ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Giảng viên hướng dẫn:
PGS.TS. Đặng Đình Châu

HÀ NỘI - 2015

luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân
có chậm. Phương pháp được sử dụng chủ yếu là các phương pháp thông dụng trong
lý thuyết định tính của phương trình vi phân tuyến tính. Trong phần cuối có áp dụng
thêm phương pháp nửa nhóm và phương pháp họ toán tử tiến hóa trong không gian
Banach.
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
• Chương 3: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm bị nhiễu.

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của
quý thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015
Học viên: Bùi Trọng Quy

2


Mục lục
1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

6

Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian
Banach và toán tử sinh của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
2.1

3

8

1.3

phân được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

6

15
17

Khái niệm về phương trình vi phân hàm và phương pháp tìm nghiệm
của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2



3.2

Các tính chất của họ toán tử tiến hóa U (t, s) . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

Sự tương đương tiệm cận của phương trình vi phân hàm bị nhiễu . . .

31

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

42

Tài liệu tham khảo

43

4


Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
X - Không gian Banach

∑ | ξ n |2

||ξ || =

n =1

.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1 này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả cơ bản được sử dụng
trong các chương sau. Các kết quả trong chương này không có chứng minh và được
trích dẫn trong các tài liệu [2],[4],[8], [10].

1.1

Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh
trong không gian Banach và toán tử sinh của nó

Định nghĩa 1.1. Họ các toán tử tuyến tính bị chặn ( T (t))t≥0 trên không gian Banach X
được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu nó thỏa mãn:
T (t + s) = T (t) T (s) với mọi t, s ≥ 0
T (0) = 1
và là liên tục mạnh. Tức là ánh xạ quỹ đạo ξ x : t → ξ x (t) = T (t) x là liên tục từ R+ vào X
với mọi x ∈ X.
Các tính chất trên thỏa mãn trên R thay vì R+ ta gọi ( T (t))t∈R là nhóm liên tục
mạnh trên X.

D ( A) := { x ∈ X : ξ x là khả vi}
Mệnh đề 1.3. Với toán tử sinh A : D ( A) ⊆ X → X của nửa nhóm ( T (t))t≥0 ta có các tính
chất sau đây:
(a) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ) x =

+∞ −λs
e
T (s) xds
0

tồn tại với mọi x ∈ X thì λ ∈ ρ( A) và

R(λ, A) = R(λ).
(b) Nếu Reλ > w thì λ ∈ ρ( A) và giải thức R(λ, A) xác định trong phần (a).
(c) R(λ, A) ≤
Khi đó R(λ, A) x

M
Reλ−w ∀ λ : Reλ > w.
+∞
= 0 e−λs T (s) xds gọi

là biểu diễn tích phân của giải thức.

Định lý 1.1. (Xem tài liệu [10])( Định lý Hille- Yosida về toán tử sinh)
Đối với toán tử ( A, D ( A)) trên không gian Banach X các tính chất sau là tương đương:
(a) (A,D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh.
(b) (A,D(A)) là đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > 0 ta có λ ∈ ρ( A) và
λR(λ, A) ≤ 1
7


∞
0

f (t)e− pt dt

được gọi là ảnh của f (t) qua phép biến đổi Laplace. Phép biến đổi
L : f (t) → F ( p)
được gọi là phép biến đổi Laplace. Ta kí hiệu:
F ( p) = L[ f (t)]
Giả sử f (t) là hàm gốc và
F ( p) =

+∞
0

8

f (t)e− pt dt


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.2. Giả sử f (t) là hàm gốc
1) Mọi hàm gốc f (t) đều có ảnh.
2) Ảnh F ( p) = L[ f (t)] là hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng Rep > α0 , trong đó α0 là
chỉ số tăng của hàm f (t).
Định lý 1.3. (Định lý chậm)
Nếu
L : f (t) → F ( p)
là phép biến đổi Laplace thì


L( f )(λ) =
0

tồn tại và giải tích trên miền Repλ > b.

9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chúng ta kí hiệu

(c)

1
= lim
T →∞ 2πi

c+iT

trong đó c là số thực.

