Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các
bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất
cơ bản của bất đẳng thức, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh
bất đẳng thức.
Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào
đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán
chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác
nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí .
Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng
bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc
biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức và được sử dụng nhiều
trong khi ôn tập , ôn thi ngoại khoá Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm được
những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức .
Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn
khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh
bất đẳng thức thường khong có cách giải mẫu , không theo một phương pháp
nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán . Mặt khác vì
nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa
tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào
giải các dạng bài tập khác .
Trong nội dung của đề tài xin được tập trung giới thiệu một số phương
pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như : dùng định nghĩa ,
biến đổi tương đương , dùng các bất đẳng thức đã biết , phương pháp phản
chứng và một số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi
gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có
thể tự định hướng được phương pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về
bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung .
Vì thời gian có hạn , kinh nghiệm giảng dạy còn chưa nhiều và khả
năng nghiên cứu chưa tốt nên nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế mong

h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 =>
3, Một số đẳng thức thông dụng :
a, Bất đẳng thức Côsi :
Với 2 số dương a , b ta có :
ab
ba
≥
+
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b
b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )
2

≤
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)
Dấu đẳng thức xảy ra <=>
y
b
x
a

≥
2(x + y + z)
Giải :
Ta xét hiệu : H = x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2( x + y + z)
= x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2x - 2y - 2z
= (x
2
- 2x + 1) + (y
2
- 2y + 1) + (z
2
- 2z + 1)
= (x - 1)
2
+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2

Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

≥
a(b + c + d + e)
Giải :
Xét hiệu : H = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
- a(b + c + d + e)
= (
b
a
−
2


≥
0 với mọi a, b
Do(
c
a
−
2
)
2

≥
0 với mọi a, c
Lớp Toán K7
3
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Do (
d
a
−
2
)
2

≥
0 với mọi a, d
Do (
e
a
−







+
−
+ baba
=
4
)2()(2
2222
bababa ++−+
=
0)(
4
1
)222(
4
1
22222
≥−=−−−+ baabbaba
. Với mọi a, b .
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tương đương .
- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng .
- Một số bất đẳng thức thường dùng :
 (A


±
B
3

Ví dụ :
Bài 1 : Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :

3
4
1
1
1
1
≥
+
+
+ ba
Giải:
Dùng phép biến đổi tương đương ;
3(a + 1 + b + 1)
≥
4(a + 1) (b + 1)
 9
≥
4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)
 9
≥
4ab + 8  1
≥

+≥++
=> 16
≥
4(a + b)c => 16(a + b)
≥
4(a + b)
2
c
≥
16 abc
=> a + b
≥
abc
Tương tự : b + c
≥
abc
c + a
≥
abc
=> (a + b)(b + c)(c + a)
≥
a
3
b
3
c
3

Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức :








+
≥+−






+
2
).(
2
22
ba
baba
ba
.
2
2






2
- 6ab + 3b
2

≥
3(a
2
- 2ab + b
2
)
≥
0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra :
3
33
22






+
≥
+ baba
Bài 4:
Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a
3
+ b
3

2
1

≥
0
<=> a
2
+ b
2
-
2
1
≥
0 . Vì a + b = 1
<=> 2a
2
+ 2b
2
- 1
≥
0
<=> 2a
2
+ 2(1-a)
2
- 1
≥
0 ( vì b = a -1 )
<=> 4a
2




+
≥
+ baba

Trong đó : a > 0 , b > 0 .
Giải :
Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0
Ta có :
3
33
22






+
≥
+ baba
<=>
( )
2
22
22
.
2





+
≥+−
ba
baba
<=> 4a
2
- 4ab + 4b
2

≥
a
2
+ 2ab + b
2

<=> 3(a
2
- 2ab + b
2
)
≥
0
<=> 3(a - b)
2

≥

a
b
a
−

≥

a
b
b −
 (
)() baabbbaa +−+
≥
0

[ ]
0)()()(
33
≥+−+ baabba

0)())(( ≥+−+−+ baabbababa

0)2)(( ≥+−+ bababa

0))(( ≥−+ baba
Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra :
a
b
a
−

2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a

Giải
áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
a + (b + c)
)(2 cba +≥

cba
a
cb
a
++
≥
+
2
Tương tự ta thu được :

cba
b
ac

Cho x , y là 2 số thực thoả mãn :

x
2
+ y
2
=
22
11 xyyx −+−
Chứng minh rằng : 3x + 4y
≤
5
Giải :
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :
(x
2
+ y
2
)
2
= (
22
11 xyyx −+−
)
2
(
1≤x
;
1≤y
)

