sở giáo dục và đào tạo hà nội

Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều
-----------------------------------------------------------------------------

Sáng kiến kinh nghiệm:

Một số dạng bất ph-ơng trình
chứa căn thức bậc hai th-ờng gặp

Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn
Tổ

: Toán

Hà Nội, 5 / 2010


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

mở đầu
Giải bất ph-ơng trình là bài toán khó với nhiều học sinh kể cả học sinh
đ-ợc cho là khá giỏi; trong đó có bất ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai đ-ợc
coi là khó hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: Một số dạng bất ph-ơng trình chứa
căn thức bậc hai th-ờng gặp để làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích
mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh hiểu rõ hơn về mảng bất
ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai nói riêng và bất ph-ơng trình nói chung,
đồng thời cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm
đến môn toán.
Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong
ch-ơng trình Toán Đại số lớp 10 ban Cơ bản, ban Khoa học tự nhiên, ban

f(x) > g(x)
f(x) > g(x)
f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)

Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)

x2 3x 2 2x 2 5x 2

(1)

2)

2x 2 10x 8 x 2 5x 36

(2)

3)

x 3 8 2x 2 5x 14

(3)

Giải:
x 2
x

2



 x  4
2
2
x

10
x

8

x

5
x

36

 x 2  15 x  44  0

( 2)

 x  9

 x  4

  x  4

  x  11



x  2
 2
x  x  6  0
 2x3

KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S =  2 ; 3 .

Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)

x 2  3x  4 

2x2  x  5

2)

2 x 2  9 x  13 

3)

2 x2  9 x  4 

4)

2 x 2  12 x  16  x 2  3x  28

5)



Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)

x 2  8x  7 + 3x  1

(1)

2) 2 9  8x  x 2 + 1 < 9x
3)

1

(2)

1

 
3
x


4

  x  1

 x  1

KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S =   ;  1 .
9  8 x  x 2  0

 9 x  1  0
4(9  8 x  x 2 )  (9 x  1) 2


(2)

2)  2 9  8x  x2 < 9x  1

H4


NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu

1  x  9


(3) 
1

3)  1   0
x

1

1  x  4


x  0

x  1

0
x

 3x  1
 x  0

 x  0

1

 x  1
x

  x  0



2x 4  5x 2  3 + 1 < x2.
H5


NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu

D¹ng 3
 g(x)  0

f(x)  0
f(x) > g(x)  
 g(x)  0

2
 f(x)  g (x)
 g(x)  0

f(x)  0
f(x)  g(x)  
 g(x)  0

2
 f(x)  g (x)

Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)

3x 2  10x  3  x  1


 3x 2  10x  3   x  12

 x  1
 2
4x  8x  4  0

 x  1

2
4(x  1)  0

 x  1
 x 1

x  1
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S =  1 .

(2)

2)  4x  x2  3x  4

 3x  4  0

2
4x  x  0


3x  4  0


 10x  28x  16  0

4

0

x


3

4
   x 

3

 4  x  2
  5

4

0

x


3

4  x  2
 3


x 2  5x  4  2  3x

3)

x 2  4x  5  x  11

4)

x 4  x2  1  x  1

5)

x 4  x 2  1  1  2x

6)

2x 4  5x 2  2  2x 2  1.

H7


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Dạng 4
f (x) g(x) p(x) q(x)

hoặc:

f (x) g(x) p(x) q(x)

Giải:
1) Điều kiện: 0 x
(1)





7
3

x 2 5 2x


2



2x 7 3x



2

x 2 5 2x 2 x 2. 5 2x 2x 7 3x 2 2x. 7 3x
2 (x 2)(5 2x) 2 2x(7 3x)

2x 2 x 10 6x 2 14x

2x 2 x 10 6x 2 14 x

2

3 3x 2x 5



2

x 3 5 2x 2 3 x. 5 2x 3 3x 2x 5 2 3 3x. 2x 5

2 (3 x)(5 2x) 2 (3 3x)(2x 5)

2x 2 x 15 6x 2 9x 15
2x2 x 15 6x2 9x 15
4x2 8x 0

x 0

x 2
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là
5

S = ; 2 0 ; 1.
2


3) Điều kiện: 1 x

4
3

x 1; thoả mãn điều kiện
4
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là


1
S = ; 1 .
4

Bài tập t-ơng tự. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)

x 1 3x 1 2x 1 2x 1
H9


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

2)

x 1 3x 1 2x 1 2x 1

3)

2x 1 2x 2 x 1 3x 2

4)

x 1 3x 2 2x 1 2x 2



Giải:
1)

Đặt: t =

(x 1)(x 2) ;

t 0

t 2 x2 x 2 x2 x t 2 2
(1)
t 2
t t2 2 8 0 t2 t 6 0
t 3 (loại)

Vậy:

x 3
(x 1)(x 2) 2 x 2 x 2 4 x 2 x 6 0
x 2

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S = ; 2 3 ; .
H 10


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Đặt: t = 6x2 18x 12 ;

x 2 3x 2 0

2
x 3x 2 6


x 2

x 1
2
x 3x 4 0

x 2

x 1
1 x 4


1 x 1

2 x 4

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là
S = 1 ; 1 2 ; 4 .
Đặt: t = x2 2x 10 ;

3)

t 3



0t 3

x2 2x 8 t 2
H 11


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
(*)

8 t2 t m

t 2 t 8 m (**)

(**)

a) m = 2, t 2 t 8 2 t 2 t 6 0 2 t 3
Vậy:

x2 2x 8 3 9 (x 1)2 3; nghiệm đúng x [4 ; 2].