,
c−iT

( Xem trang 313 tài liệu [2]).
Bổ đề 1.1. (Biến đổi Laplace ngược)
Giả sử f : [0, ∞) → R là hàm cho trước, b > 0 là một hằng số sao cho f có biến phân bị chặn
trên tập compact bất kì, t → f (t)e−bt là khả tích Lebesgue trên [0, ∞). Khi đó, với c > b bất
kì,


Bài toán với giá trị ban đầu (1.1) được gọi là bài toán tiến hóa. Giả sử u : [s, T ] → X
là hàm xác định trên J nhận giá trị trong không gian Banach X, khi đó ta nói u :

[s, T ] → X là nghiệm "cổ điển" của bài toán tiến hóa nếu u là hàm liên tục trên [s, T ],
u(t) ∈ D ( A(t))với s < t ≤ T và u là khả vi liên tục trên s < t ≤ T thỏa mãn phương
trình (1.1).
Việc nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán tiến hóa thường liên quan
đến phương trình Volterra. Xét phương trình Volterra có dạng:
t

x (t) = g(t) +
10

t0

A(τ ) x (τ )dτ

(1.2)


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với g(t) là hàm vectơ liên tục trên I và chỉ ra nó có một nghiệm liên tục trên đoạn

[ a, b] ⊂ I.
Bổ đề 1.2. Phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất xác định trên đoạn [ a; b] ∈ I. Nghiệm
này có thể biểu diễn dưới dạng:
t

x (t) = g(t) +


k =1

trong đó:
t

gk ( t ) =

t0

A(τ ) gk−1 (τ )dτ, g0 (t) = g(t)

Định lý 1.5. Cho X là không gian Banach và giả sử với mỗi t, 0 ≤ s < t ≤ T toán tử tuyến
tính A(t) bị chặn trên X. Khi đó nếu hàm t → A(t) là liên tục theo chuẩn toán tử thì với
mỗi x ∈ X bài toán giá trị ban dầu (1.1) có duy nhất một nghiệm cổ điển u.
Bây giờ ta xét bài toán giá trị ban đầu thuần nhất:
du(t)
dt

= A(t)u(t) với 0 ≤ s < t ≤ T
u(s) = x

(1.4)

Để thuận tiện cho việc trình bày chúng ta xét trường hợp đơn giản sau. Kí hiệu J =

[0, T ] Với mỗi t ∈ J trong không gian Banach X ta xét toán tử tuyến tính A(t) :
D ( A(t)) ⊂ X → X là bị chặn trong X, tức là A(t) ∈ L( X ) và hàm t → A(t) là liên
tục theo chuẩn toán tử. Trong trường hợp này ta có định lý sau.
Định lý 1.6. Cho X là không gian Banach và giả sử với mỗi t, 0 ≤ s < t ≤ T toán tử tuyến

Định lý 1.7. Họ toán tử tiến hóa U (t, s) tương ứng với phương trình (1.4) có các tính chất
sau đây:
a) U (t, t) = I.
b) U (t, r )U (r, s) = U (t, s) với 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T.
c) (t, s) → U (t, s) là liên tục theo tô pô đều với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
d) ||U (t, τ )||

exp[

t
τ || A ( τ )|| dτ ].( τ

t ).

e) ∂U (t, s)/∂t = A(t)U (t, s) với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
f) ∂U (t, s)/∂s = −U (t, s) A(s) với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Việc chứng minh các tính chất ta có thể xem trong [8] phần định lý 5.2 trang 128.
Định nghĩa 1.6. Một họ hai tham số của toán tử tuyến tính bị chặn U (t, s), 0 ≤ s ≤ t ≤ T
trên X gọi là một họ tiến hóa liên tục mạnh nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
(a) U (s, s) = I, U (t, r )U (r, s) = U (t, s) với 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T.
(b) (t, s) → U (t, s) là liên tục mạnh với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.

12


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.4
1.4.1



giá trị q0 được xác định bởi:
q0 = sup||U (t)||
t ≥0

Phương trình (1.5) được gọi là ổn định phải nếu tồn tại một hằng số N > 0 sao
cho mỗi nghiệm x (t) bất kỳ của phương trình thỏa mãn với mọi t ≥ s ≥ 0:

|| x (t)|| ≤ N || x (s)||
13

(1.7)


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Có thể chứng tỏ rằng tính ổn định phải đều tương đương với điều kiện sau:
N = sup ||U (t, s)||

(1.8)

t ≥ s ≥0

Giá trị của N là tốt nhất có thể đối với đánh giá (1.7).
Nhận xét 1.2. Giả sử A(t) = A là toán tử hằng. Trong trường hợp U (t, s) = e A(t−s) dễ
thấy điều kiện ổn định:
sup||e At || < ∞