)
≤
25
=> 3x + 4y
≤
5
Lớp Toán K7
7
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Đẳng thức xảy ra 







=
>>
=+
43
0,0
1
22
yx
yx
yx









+++++++≤+++++
222
1111.1.1. accbbaaccbba
=>
( )
6)22.(3
2
=++≤+++++ acbaaccbba
=>
6≤+++++ accbba
.
Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
b, Áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

1
22
1)1(
1 +=
++
≤+
aa
a
Tương tự :

Ta có :
0>+
a
b
b
a
, a , b > 0
Ta có :
=++
cba
111
)
111
(
cba
++
.1 =
)
111
(
cba
++
.(a + b + c)
=
111 ++++++++
b
c
a
c
c

Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
Bài 5
a, Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng :
yxyx +
≥+
411

b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh
của tam giác ) . Chứng minh rằng :

2
111
≥
−
+
−
+
− cpbpap
)
111
(
cba
++
Giải
a, Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xyyx 2≥+
áp dụng kết quả câu a , ta được ;
cbpapbpap
4
)()(
411
=
−+−
≥
−
+
−
Tương tự :
acpbp
411
≥
−
+
−

bcpap
411
≥
−
+
−
=>
)
111
(4)
111

2
)
≥
0  x
4
+ y
4

≥
2x
2
y
2
 2(x
4
+ y
4
)
≥
(x
2
+ y
2
)
2
(1)
Ta có : (x - y)
2

≥

4
+ y
4

≥
2
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = 1 .
Bài 2:
Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng :
(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Giải :
Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)
 (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
Do a, b, c, d > 0 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0
=>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bài 3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b

3
< 1 + a
2
b .
Tương tự : b
3
+ c
3
< 1 + b
2
c ; c
3
+ a
3
< 1 + c
2
a .
=> 2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a

Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

2
1
2
1
)1( =
−+
≤−
aa
aa
=> a(1 - a)
≤

4
1
Tương tự : b(1 - b)
≤

4
1
c(1 - c)
≤

4
1
d(1 - d)
≤

4

1
<+
a
c
Giải
Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức :

2
1
<+
b
a
;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :

6
111
<+++++
a

b
b
;
2)
1
( ≥+
c
c
=>
6)
1
()
1
()
1
( ≥+++++
c
c
b
b
a
a
Điều này mâu thuẫn với (1)
Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói
trên . => đpcm
Bài 3 : Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất
đẳng thức sau :
4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 .
Hướng dẫn : tương tự như bài 2 :
Bài 4 :( Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng )

= 2 )
Chia cả hai vế cho số dương a, b ta được :
ab > a
2
- ab + b
2
=> 0 > (a - b)
2
Vô lý
Vậy : a + b
≤
2
Lớp Toán K7
12
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
6. Phương pháp 6 : Đổi biến số
- Kiến thức : Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã
cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải
Các ví dụ :
Bài 1 : Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :

2
3
≥
+
+
+
+
+ ab
c

+
=
z
zyx
y
yxz
x
xzy
222
−+
+
−+
+
−+
=
2
3
2
3
111
2
3
)(
2
1
)(
2
1
)(
2

Giải:
Đặt : a =
)1)(1(
22
22
yx
yx
++
−
và b =
)1)(1(
1
22
22
yx
yx
++
−
=> ab =
2222
2222
)1()1(
)1)((
yx
yxyx
++
−−
Ta có dễ thấy với mọi a, b thì : -
22
)(

1






+
−
y
Suy ra : -
4
1

≤
ab
≤

4
1
.
Bài 3 : Cho a, b, c > 0 ; a + b + c
≤
1 . Chứng minh rằng :

9
2
1
2
1

≤
1
Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z
≤
1 .
Cứng minh rằng :

9
111
≥++
zyx
Ta chứng minh được : (x + y + z)(
9)
111
≥++
zyx
Theo bất đẳng thức Côsi
Mà : x + y + z
≤
1 nên suy ra
9
111
≥++
zyx
.
7.Phương pháp 7: Dùng phép quy nạp toán học .
- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng
phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n
0

ta phải chứng minh : 2
k+1
> 2(k + 1) + 1
hay : 2
k+1
> 2k + 3 (**)
+ Thật vậy : 2
k+1
= 2.2
k
, mà 2
k
> 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp )
do đó : 2
k +1
> 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0)
Vậy (**) đúng với mọi k
≥
3 .
Lớp Toán K7
14
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
+ Kết luận : 2
n
> 2n + 1 với mọi số nguyên dương n
≥
3 .
Bài 2 : ( Tương tự )
Tìm số nguyên dương n sao cho 2
n

