I.ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn đề tài:
Bồi dưỡng nhân tài, phát triển nguồn nhân lực là nhiệm vụ vô cùng quan
trọng mà Đảng và Nhà nước giao cho ngành Giáo dục. Vì lẽ đó Bộ Giáo dục &
Đào Tạo nói chung, các trường THPT nói riêng luôn quan tâm đến việc phát
hiện, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Trong những năm gần đây số lượng và chất
lượng giải trong các kì thi học sinh giỏi ngày càng tăng chính là kết quả của sự
đầu tư, quan tâm của các cấp quản lí giáo dục. Đối với môn Toán, một trong
những môn học quan trọng nhất thì việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi càng được
xem trọng hơn.
Chủ đề “Bất đẳng thức” là nội dung không thể thiếu trong việc bồi dưỡng
học sinh khá, giỏi. Trong các kì thì Đại học – Cao Đẳng, nội dung bất đẳng thức
thường là nội dung giúp phân loại, chọn lựa học sinh khá, giỏi. Đối với hầu hết
giáo viên và học sinh THPT đều xem “Bất đẳng thức” là nội dung khó dạy, khó
học nhất. Tuy nhiên nếu học sinh học tốt chủ đề “Bất đẳng thức” thì sẽ phát huy
tốt khả năng tư duy sáng tạo từ đó học tốt các chủ đề khác, môn học khác. Thực
tiễn qua quá trình dạy học tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh không thích học chủ
đề “Bất đẳng thức” chủ yếu do chưa có phương pháp học tập phù hợp cộng với
tâm lý ngại và sợ học nội dung này.
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong những bất đẳng thức kinh điển của
Toán học. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki là một công cụ rất hay, hữu hiệu
để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến bất đẳng thức. Học sinh THPT thường
yếu ở kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nên việc tăng cường rèn
luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức này cho học sinh là việc làm rất thiết thực.
Những lí do nêu trên cùng với những kết quả tích cực từ thực tiễn dạy học chủ
đề “Bất đẳng thức” của bản thân là cơ sở để tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:
“Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki trong bồi dưỡng
học sinh khá, giỏi THPT”
.

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

(ab + cd ) 2 ≤ ( a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )
Dấu “=” xảy ra khi ad = bc
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dãy số không âm.
Cho hai dãy số thực a1,a2,…an và b1,b2,…bn. khi đó ta có:
(a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 ≤ (a12 +a22 + …+ an2)(b12 +b22 + …+bn2) (2)
a

a

a

n
1
2
Dấu bằng xẩy ra ⇔ b = b = ... = b (với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0).
1
2
n

c. Bất đẳng thức Bunhiacovski mở rộng:
Cho m dãy số thực, trong mỗi dãy có n phần tử:

a , a ,..........., a 
b , b ,............, b 
1

2

n



m

m

1

2

m

+ ... + cn

)

(3)

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:
a1: b1:…:c1 = a2: b2:…: c2 =…= an: bn:…: cn
Nhận xét: Bằng cách cho m;n một giá trị cụ thể ta thu được:
+ Với m=2; n=2 thì:
( a1b1 + a2 b2) 2 ≤ a12 + a22 b12 + b22
Dạng (1)

(

)(

)