(1.9)

t ≥0

Ta nói phương trình (1.5) là song ổn định trên nửa [0, ∞) nếu nó là vừa là ổn định trái
và vừa là ổn định phải. Hay phương trình (1.5) là song ổn định nếu và chỉ nếu:
sup {||U ±1 (t)||} < ∞

0≤ t < ∞

hoặc nếu và chỉ nếu:
sup {||U (t, s)||} < ∞

0≤s,t 0 sao cho nghiệm x (t) thỏa mãn đánh giá:

(0 ≤ s, t ≤ ∞)

|| x (t)|| ≤ q|| x (s)||

1.4.2

Các phương trình so sánh tích phân được

Giả sử trên nửa khoảng [0, ∞) chúng ta xét 2 phương trình:

Nếu phương trình (1.5) là ổn định trái thì nghiệm của các phương trình này sẽ tiến
tới 0 tại vô hạn hoặc đồng nhất bằng 0. Chúng ta nói các phương trình (1.12) là tương
đương tiệm cận nếu giữa các nghiệm của chúng có thể xác lập một ánh xạ đơn trị
x1 (t) ←→ x2 (t) sao cho:
lim [ x2 (t) − x1 (t)] = 0.

t→∞

Định lý 1.9. Giả sử các phương trình (1.12) là so sánh tích phân được và một trong số chúng
là song ổn định. Khi đó, chúng sẽ là tương đương tiệm cận, đồng thời giữa các nghiệm của
15


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
chúng có thể xác lập duy nhất một quan hệ đơn trị x1 (t) ←→ x2 (t) qua đánh giá sau:


∞

|| x2 (t) − x1 (t)|| = O 

|| A2 (s) − A1 (s)|| ds

(1.13)

t

Hơn nữa, giá trị ban đầu được thỏa mãn bởi các nghiệm tương ứng liên kết với toán tử khả
nghịch liên tục.


• CH = { ϕ ∈ C : || ϕ|| ≤ H, H > 0||}
• Giả sử x (u) là một hàm xác định với − h ≤ u < A( A > 0) và với bất kỳ t ∈

[−h, A] cố định ta kí hiệu xt là định nghĩa hạn chế của x (u) trên đơạn [t − h, t],
tức là xt là một phần tử của C xác định bởi:
x t ( θ ) = x ( t + θ ),

−h ≤ θ ≤ 0

.

Giả sử x (t) là đạo hàm phải của x (u) tại u = t và chúng ta xét phương trình vi
phân:
.

x (t) = f (t, xt )
17

(2.1)


Chương 2. Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
Ở đây f (t, Φ) ∈ Rn xác định trên Ω ⊂ [0, δ] × CH
f : [0, δ] × CH → Rn
Ta gọi phương trình (2.1) là phương trình vi phân hàm trên Ω.
Sau đây ta xét bài toán với giá trị ban đầu: Tìm nghiệm x (t) của phương trình vi phân
(2.1) thỏa mãn điều kiện cho trước: x (t) = ϕ(t),
Hoặc:

Hoặc:

Định nghĩa 2.1. Một hàm xt (t0 , ϕ) (hoặc x (t0 , ϕ)(t)) được gọi là nghiệm của phương trình
vi phân (2.1) với điều kiện ban đầu ϕ ∈ CH tại t = t0 , t ≥ 0 , nếu tồn tại số A > 0 sao cho
xt (t0 , ϕ) xác định trên [t0 − h, t0 + A] nhận giá trị trong Rn thỏa mãn các tính chất sau:
(i) xt (t0 , ϕ) ∈ CH với t0 ≤ t ≤ t0 + A
(ii) xt0 (t0 , ϕ) = ϕ
(iii) xt (t0 , ϕ) thỏa mãn phương trình (2.1) với t0 ≤ t < t0 + A.
Bằng cách sử dụng nguyên lí ánh xạ co (hoặc bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp)
ta có thể chứng minh các kết quả sau đây.
Bổ đề 2.1. (Tồn tại nghiệm) (Xem tài liệu [7])
Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f là hàm liên tục trên Ω. Nếu (t0 , ϕ) ∈ Ω, thì tồn tại
nghiệm của phương trình (2.1) đi qua (t0 , ϕ).
Chúng ta gọi f (t, φ) là Lipschitz với φ trong tập compact K của R × C nếu tồn tại số dương
k > 0 sao cho, với mỗi (t, φi ) ∈ K, i = 1, 2, ...

| f (t, φ1 ) − f (t, φ2 )| ≤ k |φ1 − φ2 |
Bổ đề 2.2. (Duy nhất nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f : Ω → Rn liên tục và
f (t, φ) là Lipschitz với φ trên mỗi tập compact trong Ω. Nếu (t0 , ϕ) ∈ Ω thì có duy nhất
nghiệm của phương trình (2.1) đi qua t0 , ϕ.
18


