ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

ĐỖ THỊ HƯỜNG

VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA
CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

ĐỖ THỊ HƯỜNG

VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA
CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:


2.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân với dạng tam
giác trên trong tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Không gian L(H) và các khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh
và tôpô đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Khái niệm tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Sự rút gọn về phương trình dạng tam giác trên . . . . . . .
2.2.4 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân dạng tam
giác trên trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . .
2.3.1 Khái niệm hàm Lyapunov trong không gian Hilbert . . . .

1

5
5
10
11
11
11
15
19
20
23
23
23
25
29
29

(PTVP) trong không gian Hilbert có ý nghĩa hết sức quan trọng trong lý thuyết
định tính các phương trình vi phân và trong các bài toán ứng dụng (xem [3]).
Trong thời gian gần đây, lý thuyết PTVP trong không gian Banach nói chung
và PTVP trong không gian Hilbert được phát triển khá mạnh mẽ vì nó đáp ứng
được nhiều đòi hỏi đặt ra trong các mô hình ứng dụng . Đặc biệt là các bài toán
mô tả bằng toán học các hiện tượng chuyển động của vật thể, quá trình sinh
trưởng và phát triển của các loài sinh vật (xem[6]). Trong bản luận văn này,
tôi sẽ trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả liên quan tới sự tồn tại
nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu và tính chất nghiệm của
chúng . Phương pháp nghiên cứu cơ bản của tôi là sử dụng tính chất của toán
tử Volterra kết hợp với việc sử dụng chuẩn Bielecki trong không gian Hilbert để
nghiên cứu sự tồn tai duy nhất nghiệm của các PTVP ở dạng phương trình toán
tử trong không gian hàm . Để nghiên cứu tính chất nghiệm của PTVP trong
không gian Hilbert, tôi đã sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov
cho các PTVP dạng tam giác trên trong không gian Hilbert . Trong phần cuối
của luận văn, tôi đã trình bày lại phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu
tính ổn định của các PTVP phi tuyến và một số ví dụ ứng dụng .
Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: chương một trình bày dáng điệu
tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach, chương
hai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không
gian Hilbert và một số ví dụ áp dụng.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đặng
Đình Châu. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã
dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc
hoàn thành bản luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban lãnh đạo và các thầy cô
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về
3




 dx = f (t, x)
dt
(1.1)
 x(t ) = x
0

0

trong đó t ∈ [a; b], x : [a, b] → X là hàm (trừu tượng) phải tìm, hàm f : [a, b] × X →
X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz tức là tồn tại L : [a, b] → R+ khả tích địa
phương sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y||

(1.2)

Để chứng minh định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của (1.1) sau đây chúng
ta sẽ trình bày khái niệm toán tử Volterra và chuẩn Bielecki
Định nghĩa 1.1. Toán tử Volterra
Toán tử tích phân Volterra là toán tử V : C([a, b], X) → C([a, b], X) xác định bởi
t

V (x)(t) =

f (t, s, x(s))ds
a

Trong đó x ∈ C([a, b], X) là hàm trừu tượng cần tìm, V(x) là toán tử tích phân
Volterra
5


Khi đó , ta có toán tử Volterra V : C([a, b], X) → C([a, b], X)
Bổ đề 1.1. Trong không gian C([a, b], X) toán tử Volterra V : C([a, b], X) →
C([a, b], X) thỏa mãn điều kiện sau
1
||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ ||x(t) − y(t)||
p