2
1
.
4
3
.
6
5

k
k
2
12 −
≤

13
1
+
k
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là :

2
1
.
4
3
.
6
5


12
+
+
k
k

≤

1)1(3
1
++k
dùng phép biến đổi tương đương , ta có :
(2k + 1)
2
(3k + 4)
≤
(3k + 1)4(k +1)
2

 12k
3
+ 28k
2
+ 19k + 4
≤
12k
3
+ 28k
2
+ 20k +4

Chú ý :
BABA +≥+

Xảy ra dấu '' = '' khi AB
≥
0

0≥A
Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0
Ví dụ :
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = a
3
+ b
3
+ ab ; Cho biết a và b
thoả mãn : a + b = 1 .
Giải
B = (a + b)(a
2
- ab + b
2
) + ab
= a
2
- ab + b
2
+ ab = a
2
+ b
2

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
B = - x
2
- y
2
+ xy + 2x +2y
Giải
a, A = (x
2
+ x)(x
2
+ x - 4) . Đặt : t = x
2
+ x - 2
=> A = (t - 2)(t + 2) = t
2
- 4
≥
- 4
Dấu bằng xảy ra khi : t = 0  x
2
+ x - 2 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0  x = -2 ; x = 1 .
=> min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;
b, Tương tự
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
a, C =
1232 −+− xx

b, D =

1
≤≤ x
b, Tương tự : minD = 9 khi : -3
≤
x
≤
2
c, minE = 4 khi : 2
≤
x
≤
3
Bài 4 : Cho a < b < c < d , tìm :
Minf(x) =
ax −
+
bx −
+
cx −
+
dx −
Hướng dẫn : tương tự : minf(x) = d + c - b - a khi b
≤
x
≤
c
Bài 5 : Cho ba số dương x , y , z thoả mãn :
x+1
1
+

≥
2
)1)(1( zy
yz
++
Tương tự :
y+1
1

≥
2
)1)(1( zx
zx
++

z+1
1

≥
2
)1)(1( yx
xy
++
Từ đó suy ra : P = xyz
≤

8
1
MaxP =
8

cba
++
) + 6
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có :
(a.1 + b.1 + c.2)
2

≤
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
=> a
2
+ b
2
+ c
2

≥

3
1
Tương tự :
2
)
111

b
b
a
+
) + (
b
c
c
b
+
) + (
c
a
a
c
+
)
≥
3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
cba
111
++

≥
9
=>
2
)
111

1
.
Bài 7 : Cho G =
xyz
zxyyzxxyz 321 −+−+−
Tìm giá trị lớn nhất của G :
Giải : Tập xác định : x
≥
1 ; y
≥
2 ; z
≥
3
Ta có : G =
x
x 1−
+
y
y 2−
+
z
z 3−
Theo BĐT Côsi ta có :
2
11
1
+−
≤−
x
x

1
++
Vậy MaxG =
32
1
22
1
2
1
++
đạt được khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6
Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H =
1−x
x
với x > 1 .
b. Tìm giá trị lớn nhất của K =
2
1. xx −

HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tương tự như bài 5 :
II - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình .
- Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương
pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương
trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình .
Lớp Toán K7
18
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn
TXĐ)
=> phương trình có nghiệm .

4
1
) + 3(x + 1 +
4
9
) = 16x
Dấu '' = '' xảy ra






=+
=−
2
3
1
2
1
1
x
x
 x =
4
5
thoả mãn (*)
Phương trình (1) có nghiệm  dấu '' = '' ở (2) xảy ra
Vậy (1) có nghiệm x =
4

=> MaxL = 2 khi x = 2 .
b. TXĐ :
2
5
2
3
≤≤ x

(*) 
32 −x
+
x25 −
= x
2
- 4x + 6
VP = (x - 2)
2
+ 2
≥
2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
=> với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
=> phương trình (*) có nghiệm x = 2 .
Bài 3 : Giải phương trình :
Lớp Toán K7
19
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS

x−6
+
2+x

 x = 2 .
=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm
Bài 4 : Giải phương trình :

16123
2
+− xx
+
134
2
+− yy
= 5
HD :
16123
2
+− xx
≥
2 ;
134
2
+− yy
≥
3 => VT
≥
5 .
Dấu '' = '' xảy ra khi :



=−

1>
b
a
nếu a > b > 0 .
- Các ví dụ :
Bài 1 : Giải hệ phương trình :




