40 BÀI TẬP PHƢƠNG TRINH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
1. Giải phương trình  9 x  2.3x  3 log3  x  1  log 1 27  .9
2
3

3




x 1
2

 9x

.

ĐK: x > 1
Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương

3

2x



 2.3x  3 log3  x  1  3  2.3x  32 x





log3 x

)

10 - 1

2x
.
3

=

ĐK: x > 0
Ta có phương trình tương đương với:
√

Đặt t =

-

√

√

(

log3 x

)


1+

10

ta giải ra được x = 3.
3
vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


iải phương trình au : log (4 x2  8x  4)  log x  2 x2  4 x  2 .

3.

2

2

 Đi u iện : x  0 .
log 2 (4 x 2  8 x  4)  log 2 x  2 x 2  4 x  2 (*)

4
 log 2 (4 x   8)  4  2(1  x) 2
x
4
4
4

2
2
 3.9x 3 x1  6x 3 x1  2.4x 3 x 1
2

2

2

Chia 2 vế phương trình cho 4

3
 
2

Đặt t

x 2 3 x 1

x 2 3 x 1

2

2

6 x  21

 6x

2


t  1
Ta được: 3t  t  2  0   2
t 
 3

l 

2

2
, ta được : x 2  3x  2  0  x = 1  x = 2.
3
Tập nghiệm của phương trình là S  2 ;1
Với t 

5. Giải phương trình: 1  log 9 x  3 log 9 x  log 3 x  1
Đi u iện ác định: ≥
1  log 9 x  3 log 9 x  log 3 x  1  1  log 9 x  3 log 9 x  2 log 9 x  1









 1  2 log 9 x  2 log 9 x  1 1  log 9 x  3 log 9 x  2 log 9 x  1 1  log 9 x  3 log 9 x  1  0
 2 log 9 x  1 vì: 1  log 9 x  3 log 9 x  1  0

6

2

Thay lại ta có tập nghiệm S

[0; ]

2
3
3
7. Giải bất phương trình : 6log4 (2 x  3)  2log2 ( x  1)  log 2 (2 x  1) .


1
2 x  3  0
x  2

ĐK:  x  1  0  
2 x  1  0
x  3

2

Ta có:
6log 4 (2 x  3) 2  2log 2 ( x  1)3  log 2 (2 x  1)3
 6log 2 2 x  3  6log 2 ( x  1)  6log 2 (2 x  1)
 2 x  3 ( x  1)  2 x  1

TH1:

3
2

x  2
(1)  (2 x  3)( x  1)  2 x  1  2 x  3x  2  0  
1
x  
2

2

3
2

Kết hợp với đi u iện x   x  2

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


 1 1  33 
  2;  
2
4



KL: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T   ;
8. Giải phương trình log 2 x  2  log 1 x  5  log 2 8  0 .

3  17
Vậy phương trình có bốn nghiệm là x  3 , x  6 , x 
.
2

9. Giải phương trình log4 ( x  3)  log 2 x 1  2  3log 4 2 .
Đ

đ: x  1

1
1
1
log 2 ( x  3)  log 2 ( x  1)  2  log 2 8
2
2
2
x3
 log 2 ( x  3)  log 2 ( x  1)  4  log 2 8  log 2
 log 2 2
x 1
x3

 2  x  3  2x  2  x  5 thỏa mãn
x 1
Vậy phương trình có nghiệm là x  5 .
Phương trình 

10. Giải phương trình:


  x  3 x  1  4 x
  x  3 x  1  4 x  
   x  3 x  1  4 x

 x2  2 x  3  0
 2
 x  6x  3  0
 x  1 loaïi 

x3
x3




x  3  2 3
 x  3  2 3

 x  3  2 3  loaïi 
Tập nghiệm của phƣơng trình





S  3; 3  2 3

11. Giải bất phương trình au ( 10  1)log x  ( 10  1)log x 
3


t
Bất phương trình
trở thành:
1 2
1  10
Vì t  0 )
t    3t 2  2t  3  0  t 
t 3
3
Từ đó ta có: log3 x  1  x  3 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  3; )

12.Giải bất phương trình

log3 ( x  1)2  log 4 ( x  1)3
0
x2  5x  6

x   1
Đ : 
x  6

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


3log3 ( x  1)
log3 4
0

2

x

ĐK : x > 0
PT đã cho tương đương với : log5( x + 3) = log2x (1)
Đặt t log2x, suy ra x = 2t
t

t

2
1
pt  log5  2  3  t  2  3  5     3    1 (2)
5
5
t

t

t

2
1
Xét hàm ố : f(t) =    3  
5
5
t

t

1
1
log3  x 2  5 x  6   log31  x  2   log31  x  3
2
2
2
1
1
1
 log3  x 2  5 x  6   log3  x  2    log3  x  3
2
2
2
 log3  x  2  x  3  log3  x  2   log3  x  3