Chương 2. Phương trình vi phân tuyến tính có chậm

2.1.2

Phương pháp giải phương trình vi phân hàm

Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm (2.1) bằng hai phương
pháp là phương pháp từng bước và phương pháp toán tử Laplace.
(a) Phương pháp từng bước



x (t)

 x (t)

= ϕ (2) +

t≥1

t

6x (s − 1)ds,

1≤t≤2

1

= ϕ(t) 0 ≤ t ≤ 1

t

6x (s − 1)ds,
1

= 1 + 3( t − 1)2 ,

2≤t≤3

1≤t≤2

Sử dụng phép biến đổi Laplace (Xem mục 1.2)
x (t) → X ( p) =

∞
0

x (t)e− pt dt

Khi đó theo định lý về đạo hàm gốc ta có
x (t) → pX ( p)
và x (0) = ϕ(0) = 0
Theo định lý chậm ta có
x ( t − t 0 ) → e − t0 p X ( p )
Vậy nên
0

x ( t − 1) → e

−p

[

e

− pt

−1

1 − e− p 1
ϕ(t)dt + X ( p)] =


=−

e− p e−2p
e−kp
+ 2 + ... + k + ... +
p
p
p

e− p e−2p
e−kp
1+
+ 2 + ... + k + ...
p
p
p

∞ −kp
1
1
e
+
−
∑
2
3
k +2
p
p

t < 0.

Phương trình vi phân tuyến tính có chậm

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả đối với phương trình vi
phân hàm đơn giản nhất, nội dung của phần này được trích dẫn từ tài liệu [7].
Xét phương trình thuần nhất:
x˙ (t) = Ax (t) + Bx (t − r ),

( A, B ∈ R, x (t) ∈ R).

(2.2)

Sau đây chúng ta sẽ trình bày một vài kết quả về phương trình đặc trưng và nghiệm
cơ bản của phương trình (2.2). Trước hết chúng ta thấy rằng phương trình (2.2)
có nghiệm không tầm thường dạng eλt c khi và chỉ khi phương trình đặc trưng có
nghiệm.
de f

h(λ) := λ − A − Be−λr = 0.

(2.3)

Các bổ đề sau đây cho ta biết các dạng nghiệm của phương trình đặc trưng và các
nghiệm tương ứng của phương trình thuần nhất (2.2).
Bổ đề 2.3. (Xem tài liệu [7] trang 18)
a) Nếu tồn tại một dãy λ j của các nghiệm của phương trình (2.3) sao cho |λ j | → ∞ khi
j → ∞, thì Repλ j → −∞.
b) Vì vậy tồn tại một số thực α sao cho tất cả các nghiệm của (2.3) thỏa mãn Repλ < α và
chỉ có một số hữu hạn các nghiệm của (2.3) nằm trên trục thẳng đứng bất kỳ của mặt phẳng


(t − r )k và chú ý rằng các hệ số h j (λ), h(0) (λ)=h(λ) là đạo hàm của hàm h(λ) theo λ.
Nếu λ là không điểm của h(λ) bội m, thì h(λ) = h(1) (λ) = ... = h(m−1) (λ) = 0. Vì
vậy, x (t) = tk eλt là nghiệm của phương trình (2.3) với k = 0, 1, ..., m − 1. Định lý được
chứng minh.
Tiếp theo sử dụng phương pháp biến đổi Laplace ta có định lý sau mà kết quả của
nó cho ta công thức tìm nghiệm cơ bản của phương trình (2.2).
Định lý 2.2. Giả sử X (t) là nghiệm cơ bản của phương trình:

( A, B ∈ R, x (t) ∈ R)

x˙ (t) = Ax (t) + Bx (t − r )
thỏa mãn điều kiện:
X (t) =

0,
1,

t b ta có
X (t) =

(c)

eλt h−1 (λ)dλ,
22

0

X (t − r )e−λt dt

Từ định lý chậm ta có
∞
0

X (t)e

hay

∞
0

−λt

dt = AL( X )(λ) + Be

∞

−λr
0

X (t)e−λt dt

X (t)e−λt dt = AL( X )(λ) + Be−λr L( X )(λ)

Dùng công thức tích phân từng phần ta có:
∞

(c)

eλt h−1 (λ)dλ,

Định lý được chứng minh.
23

t>0