=−+
=+−+
02
0342
222
23
yyxx
yyx
(1)

x
3
= - 1 - 2(y - 1)
2


x
3

≤

trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc .
Bài 2 : Giải hệ phương trình :
Lớp Toán K7
20
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS




=++
=++
xyzzyx
zyx
444
1
Giải :
Áp dụng : BĐT : A
2
+ B
2

≥
2AB dấu '' = '' xảy ra khi A = B
Ta có : x
4
+ y
4

≥
2x


≥
x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
(*)
Mắt khác : x
2
y
2
+ y
2
z
2

≥
2x
2
yz
y
2

z
2
+ z
2
x
2
)
≥
2xyz(x + y + z) = 2xyz .
=> x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2

≥
xyz . (**)
Từ (*) và (**) => x
4
+ y
4
+ z
4

(
14
32
zyx
zyx
zyx
(với x, y, z > 0)
Giải :
áp dụng : Nếu a, b > 0 thì :
2≥+
a
b
b
a
(2) 
36)23)(
123
( =++++ zyx
zyx
 6
22)(2)(3)( =+++++
y
z
z
y
x
z
z
x
x

z
x
x
y
y
x
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta được :
x + x
2
+ x
3
= 14 <=> (x - 2)(x
2
+ 3x + 7) = 0
Lớp Toán K7
21
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
<=> x - 2 = 0 <=> x = 2 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 .
* Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi
hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc
được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được .
Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên .
Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

zyx
111
++
= 2
Giải :


≤

y
2

Y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2 .
Với y = 1 không thích hợp
Với y = 2 ta có : x = 2 .
Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình .
Hoán vị các số trên , ta được nghiệm của phương trình là :
(2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2)
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Bài vận dụng Bất đẳng thức để giải phương trình
A. Mục tiêu
- Giới thiệu và hướng dẫn học sinh nội dung kiến thức giải phương
trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức Bunhiacôpxki và tính chất của bất
đẳng thức
- Hình thành kỹ năng giải phương trình nhờ vận dụng kiến thức bất
đẳng thức thông qua việc chữa các bài tập được đưa ra trên cơ sở các bài toán
Lớp Toán K7
22
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
chứng minh bất đẳng thức , kết quả suy ra từ các bất đẳng thức quen thuộc hay
tính chất của bất đẳng thức .
- Học sinh nắm được ph]ơng pháp giải , nhận dạng được dạng bài tập
và biết vận dụng vào giải các bài tập tương tự
- học sinh được rèn cách trình bày lời giải , lập luận chặt chẽ và chính
xác , phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh .
B. Chuẩn bị :

=>
32 −x
+
x25 −

≤
2
=> Max N = 2 khi 2x - 3 = 5 - 2x  x = 2 .
HS3 : Viết các BĐT
3, Bài mới :
a, Đặt vấn đề :
Định nghĩa phương trình ẩn x ? cách giải ?
HS : Có dạng A(x) = B(x) , trong đó A(x) , B(x) là các biểu thức
biến x
Cách giải : Tìm ĐKXĐ (nếu có)
Tìm tất cả ác giá trị của biến thoả mãn ĐKXĐ
nghiệm đúng phương trình đã cho .
GV : Nếu ta có A(x)
≥
a ; B(x)
≤
a , vậy phương trình A(x) =
B(x) có nghoiệm khi nào ?
HS : Khi A(x) = B(x) = a ( xảy ra trường hợp dấu bằng )
GV : Đặt vấn đề vào bài
Lớp Toán K7
23
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
B, Bài giảng :
Hoạt động của thày và trò Nội dung

≤
x
≤
5
(3
xx −+− 541
)
2

≤
(9+ 16)(x - 1 + 5 - x)
= 25 . 4 = 100
=> VT
≤
10
Dấu '' = '' xảy ra khi
25
61
=x

Vậy (2) có nghiệm
25
61
=x
Lớp Toán K7
24
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Hoạt động 2: Vận dụng hướng dẫn HS
biến đổi
GV: Yêu cầu hs nhận dạng pt

VT
≤
2 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2
VP
≥
2 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2
Vậy phương trình có nghiệm khi
x = 2
Bài 3 : Giải phương trình :
13
1−x
+ 9
1+x
= 16x
Điều kiện : x
≥
1 (*)
Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
13
1−x
+ 9
1+x
= 13.2.
1
2
1
−x
+ 3.2.
1
2

thoả mãn
PT (1) có nghiệm  dấu '' = '' ở (2) xảy ra
Vậy (1) có nghiệm x =
4
5
.
Lớp Toán K7
25