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


 x2
 log3  x  2  x  3   log 3 
 (Do x  3  x  2  0 ).
 x3
x2
  x  2  x  3 
x3
 x   10
 x 2  9  1(  
 x  10

1

f '( x)  3x ln 3  0  f ( x) là hàm luôn đồng biến trên  ;  .
2

1
4

g '( x) 
 0  g ( x) là hàm luôn nghịch biến trên  ;  .
2
2

 2 x  1

1

Suy ra phương trình 2 có nghiệm duy nhất trên  ;  Ta thấy: x  1 là nghiệm duy nhất của
2

1

phương trình
trên  ;  .
2

1

+ Xét trên hoảng  ;   , ta có:
2

Vậy phương trình
có hai nghiệm x  1 .

16.Giải phương trình: ( x 1) log7 3  log7 (3x1  3)  log7 (11.3x  9)
>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


x 1

9
9
3  3  0
Đi u iện: 
 3x   x  log3
x
11
11

11.3  9  0
Khi đó phương trình tương đương với:

log 7 3x 1  log 7 (3x 1  3)  log 7 (11.3x  9)
 3x 1 (3x 1  3)  11.3x  9
 32 x  10.3x  9  0

3 x  1
x  0
thỏa mãn

4  t  0
t  4
t  4
t  4

 4 2


 2  t  4.
4
2
3
2
20  t  (4  t )
t  t  8t  4  0 (t  2)(t  2t  5t  2)  0 t  2  0

Suy ra 4 18  x  2  x  2.
Kết hợp với đi u iện, ta có nghiệm của bất phương trình là  2  x  2.



18.Giải phương trình: 3  7
Chia hai vế cho

 2

3 7 
Đặt t  

2 

3 7 


2 


.

x2 2 x

 24

x2 2 x
2
(t  0) ta được t  16t  1  0

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


2

3 7 
t  8  63  

2




2
 x  2   0
Biến đổi pt đã cho ta được:
log3

x

2

 4

 x  2

2

2

 3 log3  x  2   4  0  log 3  x  2   3 log 3  x  2   4  0
2

Đặt t  log3  x  2 

2

(3)

t  1
3 trở thành t 2  3t  4  0  
t  4  Loai 
 x  2  3 (loai)

3 x  3  0

x
4  2  0
x  1

x  2
Vậy PT có hai nghiệm

x  1, x  2

21. iải bất phương trình : 5.36x  2.81x  3.16x  0

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


Chia cả 2 vế của bất phương trình cho 8
x
x
 36 
 16 
5   2  3   0
 81 
 81 
x

x


1

x
9 3


Suy ra

2
 4 x



x

0
   1

 9 
3
22. iải bất phương trình : log 2 x  2log 2 x.log 2 4 x  log 1 x  6  0
2

ĐK: >0

log 32 x  2 log 2 x.log 2 4 x  log 1 x  6  0
2

 log x  2 log 2 x(log 2 x  2)  log 2 x  6  0
3

Đặt
t  log8 (3  x)  log 27 (1  2 x), (*)

3  x  8t

 2.8t  27t  7
t
1  2 x  27
Xét hàm ố f (t )  2.8t  27t

1

Với f '(t )  2.8t ln8  27t ln 27  0, t 
Nên f (t ) là hàm ố đồng biến trên phương trình
1
1
Mặt hác: f ( )  7  f (t )  t 
3
3
1
Thay t  vào
ta được x  1 thoả mãn đi u kiện.
3
Vậy, x  1 là nghiệm của phương trình

có nghiệm duy nhất

24.Giải bất phương trình log 2  3x  1  6  1  log 2  7  10  x 
1
ĐK :   x  10


3

2

4  x  log8  x  4  (1)
3

2

4  x  4
x  1

1  log2

x  1  2  log 2  4  x   log 2  x  4 

 4  x  1  16  x 2
 4 x  1  16  x  
2
 4  x  1  x  16
2

 x  2
  x  6
 x  4 x  12  0
x  2

 2



0


log 2 ( x2  3x  2)  log 2 (x 2  5 x  6)  2  log 2 3
 log 2 ( x2  3x  2)( x 2  5x  6)   log 2 12

 ( x 2  3x  2)(x 2  5 x  6)  12
 (x  2)(x  1)(x  2)(x  3)  12
 (x 2  x  6)( x 2  x  2)  12

Đặt t  x2  x  4 phương trình

trở thành (t  2)(t  2)  12

t4
 t 2  4  12  t 2  16  
t  4

1  33
(t / m)
x 
2
2
2
Với t  4 thì x  x  4  4  x  x  8  0  

1  33
(t / m)
x 

4

24 x x

Đặt t  3

4

4

x x)

 2m.32

4

x x

 2m  3  0

ĐK: 0  t  3

Bài toán tương đương là tìm m để: m 

t 2  3
với mọi t, 0  t  3
2(t  1)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!