trong đó t ∈ [a; b], p > 1
Chứng minh. Ta có
t

t

f (τ, y(τ ))dτ )||

f (τ, x(τ ))dτ − (x0 +

||V [x(t)] − V [y(t)]|| = ||x0 +

t0

t0
t

= ||

[f (τ, x(τ )) − f (τ, y(τ ))]dτ ||
t0



||

[f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s))]ds||

a≤t≤b
a
t

≤ sup e−p

t
a

L(s)ds

||f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s)||ds

a≤t≤b
a
t
−p

≤ sup e

t
a

L(s)ds


a

||x(s) − y(s)||]ds

a≤t≤b
a
t
−p

≤ ||x − y||B,p sup e

t
a

s

p

L(s)ds

L(s)e

L(u)du
a

ds

a≤t≤b
a


f (τ, x(τ ))dτ − x0 ||

||V [x(t)] − V [x0 ]|| = ||x0 +
t0
t

= ||

f (τ, x(τ ))dτ ||
t0

Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có
t

L(τ )||x(τ )||dτ

||V [x(t)] − V [x0 ]|| ≤
t0

Chọn α =

1
với sup |L(t)| ≤ L0 < +∞
L0
a≤t≤b

Do đó
||V (x) − V (y)||B,p = sup e−p

t


||f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s)||ds

a≤t≤b
a
t

≤ sup e−p

t
a

L(s)ds

L(s)||x(s) − y(s)||ds

a≤t≤b
a
t
−p

= sup e

t
a

s

p


p

L(s)ds

L(s)e

L(u)du
a

ds

a≤t≤b
a

1
≤ ||x − y||B,p
p

Nguyên lí ánh xạ co: Giả sử A : X → X hoặc A : S → S trong đó S =
{x/||x − x0 || ≤ β} thỏa mãn
||Ax − Ay|| ≤ L||x − y||
8


với 0 < L < 1. Khi đó, phương trình x˙ = Ax có nghiệm duy nhất
t

Ax(τ )dτ

x(t) = x0 +

a

a

1
ds =
p

s

p

d(e

L(u)du
a

)

a
s

1 p L(u)du
= e a
p

s=t

s=a



một miền mở trong X. Khi đó , phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất.
9


Chứng minh. Xét
V : C([t0 − h, t0 + h], G0 ) → C([t0 − h, t0 + h], G0 )

với h > 0 đủ nhỏ, (t0 , x0 ) ∈ G0 , G0 ⊂ G. Đặt V [x(t)] = x0 +

t

f (τ, x(τ ))dτ . Khi đó,

t0

ta có:
t

f (τ, x(τ ))dτ ||

||V [x(t)] − x0 || = ||
t0
t

||f (τ, x(τ ))||dτ ≤ |L(t)|||x(t)||.(t − t0 )

≤
t0


x(t0 ) = x0

hay
t

A(τ )x(τ )dτ

x(t) = x0 +
t0

Hệ quả 1.1. Giả sử A(t)x : [0; T ] −→ X là đo được mạnh và khả tích Bochner.
Khi đó, nghiệm của (1.5) là tồn tại duy nhất.
Chứng minh. Do giả thiết A(t)x : [0; T ] −→ X là đo được mạnh nên tồn tại K0 > 0
sao cho
T

||A(τ )||dτ ≤ K0 < +∞
0

10


Khi đó, áp dụng định lí (1.1) ta có điều cần chứng minh.
1.1.2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất

Trong X xét phương trình
x(t)
˙

t0

Xét phương trình
t

A(τ )x(τ )dτ

x(t) = g(t) +

(1.8)

t0

Hệ quả 1.2. Nghiệm của (1.8) tồn tại duy nhất trên đoạn [a, b]
Chứng minh. Đặt
t

V [x(t)] = g(t) +

A(τ )x(τ )dτ
t0

Khi đó, V [x(t)] là ánh xạ co, do đó theo nguyên lí ánh xạ co thì phương trình
x(t) = V [x(t)] có nghiệm duy nhất

1.2

Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương
trình vi phân tuyến tính có nhiễu


dx
= A(t)x + f (t), t ∈ R+
dt

(1.10)

