Định lý 1.3. Sếu X là mộí không gian Banach, A G L (X ) là toán tử compaci và X là
một sô'khác không thì .Y(.4 —*A/) là mộ! khóng gian con hữu hạn chiểu của X . Trong đó
N (A — XI) là ki hiệu tập hạt nhân của (A — XI).
Chứng minh. X em [2] 129. □
8
Đ ịnh lý 1.4. ( Định lí bao hàm phổ)
Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm lién tục mạnh (T(t))ị> 0 trên không gian Banach X
thì: e ^ {A) c ơ{T(t)) với t > 0.
Chứng minh. X em [6] trang 84. □
Định lý 1.5. (Định lí ánh xạ phổ cho phổ điểm)
Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))ị>0 thì:eta^ A) = ơp(T(t)) ỏ đáy
ơp(A) là phổ điểm của A.
Chứng minh. X em [6] trang 85. □
Định lý 1.6. ( Định lí ánh xạ phổ cho nửa nhóm liên tục đểu )
Mọi nửa nhóm liên tục đều {etA)t>0 và A là toán tủ sinh có:
ơ(etA) = := {etX : A G ơ(A)}.
Với mọi t > 0.
Chứng minh. Xem [14] ữang 19. □
1.1.3 Phép chiếu Riezs và phán rã phổ của một toán tử
Cho X là khóng gian Banach, i : X - t X liên tục. Giả sử rằng tập phổ ơ{A) = ơ\ ỊJ Ơ2

Nếu {T(t))ị> 0 là một nừa nhóm liên tục đều của các toán tử tuvến tính bị chăn thì:
(a) Tồn lại m ột hằng số UI > 0 sao cho ||r ( í)|| <c eut
(b) Tổn tại duy nhất m ột toán từ tuyến tính bị chận A sao cho T(t) = eM .
(c) Toán tử A ờ phần b) là toán tử sinh của T{t).
(d) t -4 Tự) là khả vi và thoả mãn phưcmg trình:
( 1.1)
T ( x ) — X
D{Á) — { x £ X : giới hạn li m

-

tồn tai hữu han}
Ax = lim -— - , x € D{A)
t ị 0 t v ’
no
đT{t)
- 1 = m t) = T(t)A
9
Đ ịn h lý 1.4. ( Định lí bao hàm phổ)
Cho A là toán tủ sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))ị> 0 trên không gian Banach X
thì: e c ơ(T(t)) với t > 0.
Chứng minh. X em [6] trang 84. □
Đ ịn h ]ý 1.5. (Định lí ánh xạ phổ cho phổ điểm)
Cho A ỉà toán tủ sinh của nửa nhóm liên tục mạnh {T(t))ị> 0 thỉ:eu’ĩ’(A) = ơp(T(t)) ỏ đáy
ơp(A) là phổ điểm của A.
Chứng minh. X em [6] trang 85. □
Đ ịnh lv 1.6. ( Định lí ánh xạ phổ cho nửa nhóm liên tục đểu )
Mọi nửa nhóm liên tục đều {etA)t> 0 và A là toán tử sinh có:
ơ(etA) = e*™ : = {etX : A e a{A)}.
Với mọi t > 0.

| | / ( í , 0 ) H m (2.2)
\\f(t.y{t + 6 ) )-fự ìz{t + e))\\^L sup \\y{t + 6) - z(t + 0)11 (2.3)
- h < è < 0
Kí hiệu N(t,r) là toán tử giải của phương trình vi phán:
^ = A(t)x(t) (2.4)
Giả sử rằng .Y(f. r) thực hiện điều kiện:
||Ar( í,r ) || 6 cex p {A (f - r ) } , (c > l ; í > r ) (2.5)
Trong đó A là một số hữu hạn.
Đ ể nghiệm cùa phương trình (1.1) là duy nhất thì chúng ta cần xác định điều kiện ban
đầu:
x(t) = ộ(t); —/ỉ Ẩ: í 4 0 (2.6)
ỏ đáy ộ(t) là hàm giới nội, liên tục hoặc liên tục từng khúc cho trước.
Đ ịnh lý 2.7. Già sử các điêu kiện (2.2), (2.3), (2 .5 ), (2.6) được thực hiện, khi đó phương
trình vi phân (2 .1) có nghiệm duy nhất với t > 0, và nghiệm này liên rục với t > 0.
Chứng minh. Xem [35] trang 355. □
11
2.1 Sự giới nội nghiệm của phương trình vi phản tuyến tính với biến sỏ
chậm
Trong không gian Banach X xét phương trình vi phân tuvến tính
dx(t)
<?
= Ax(t) + /i T Tk) (2.7)
dt
k= 1
Trong đó x,y € X ; -h ^ T é: 0, (k = 1 ,2 , > 0; A e L (X )
Bk(t) : [0;+ o o ) —> L(X),(k=l,2 , ,q ); liên tục, thoả mẵn điều kiện
[ IIB(t)\\dx < +OC (2.8)
fc=i
Kí hiệu X{t) là toán từ Cauchy của (2.7) với /i = 0.
Giả sử ộ(t) là hàm liên tục trên ị—h] 0]. Xét bài toán:

£ M M r é * * - ) V |Ị B (s ) |||||x n(s) - s „ - i ( s ) |||ds
Jo k=i
Xuất phát từ đánh giá đầu tiên:
| | M t ) - x o ( í ) l l l * |/ i | [ l M e ^ T \ \ B ( S)\\\\X(s)\\\\m \\ds
Jo fc=i
é |/i|M 2ewt||ự)(0)|| íj2\\B(s)\\ds
k= 1
Xét trong khoảng [0:T] với T > 0 hữu han tuỳ ý, để ý rằng Bk(t) là các hàm lién tục với
(k= 1.2
__
q). nén trone đoạn [0;T] ta có Yl ỉl-Sfc(0ll ~
Khi đó la có:
I I M O - s o M I I £ \ụ.\M2M ^ H
đánh giá Uén tiếp ta có:
, , , ^ IM ,, (ImIM M ìtr^M e*
|Ị |l n^ l( í) - xn{t) III ér

—

(n + 1)!
(\n\M M iT )n+1 M e^7
(n + 1)!
Ta đặt: Gn{t) — - xn(t) với n=1.2 Khi đó:
|G , ( 0 | í K ^
(n + 1)!
Mà chuỗi _
£
13
hội tụ. ta suy ra chuỗi Yi Gn(t) hội tụ tuyệt đối đều trên đoạn [0; T]. Từ đáy ta
71= 1

= Ay(t) + ị i B k{t)y{t + Tfc)
(2.14)
Với x,y e FT\ —h £ Tk í 0; t > 0; /i ^ 0, A £ Mn(R); Bk : R+ -» Mn(R) với k = l,2 ,q
Trong đó Mn(R) là tập hợp các ma trận vuông cấp n liên tục trên R
Trong phần nàv ta luôn giả thiết
Đ ịnh n ghĩa 12. Các hệ phương trình (2.13) và (2.14) được gọi là tương đương tiệm cân nếu
mỗi nghiệm x(t) của (2.13 ) có một nghiệm y(t) của (2.1 4) sao cho: lim ||rr(í) — y (í)|| = 0
t—»+oc
và ngược lại.
BC{X: y ) là tập hợp tất cả các toán tử liên tục, giới nội từX vàoY
X(t) là toán tử Cauchy của(2.13)
AT(í.r ) là toán tử giải củ aí2.1 4)
Ta có các kết quả sau:
Bổ đề 2.10 . Giả sử X{t) € BC{[0: +OC))]Mn(R)) khi đó X(t) luôn có thể viết được dưới
dang X(t) = U(t) 4- V(t) trong đó
| | Ư ( í ) | |
Me~^ với t >
0 ; | | V ( í ) | Ị
ế
777
với
V í 6
R,
ở đáy M.m.u.' ỉ à các hằng số dương.
(2.15)
Kí hiệu:
15
Chứng minh. V ì theo giả thiết X(t) e -BC([0; + 0 0 ); Mn(R)) nên ta có ||X (í) || < + 0 0 , áp
dụng hệ quả 2.11 trang 13 [15] ta suy tất cả các giá trị riêng của A thoả mãn Re\j(A) ế 0
và các giá trị riêng Aj có phần thực bằng không đều là các giá trị riéne đơn ( tức là các ố