2
Với đi u iện () phương trình tương đương với
log 2 2 log 2 4
log 2 8
1
2
3





log 2 x log 2 2 x log 2 2 x
log 2 x 1  log 2 x 1 1  log x

2 
2



1
2
6
1
4
 1  log 2 x  4log 2 x





 3.2

x 2 1

2

x2

 3 5 
 3 5 
 
  5 
  6;
 2 
 2 

 3  5  3  5 


  1

 2  2 

x2

 3 5 
5
Đặt t  
  0.Pt  t   6
t


13


30.Giải bất phương trình:

log 22 x  log 2 x 2  3  5 (log 4 x 2  3)

x  0
ĐK:  2
2
log 2 x  log 2 x  3  0
log 22 x  log 2 x 2  3  5 (log 2 x  3)

Bất phương trình đã cho tương đương với

(1)

Đặt t = log2x,
BPT (1)  t 2  2t  3  5 (t  3)  (t  3)(t  1)  5 (t  3)

  t  1 t  3  0
t  1

t

3

0



x

ĐK x  0

1

Ta có: x  6.15log3

 3log3 x  6



x

3. 5

 5log3 (3 x )  0  3log3 x  6.15 2



log3 x

Chia cả hai vế của (1) cho 5
log3 x

log3 x

 5.5log3 x  0


Với t  1  

 5

log3 x

 3
Với t  5  

 5

 1  log 3 x  0  x  1
log3 x

 5  log3 x  log


Vậy nghiệm BPT là x   0;9


5 x9
3

log 3 5
5

5
log 3 5
5


+ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  16;   .

33.Giải bất phương trình: log2  x2  x  2  log0,5  x  1  1 .
 x  2
 x2  x  2  0

Đi u iện: 
   x  1  x  2
x 1  0
x  1

2
log 2  x  x  2   log0,5 ( x  1)  1  log 2  x 2  x  2    log 2 ( x  1)  1
 log 2

 x

2





 x  2  x  1  1

  x 2  x  2   x  1  2  x( x 2  2 x  1)  0  x2  2 x  1  0

Vì theo đi u iện x  2 )
x  1 2



2

2

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

15


Xét hàm f ( t )  log 4 t  2t trên ( 0;  ) ; f '( t ) 

 f ( t ) đồng biến trên ( 0;  ) .

1

 2  0,t  0 .

t ln 4

f ( 2x  4x  4 )  f ( x  x  2 ) và 2x  4x  4  0; x  x  2  0

PT trở thành

2

2

2



2x 1  x 1



2

 5x  10  2 x 2  3x  1  x  4

x  4  0
 x  4
 2
 2
2
2 x  3x  1  x  8 x  16
 x  5 x  15  0
 x  4

  x  5  85 (tm)
5  85
 
. Vậy phương trình có nghiệm x 
2

2

  x  5  85 (loai )
 
2







Đi u iện: x  log5 7

PT  5









2 5x  24

5

2 5x  24

 2  5x  24   52.5
 2  5x  24 


5

x

16


Phương trình (*)  2.5  48  2.5  2 5
x

x

2x

 49

 52 x  49  24  25x  625  x  2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x  2
2 log 1 (4  x)

37.Giải phương trình log 3 x 6 

4

log 2 (3  x)

1

2 log 1 (4  x)
log 3 x 6 

4
1
log 2 (3  x)

 x  log 2 6
  x  1

 x  2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: T  log 2 6; 1;2

39.Giải phương trình : 2  5x  24  5x  7  5 

2 5x  24

iải phương trình :

2  5x  24   5x  7  5



2 5x  24





5 

 5x  7  25

5 

 5x  7  25



 2  5  24 

2 5x  24

5

2 5x  24

x


5

x

 2 5x  7. 5x  7

5x  7  5x  7



2



 5x  7  5x  7




log 2 (3  x)

1

2 log 1 (4  x)
log 3 x 6 

1
log 2 (3  x)
 3  x  4
Điều kiện: 
 x  2
Phƣơng trình  log 3 x 6. log 2 (3  x)  log 2 (4  x)  log 2 (3  x)
4

 log 2 6  log 2 (4  x)  log 2 (3  x)
 log 2 6  log 2 (4  x)(3  x)
 6  (4  x)(3  x)  x 2  x  6  0
 x  2(l )
vậy phương trình có nghiệm duy nhất

 x  3(tm )

3

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

18