+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki không được dạy trong chương trình SGK,
chỉ giới thiệu ở dạng đơn giản nhất (dạng (1)) hơn nữa số tiết theo phân phối
chương trình dành cho chủ đề “ Bất đẳng thức” rất ít nên ảnh hưởng không nhỏ
đến việc dạy học chủ đề này.
+ Chủ đề “ Bất đẳng thức” thường dành ưu tiên đề bồi dưỡng học sinh
khá, giỏi nên rất khó để giáo viên tổ chức dạy học ở những lớp có nhiều đối
tượng học sinh.
3.Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Khi dạy học chủ đề “bất đẳng thức” cho học sinh tôi đã dành một phần thời
lượng chương trình để tập trung rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki cho học sinh. Tùy theo năng lực của mỗi học sinh cũng như tập
thể học sinh để tôi chuẩn bị giáo án phù hợp. Các bài tập để học sinh vận dụng
bất đẳng thức Bunhiacôpxki tôi soạn theo 3 mức đó là:
Mức độ 1: Dành cho học sinh đại trà, học sinh khá. Các bài tập này chủ
yếu dừng ở mức độ nhận biết, giúp học sinh bước đầu biết cách vận dụng lí
thuyết để giải bài tập.
Mức độ 2: Dành cho học sinh khá, giỏi. Các bài tập ở mức thông hiểu, để
giải được các bài tập này học sinh ngoài việc phải nắm trắc những kiến thức cơ
bản còn phải biết linh hoạt sử dụng nhiều kiến thức, kĩ năng toán học khác.
Mức độ 3: Dành cho những học sinh giỏi. Các bài tập ở mức cao hơn đòi
hỏi học sinh phải phát huy tốt tư duy toán học, để giải các bài tập này ngoài kiến
thức toán học vững vàng học sinh thường phải sử dụng nhiều hoạt động toán học
như phán đoán, phân tích, biến đổi, so sánh, tổng hợp, khái quát…
Với các mức độ bài tập như trên tôi đã áp dụng vào thực tiễn dạy học thông
qua những giải pháp cụ thể sau:
3.1.Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
trong chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 1: Bài tập ở mức độ 1.
Cho 3 số dương a, b, c với a, b ≤ c. Chứng minh: a (c − b) + b(c − a ) ≤ c


1
( x + ) 2 ≤ 82.( x 2 + 2 ) tương tự ta có:
x
x
9
1
9
1
( y + ) 2 ≤ 82.( y 2 + 2 ) ; ( z + ) 2 ≤ 82.( z 2 + 2 ) . Cộng vế với vế ta được:
y
y
z
z
9 9 9
1 1 1
P. 82 ≥ + + + x+ y+ z ≥ 81( x + y + z ) + 9( + + ) − 80( x + y + z ) ≥
x y z
x y z
1 1 1
2.9.3 ( x + y + z )( + + ) − 80 ≥ 162 - 80 = 82 ⇒ đpcm
x y z

Ví dụ 3: Bài tập ở mức độ 3.
a. Cho a;b;c là ba số dương
Chứng minh rằng:
b.

a
b
c

b + 2c
c + 2a
a + 2b

≤(

a
b
c
+
+
). (ab+2ac+bc+2ab+ac+2bc).(a+b+c)
b + 2c c + 2a a + 2b
4


Chia hai vế cho: 3(ab+bc+ac).(a+b+c) , ta được:
a
b
c
(a + b + c) 2
+
+
≥
b + 2c c + 2a a + 2b 3( ab + bc + ac)
Hiển nhiên ta có :

(a+b+c) 2 ≥ 3( ab + bc + ac) do đó:
(a + b + c) 2
≥1

m pa + qb1.1...1 ≤



 
 m pb + qc
m pc + qa
m pa + qb
m− 2
m−2
m−2 

N .( pb + qc + pc + qa + pa + qb )(1 + 1+1)...(1 +1 +
1)
m− 2

Suy ra:

(a+b+c) m

Cho nên:

≤ N. ( p + q ) ( a + b + c ).3 m−2

( a + b + c ) m−1
N≥
( p + q ).3m−2

mà a+b+c > 0


:
abc
≥

(a + b + c) 2 abc
.
2abc + 1
3
p=q=1;m∈ N

∗:

a 4b
2ab 2 + 1

+

b 4c
2bc 2 + 1

+

c4a
2ca 2 + 1

am
bm
cm
3 a+b+c
+

Lời giải:
a. Ta có:

( a + b + c)