Giả sử hàm x(t), A(t) ∈ L(X) nhận giá trị trong X với X là đo được mạnh và khả
tích Bochner trên tập con hữu hạn của R+ .
Nghiệm của phương trình tích phân
t

x(t) = x0 +

t

A(τ )x(τ )dτ +
t0

f (τ )dτ

(1.11)

t0

với x0 = x(t0 ) là nghiệm của (1.10).
Nếu f (t) liên tục và A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm của (1.11) là khả vi liên
tục tại mọi t ∈ I và thỏa mãn (1.10) với mọi t ∈ I .
Xét phương trình vi phân tổng quát
t


n=0

1. x(t) = V (t, s) là nghiệm của phương trình
t

x(t) = g(t) +

A(τ )x(τ )dτ
s

2. Nếu

sup
t0 ≤t1 ≤τ1

||A(t)|| ≤ M0 thì ta có:
||Vn|| ≤

t1

3. Nếu

M0n (t − t0 )n
n!

||A(t)||dt ≤ M1 thì ta có:

t0

M1n


Xét chuỗi
Ta có:

∞
n=0

Vn (t). Kí hiệu M0 =

sup

||A(t)|| < +∞.

s
t

V [x(t)] = g(t) +

A(τ )x(τ )dτ
s

2. Xét S (n) (t)x =

n

Vk (t)x.

k=0

Ta có:

t

Vn (t)x =

A(τ )Vn−1 (τ )xdτ
s
t

=

τ

A(τ )[g(τ ) +


A(t1 )Vn−2 (t1 )x.dt1

A(τ )A(t1 )Vn−2 (t1 )x.dt1 dτ
s

s

Khi đó, ta có: S (n) (t)x − S (n−1) (t)x = Vn (t) và
t

Vn (t) =

Vn−1 (τ )dτ
s
t

=

.....
s

Do đó
Mà

s

.....
s s



3. Ta có

t1

t0 ||A(t)||dt ≤ M1 nên theo cách chứng minh phần 2 ta có:



1 
||Vn || ≤
n!
1.2.2

t

s

n

M1n

||A(τ )||dτ
≤
n!

Họ toán tử tiến hóa và phương trình tiến hóa

Xét toán tử
t

A(τ )U(τ, s)dτ
s

∞

=

Un (t, s)
n=0

t

Ta có ||U(t, s)|| ≤ 1 + ||A(τ )||.||U(τ, s)||dτ . Sử dụng bổ đề Gronwall - Belman ta
được

s

||U(t, s)|| ≤ e

t
s

||A(τ )||dτ

Ta có thể dễ dàng kiểm tra toán tử U(t) được định nghĩa ở trên là liên tục
trong L(X) khả vi hầu khắp nơi , thỏa mãn phương trình

 dU = A(t)U
dt
(1.14)


(1.17)

k=0

với Zn (t) =

t

t

U(t)Zn−1 (τ )dτ =

A(τ )Zn−1 (τ ) − Zn−1 (τ )B(τ )dτ và Z(t) là hàm

t0

t0

vector liên tục theo chuẩn toán tử.
Từ đẳng thức (1.15) cho A = 0 , ta có phương trình
dZ
= −ZB(t)
dt

(1.18)

Trong trường hợp đặc biệt, ta có phương trình
dV
= −V B(t)

dt
Z2 (t0 ) = I

có nghiệm duy nhất thỏa mãn Z2 (t) ≡ I
Ta xét bài toán Cauchy của phương trình vi phân không thuần nhất

 dx = A(t)x + f (t)
dt

 x(t ) = x
0
0

(1.20)

Ta sẽ đi tìm nghiệm của bài toán Cauchy, sự tồn tại và tính duy nhất của nó
dưới dạng x = U(t)y , trong đó U(t) là hàm toán tử (1.13).
Xét hệ phương trình

 dy = U −1 (t)x + f (t)
dt
(1.21)
 y(t ) = x
0

0

16




 X = A(t)X

(1.23)

dt

 X(τ ) = I

Việc xây dựng toán tử U(t) không phụ thuộc vào việc chọn giá trị t0 . Ta kí hiệu
U(t) = U(t, 0) là toán tử Cauchy. Khi đó, sử dụng toán tử tiến hóa nghiệm của
bài toán Cauchy cho phương trình thuần nhất
dưới dạng

dx
= A(t)x, x(τ ) = xτ có thể viết
dt

x(t) = U(t, τ )xτ

và nghiệm của phương trình không thuần nhất là
t

U(t)U(t, τ )f (τ )dτ

x(t) = U(t, t0 )x0 +

(1.24)

t0

Khi đó, U(t, τ ) có thể viết dưới dạng
t

U(t, τ ) = I +

[dF (θ)]U(θ, τ )
τ

với F (t) =

A(t)dt
t

U(t, τ ) = I +

[S1 (θ)dF (θ)S2 (θ)]U(θ, τ )