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (*) là
S = [4 ; 2].
b) Bất ph-ơng trình (*) có nghiệm bất ph-ơng trình (**) có nghiệm t thoả
mãn: 0 t 3
Gọi f(t) = t 2 t 8;

0t 3

Bảng biến thiên:


33
33
m m
4
4

33
, bất ph-ơng trình (*) có nghiệm.
4

c) Bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng x 4 ; 2 bất ph-ơng trình (**)
nghiệm đúng t [0 ; 3].
Theo kết quả phần trên, có: 2 m m 2.
Kết luận: m 2, bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng x 4 ; 2 .

Bài toán 3. Cho bất ph-ơng trình:
2 (x 1)(x 7) 25 6x x2 m

a) Giải bất ph-ơng trình (1) với m = 3.
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.
H 12

(1)


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Giải:


Bảng biến thiên:
t

-

1

3

+

f(t)

+

15
f(t) 15 ;

t 3.

Do bất ph-ơng trình (2) có nghiệm 15 m m 15
Kết luận: m 15, bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.

Bài tập t-ơng tự.
Bài 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1) x 2 12x 8 (x 2)(x 14) < 16
2) (x 1)(x 9) 4 10 x 2 10x 11
H 13



b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm.

H 14


NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu

D¹ng 6
f (x) +

g(x) >

hoặc:

h(x)

f (x) +

g(x) ≥

h(x)

Phương pháp:
f (x)  0

Điều kiện: g(x)  0
h(x)  0


Dạng này có thể còn những cách giải khác, xong ở đây xin giới thiệu

x2

(2)

2x 2  x  1

(3)

x 2  4x  3 ≥

x 2  5x  4

(4)

Giải:
1) Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 5
(1)

 5x +

2x  2 

x 1 ≥



5  x  x 1

 
2

x6


H 15



1 x  x  2

 
2

6x



2


NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu

 x + 1 + x − 2 + 2 1 x . x  2 < 6 + x
 2 (x  1)(x  2) < x + 6 − 2x + 1
 2 x2  x  2 < 7 − x
7  x  0

 x  2
4(x 2  x  2)  (7  x) 2




0
2x  2x  2x  2x  2  > 0
2x 2  2x

2

2

2

2

 2x 2  2x  2



 x 2  3x  2  0

4) Điều kiện:  x 2  4x  3  0
 x 2  5x  4  0


(4)

(x  1)(x  2) +



(x  1)(x  3) ≥

x  4

x  1

(x  1)(x  4)

+) Trường hợp 1: x ≥ 4
(4)

x2 +



x 3 ≥



 2 − x + 3 − x + 2 2x

4x



2

3 x ≥ 4 − x

 2 2  x . 3  x ≥ 4 − x + 2x − 5
 2 2  x . 3  x ≥ x − 1; nghiệm đúng  x < 1
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (4) là
S = (−  ; 1]  [4 ; +  ).

Bài tập tương tự. Giải các bất phương trình sau:
1)

3x  3 +

5x < 2 x

2)

2x ≥

7x −

3)

x 3


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

7)

2x +

x 3 > 11 x x 2

8)

x2 1 +

x 2 3x 2

9)

x 2 3x 2 >

10)

x2 1 +

x 2 8x 7

x 2 4x 3 +

x 2 5x 4


Chú ý: Dạng này nếu là ph-ơng trình, ta còn có cách giải khác là đ-a về hệ
ph-ơng trình để giải.

Bài toán 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)

x 1 4 x 1 2 4 3x x 2

(1)

2)

2x 1 9 16x 4x 2 9 2x 5

(2)

3) x + 10 x 2 x. 10 x 2 7

(3)

4) x

(4)

5 x 2 x. 5 x 2 1

Giải:
1) Điều kiện: 1 x 4
Đặt: t = 1 x 4 x;

1 x 4 x 2 4 3x x 2 9

2 4 3x x 2 4 4 3x x 2 4
x 2 3x 0

0 x 3; thoả mãn điều kiện

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S = (0 ; 3).
2) Điều kiện:

1
9
x
2
2

Đặt: t =

2x 1 9 2x;

10 t 10

t 2 2x 1 9 2x 2 2x 1. 9 2x
t 2 10 2 9 16x 4x 2
10 t 2
9 16x 4x
2
2



2

4

H 19


2x 1 9 2x

2

10 2 9 16x 4x 4