2

2

b
c
 a

=
b+c +
c+a +
a + b ≤
c+a
a+b
 b+c


a2
b2
c2
≤(
+
+
) .(b+c+c+a+a+b)
b + c c+a a+b

b + k1c +
c + k2a +
a + k 3b  ≤
c + k2a
a + k 3b
 b + k1c


6


≤ (

a2
b2
c2
+
+
).(a + b + c + k1c + k 2 a + k 3b)
b + k1c c + k 2 a a + k 3b

Suy ra (a+b+c) 2 ≤
a2
b2
c2
(
+
+
).( (1 + k 2 )a + (1 + k 3 )b + (1 + k1 )c )
b + k1c c + k 2 a a + k 3b

≥a
Cho a;b>0; a-b=1 và X;Y>0; X+Y= . Chứng minh rằng: +
b
X bY
Lời giải:
a. Do a;b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức (1) cho 2 dãy:
1
2
;
và a ; b
ta được:
2 a
b
25
=
4

2

1 4
2
 1

a+
b  ≤ ( + )(a+b)

4a b
b
2 a


: b
2 a
b

1

5

a =
⇔
4
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: a + b =
4

b = 1
a; b > 0


1
Vậy
MinS = 5 khi a = ; b = 1
4
b. Vận dụng bất đẳng thức (1) cho 2 dãy:
1
;
bY

b
và Y ;
X

 bY X 


b a
 1
+ 
≤ 
 bY X  b

b
1
+
≥a
X bY

(do a=1+b)

(đpcm)

 1
: Y =

bY


a
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:  X + Y =
b

 X ;Y > 0

và x>1;y>2 nên x-1>0;y-2>0
6
6

8


1
6
;
và x − 1; y − 2
6( x − 1) y − 2

Áp dụng bất đẳng thức(1) cho 2 dãy:
ta được:

2


 1
49 
1
6
6 
( ( x − 1) + ( y − 2) )
=
x −1 +
y − 2  ≤ 
+
6  6( x − 1)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi :  x + y =
6

 y = 3
 x > 1; y > 2


7
Vậy
MinS=7 khi x= ;y=3
6
3.3.Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki để
giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 7 : Bài tập mức độ 1.
Giải phương trình:

2 x − 3 + 5 − 2 x = 3 x 2 − 12 x + 14
Lời giải :
Giải phương trình:

2 x − 3 + 5 − 2 x = 3 x 2 − 12 x + 14
⇔ 2x − 3 + 5 − 2x = 3( x − 2) + 2
2

2 x − 3 ≥ 0
⇔ 1,5 ≤ x ≤ 2,5
ĐK: 
5 − 2 x ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho hai bộ số không âm (1:1) và ( 2 x − 3
: 5 − 2x ) ta có:

⇔ x=2

9


3( x − 2) + 2 ≥ 2
2

dấu”=” xẩy ra ⇔ x = 2
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2
Ví dụ 8 : Bài tập mức độ 2.
Giải phương trình:
x − 1 + x + 3 = 2( x − 3) 2 + 2 x − 2
x − 1 + x + 3 = 2( x − 3)2 + 2 x − 2

Lời giải:

(i)

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số không âm ( x − 1 ; x – 3) và (1 ; 1)
ta có:

(
(

)
x − 1 + x − 3) ≤

2
x − 1 + x − 3 ≤ ( 12 + 12 ) ( x − 1) + ( x − 3) 

Lời giải: x 2 2 − x 4 − 1 = x 4 − x3 ⇔ x 2
Đ K : x4 ≤ 2

4

2 − x 4 − 1 = x 3 ( x − 1)

Vì x = 0 không phải là nghiệm nên phương trình ⇔
Ta có:

1
+ x2 ≥ 2
2
x

2
dấu “=” xảy ra ⇔ x =

1
x2

4

2 − x4 + x =

⇔ x2 = 1

1
+ x2
2

≤4

2 − x2 + x ≤

4

(

2− x + x
4

2

)

2

≤ 4.2 ( 2 − x 4 + x 4 ) = 16

(ii)

16 = 2

Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi x = 1
Từ (i) và (ii) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Ví dụ 10. Bài tập mức độ 3. Giải phương trình 4 1 − x 2 + 4 1 + x + 4 1 − x = 3

10



(i)

4

1+ x =

(ii)