Jũ k=i
y(t) = ậ(t)với — h C t í 0
Theo bổ đề 2.23 toán tử giải N(t,r) của (2.14) thoả mãn đánh giá: ||JV(ỉ,t)|| D K < +OC
Với t0 > 0 giả sử y(t0) = Vo khi đó nghiệm của (2.14) có dạng:
y(t) = X(t - t0)y0 + ụ. / X(t - s)'Y^Bk{s)y{s + Tk)ds
•'‘o fc=i
Mặt khác theo bổ đề 2 .24 ta có: X(t) = U(t) + V(t) và theo cách xác định của V(t) ta
chỉ ra được V (í — s) = X(t — t0)V (t0 — s )
Thật vậy:
V{t - s ) = PX(t -s) = PX{t - to)X(to - s)
= X (t — to)PX(to — s) = X(t — to)V{to ~ s)
Do đó với t > t0 chúng ta có:
fí 9
y(t) = X { t- t0)y0 + /i / U(t — s) Ỵ ' Bk(s)y(s + Tk)ds
^0 k= 1
+ w V(t - s ) Ỵ ^ B k(s)y(s + rk)ds
^ío Jt=i
=X(t - to)yữ + ỊJL Ị X ( t - t 0)V(t0- s ) ỵ / Bk(s)y{s + rk)ds
Jịữ fe=i
rt 9
+ /i / u(t — s) ỵ . B k{s)y(s + Tk)ds
Jtũ k=\
- ụ ị V{t - s ) ^ 2 Bk{s)y(s + Tk)ds
Jt k=i
Q ion to sao cho t0 > m ax (\rk\) = tj.
1 c k ũq
Đãt
/
+00 9
V(t0 - s) Bk{s)y{s + Tk)ds

V ớ i t > 2 í 0 ta có:
c
ll» (t) - x (t)ll t \ụ.\MK\\ya\\ [ V | | S t ( s ) ||d s
i= i
+ ImIM/CIIsdII / ' x ; l|B*(s)ll^
2 k=l
+ \fi\mK\\y0\\ í ||5 * (s )||đ s
^ k=i
\ n ị M K ị ị y „ ị \ Ị e - " i ^ | | B t ( s ) | M s
Jt° k= 1
+ WMA-Ịiv„|| / ' Ê i i a m i *
2 fc=l
+ l/xịm^llyoll [ J2||B fc(s)||ds
^ fc=i
^ Di + D 2 + D3
Hơn nữa với mọi e > 0. tồn tại số T đủ lớn sao cho với m ọi t > T ta có:
rị 9
ử , = MMKịịy,II / e - “ ỉ V ỊỊB i(s)||cis < I
•'‘ó fc=: Ổ
Í q
D 7 = \ụ.\MK\\y0\\ / 5 2 | | S fc(s )||d í
2 t /c=l
£ 3 = \n\mK\\y0\\ Ị 5 I | | B fc(5)||d.
Jt k= 1
te< 3
€
s < 3
Vậy với V/ > T ta đều có ||?/(£) - x ( í)|| < e hay lim ||y (t) — x ( í)|| — 0. Ngược lại nếu
í-*OC
chúng ta đật:

X"(t) + a2x(t) = 0 (2.17)
y"{t) + a7y(t) + — r) — 0 (2.18)
Với —h □ r _ 0
để nghiên cứu sự tương đương tiệm cận của hai phương trình nàv ta đưa về nghiên cứu hai
hệ phương trình sau:
* ỉơ ) = *2Ơ)
x'2{t) = -a2Xi(t)
y[{t) = V
2
ÌỈ)
y'2(t) = -a 2yi(t) - ỵ ị^ yi(t - r ).v ớ i - h é* T
(2.19)
(2.20)
Dễ dàng thấy rằng ma trận hẻ số A. B(t) tương ứng trong các hê phương trinh (2.19) và
DC
(2.20) thoả mãn các điều kiện ReX(A) — 0 và f I\B(t)\\dt = f < +OC- N ên áp dụng hệ
0
quả 2.26 ta có kết luận các hệ phương trình (2.19Ì và (2.20) là tương đương tiệm cận. váy
ta suy ra các phương trình (2 .17) và (2.18) là tương đương tiém cán.
20