(1.26)

τ

Ở đó Sk (θ)(k = 1, 2) là các hàm toán tử liên tục. F (θ) bị chặn.
Nghiệm của phương trình (1.26) có thể viết dưới dạng
t

U(t, τ ) =

exp[S1 (θ)dF (θ)S2 (θ)]

(1.27)

(1.29)


có thể viết dưới dạng
t

X(t) = U(t, t0 )X(t0 ) +

U(t, τ )F (τ )dτ
t0

(1.30)

t

UA (t, τ )F (τ )UB (τ, t)dτ

= UA (t, t0 )X(t0 )UB (t0 , t) +
t0

Trong trường hợp riêng, kết hợp phương trình (1.14) và (1.19) ta được
t

F (τ )UA (τ, t)dτ

X(t) = X(t0 )UA (t0 , t) +

(1.31)

t0

dt



s=1

ujk (τ, τ ) = δjk

Nghiệm tổng quát của (1.17) là:
n

ujk (t, τ )xk (τ )

xj (t) =
k=1

Nghiệm của hệ phương trình không thuần nhất
dxj
=
dt

n

ajk (t)xk + fj (t), (j = 1, 2, ..., n)
k=1

được cho bởi công thức
n

n


Ta nói 2 phương trình này có thể so sánh tích phân được nếu :
∞

|||A2 − A1 ||| =

||A2 (t) − A1 (t)||dt < ∞
0

Ta có A2 (t) = A1 (t) + [A2 (t) − A1 (t)] .
Ký hiệu B(t) = A2 (t) − A1 (t).
Xét phương trình
x(t)
˙
= A(t)x

(1.35)

y(t)
˙ = A(t)x + B(t)x

(1.36)

và
Trong đó t ∈ R+ , x : R+ → X, A(t), B(t) ∈ L(X) thỏa mãn điều kiện đo được
mạnh và khả tích theo Bochner.
Kí hiệu U(t, t0 ) : X → X là toán tử được xác định bởi :
t

A(τ )U(τ, t0 )x0 dτ

t

V1 (t)x =

U(t, τ )B(τ )V0 (τ )xdτ
s
t

V2 (t)x =

U(t, τ )B(τ )V1 (τ )xdτ
s

.............
t

Vn (t)x =

U(t, τ )B(τ )Vn−1 (τ )xdτ
s

Bổ đề 1.4. Chuỗi

∞

Vn (t) hội tụ tuyệt đối trên [s; t0 ] trong đó t0 ∈ R+

n=0

Chứng minh. Lấy τ ∈ R+ . Kí hiệu ∆τ0 = (t; s)/t, s ∈ R+ ; 0 ≤ s ≤ t ≤ τ0 .

n=0
||Vn(t)|| ≤ M0n+1 .bn0

21


Kí hiệu W (t, s) =

∞

Vn (t; s)
n=0

Bổ đề 1.5. Phương trình
t

W (t, t0 )y0 = U(t, t0 )y0 +

U(t, τ )B(τ )W (τ, t0 )y0 dτ
t0

có nghiệm duy nhất là y(t) = W (t, t0 )y0
Chứng minh: Tính duy nhất nghiệm được suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.1 và 1.3
Nhận xét 1.1. W (t; s) : X → X với (t; s) ∈ ∆τ0 là họ các toán tử bị chặn mũ
thỏa mãn các điều kiện của định lí 1.3

22


Chương 2

dạng hệ vô hạn các PTVP như sau

dx1


= f1 (t, x1 , x2 , ....)


dt


dx2



 dt = f2 (t, x1 , x2 , ....)
(2.2)
...........



dxn


= fn (t, x1 , x2 , ....)


dt