1+ 1 x
2

(iii)

Từ (i),(ii),và(iii) ỏp dng bt ng thc Bunhiacụpxki ta có :

4

1 x2 + 4 1+ x

+ 4 1 x 1+ 1 + x + 1 x 3
Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi : 1 + x = 1 x = 1 x=o
Kiểm tra lại ta thấy x=0 là nghiệm của phơng trình.
3.4.Gii phỏp 4: Rốn luyn k nng vn dng bt ng thc Bunhiacụpxki
khi gii mt s bi toỏn hỡnh hc.
Vớ d 11: Bi tp mc 2.
x2 y2
Cho elip (E) :
+
= 1 cỏc im M, N chuyn ng ln lt trờn cỏc tia
16 9

9
p dng bt ng thc Bunhiacụpxki (dng (1)) ta cú : MN 2 (4 + 3) 2 = 49

MN 2 =

Khi ú MN t GTNN bng 7 vi M (2 7 ;0) v N (0; 21) .
Vớ d 12 : Bi tp mc 2.
a, b, c l di 3 cnh ca mt tam giỏc
11


Chứng minh rằng : A =

a
b
c
+
+
≥1
2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c

Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số không âm

a
;
2b + 2c − a

b
;
2c + 2 a − b

b+c c+a a+b 3  r 

Lời giải: Gọi p là nửa chu vi của tam giác và p=

2

a+b+c
2

S
S a+b+c
⇒
=
r
r
2
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
S = p.r ⇒ p =

Ta có:

a3
b3
c3
2 a+b+c
+
+
≥ .

2

c + a .1 + 3
a + b .1 ≤
c+a
a+b
 b+c


(a + b + c) 3 =

a3
b3
c3
≤(
+
+
).(b + c + c + a + a + b).3
b+c c+a a+b

⇔

⇔

a3
b3
c3
(a + b + c) ≤ 6.(
+
+
).(a + b + c)
b+c c+a a+b

6 x − 3 xy + x = 1 − y
Giải hệ phương trình:  2
2

x + y = 1

Bài tập 4 :

Cho x>2;y>3 và x+y=
Tìm Min của P=

Bài tập 5:

43
7

y − 3 + 49( x − 2)
7( x − 2)( y − 3)

Cho a;b;c > 0 và a+b+c=1
CMR:

a
b
c
+
+
≥1
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c


b3
c3
1  abc 
+
+
≥ .

b + c c + a a + b 24  R.r 

CMR
Bài tập 8:

2

Cho a;b;c>0.
CMR:

a
a 2 + 8bc

+

b
b 2 + 8ac

+

c
c 2 + 8ab


25

45

6

10

13,3

%
52,
1
22,
2

Trung bình
SL
%
8
16,7

Yếu
SL
0

24

5


+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đã đưa ra một số bài tập áp dụng theo các mức độ khó, dễ khác nhau phù
hợp với nhiều đối tượng học sinh.
Mặc dù tôi đã nhiều cố gắng xong thiếu xót, hạn chế của đề tài là không thể
tránh khỏi tôi rất mong nhận được những góp ý của các thầy cô giáo, các bạn
đồng nghiệp. Những góp ý đó sẽ là cơ sở để tôi hoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu
của này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
………………………………………
của
………………………………………
………………………………………
………………………………………

Thanh Hóa, ngày 16/05/2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người thực hiện

Trịnh Hữu Thực

15


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại
học sư phạm.
2. Phạm Kim Hùng (2008), Sáng tạo bất đẳng thức, Nxb Hà Nội.


03

3. Giải pháp và tổ chức thực hiện

03

3.1. Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức

03

Bunhiacôpxki trong chứng mình bất đẳng thức.
3.1. Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức

07

Bunhiacôpxki khi giải toán tìm min, mác; tìm GTNN, GTLN.
3.1. Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức

09

Bunhiacôpxki để giải phương trình….
3.4. Giải pháp 4: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức

11

Bunhiacôpxki khi giải một số bài tập hình học.
3.5. Một số bài tập áp dụng

13