1
x(x + 2)(2x + y) = 9

1.
x2 + 4x + y = 6

x + y = 1− 2xy
(NN) 2  2
2.
x +2yA=y +1 5Cy = 90

3. (BK) 5Ayx − 2Cyx= 80

 x
x
(ANND)



x 2 + 3+ | y |= a

x2 + 5
y2 + 5+ | x |=
+ 3−a
4. (CT) Tìm a để hệ có đúng 1 nghiệm


log 

(x +1) − log 3 (x −1) > log 4
3

8. (DN)  2
xlog
y −(6x
xy2 += 46 y) = 2

x
9. (DN)
 log (6 y + 4x) = 2
y
x+y

5x2 + 2xy − y2 ≥ 0

17. (HVNH) Tìm m để hệ có nghiệm 2x2 + 2xy + y2 ≤ m

m −1

 2
2
x − 2xy + 3y = 9
18. (HVNH)
2x2 −13xy +15 y2 = 0
x2 + y2 = 1
19. (NNHN)
 3 3
 3 x + y 3= 1
x − 3x = y − 3y
20. (NT)
 x6 + y6 = 1


bx

e

4


21. (NNIHN)


2
2
=4
 x +2y +2
128 x (4x −1)(8x2 −1)2 +1− 2x = 0

26. (HVQY)
− 1 < x < 0
 2
 2
5x + 2xy − y2 ≥ 3
27. (QGHN) Tìm m để hệ có nghiệm 
m
2x2 + 2xy + y2 ≤ 2
m −1


x+ =3
28. (SPHN) Tìm a để hệ có nghiệm thỏa mãn x ≥ 4,
y
y+3
 3 3

x +y =8
29. (SPHN)
x+5+
≤a


m

x +1 = 2 y

 y3 +1 = 2x
x + y = a

Giải khi a=2. Tìm GTNN

x2 + y2 = 6 − a2
của hệ.
1+ x3 y3 = 19x3

34. (TM)

 y+
xy2 =
−6x2

F = xy + 2(x + y)


với (x,y) là nghiệm


2x + y =

x
3
35. (TL)
2



0 ,5
(x − 2x +
2
x+1
39. (YTB) Tìm a để hệ có nghiệm
1
>

3)
 2
x − (a +1)x + a ≤ 0


| xy −10 |= 20 −
x2
40. (CDSPHN)
xy = 5 + y2

5
x + y + xy =

4
41. (CDSPTW1)
 2
1

x y + xy2 =
4
 2 2

Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt, với x , x , x lập thành
1
2
3
x + y =
1
CSC, trong đó
2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 1.
 có
x2 + xy + y2 = 4
46. (CDYTND)



2x
y
2y
x







x + xy + y = 2

+

=3

my−=21y


51. (CD.08) Tìm m để hệ 
có nghiệm (x,y) thỏa mãn xy

=1

9




x +y

= 1− 3m


 1
1
x− =y−

58. (A.03)
x
y


3
2 y = x +1

2
3y = y + 2

2
59. (B.03) 

y+



63. (A2.07)





= 3y −1 +1
x2 − 2x + 2
y2 − 2 y + 2

= 3x−1 +1
 4 3
x − x y + x2 y2 = 1

 x3 y − x2 + xy = 1

64. (B1.07) Chứng
minh hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm thỏa mãn x>0,y>0:
y2 −1
 x
e = 2007 −


x2 −1
 y
e = 2007 −

 m để hệ sau đây có nghiệm duy nhất.
66. (D2.07) Tìm



2x − y − m = 0


xy




x+

=1


67. (A1.06)
68. (A2.06)
69. (B2.06)
70. (D1.06)

 2
(x +1) + y( y + x) = 4 y
 (x2 +1)( y + x − 2) = y
 3
x − 8x = y3 + 2 y
 x2 − 3 = 3( y2 +1)


−7

x+1

+ 2005x ≤ 2005

 x 2 − (m + 2)x + 2m + 3 ≥ 0


74. (D1.04)

xy

2x+ y − 2x−1 = x − y
 log
= log x y
75. (A1.03)  y

2x + 2 y = 3
x − 4 | y | +3 = 0


log2 y
76. (B1.02)

log 4 x −
=0 

 | x −1|3 −3x − k < 0
77. (B2.02) Tìm k để hệ có nghiệm

1x = 0 

2.
y= ,
1x = 5  y =
0

3.
3

16.

 y = 12

m≤0

17. 
m>1

y=2


=

18. 

4. a =
25
5. −

y=

10
10. a
1
x = 02 x = 3 x = −2




2

2

≥





5
x
 5
y

=



−6

,
 y = y = 0
1

1
1


x 6
2

6
=
2,
20. 
x=−
 y
, 

=
6 
2

 6 12 
1
y=−


3
18

3

18

11.

,
,
0 y = 2 y = −3
y =



x=0 x=2


12.
,
 y =  y = 0 x = 1
,
.
2
x = −1 
=
x 1 ,

13. 
 y=
y=
y=





y = −1

 y=1
x = 1 x = 3
24. 
,


y=3 y=1


5
25.
6


x=




2
y=

6π


x = ±1


31.
,
 y = ±1  y =


0
−1− 5

x= 
x=
1
2

,
32.

−1+ 5

y=1

y =


2
x=
1
33.


36.
 y=
3
x=π+k
2π

37.

π


43. 



x=4

,
y=1
π 1

y=4





1



3

x=
 =−
x
1

47.

y=
y = 2 , y =
3

−2
1

46.

3

x = −3






y = −3
2




y= +k
2π

 2
x=0 x=

1
38.

,


x=1




51.

y=2

m
y=

 1
x=

2
41. 
1y=

52.  7
4


x=

−2
5
5
5

,



53.



≤m≤2


54. CM
x=1 x=2
55. 
, 

56.




y=1 y=2
x=3

 y=4





57. 0 ≤ m ≤
± 5

1

69. 


4
58. x = y = 1, x = y =
59. x=y=1

4
62. x = y =
1
x = ±1

63.

y=

±1
64. CM
65. x = y = 1, x = y =
0
x = −2

66. m>2
x= ,
1

67.


2

y=



y=5
6




y = −3
x = 2 x = −1
70. 
, 
,



y = 0 y = 1 y = −2


x=1

x=
x=
71. 
−
2

,
,
2

2
2
,
 y





2

75. 
 y = log 3
2

2
76. x = 1 x = 9


, y=1 y=3



77. k > −5
x=4
78. 
y=4 ,






6
13


Giải: Đặt t = 2 x + 3 + x + 1 > 0. (2) ⇔ x = 3
21− x − 2 x + 1
2x −1

2/ Giải bất phương trình:
Giải: 0 < x ≤ 1

1
log
2

3/ Giải phương trình:

2

≥0

1
( x + 3) + log4 ( x − 1)8 = 3log8 (4 x )
4
.

Giải: (1) ⇔ ( x + 3) x − 1 = 4 x ⇔ x = 3; x = −3 + 2 3
4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x
m

(

)

Khảo sát
với 1 ≤ t ≤ 2. g'(t)
. Vậy g tăng trên [1,2]
Do đó, ycbt ⇔ bpt

m≤

5/ Giải hệ phương trình :

2
t2 − 2
m ≤ max g(t ) = g(2) =
3
t∈[ 1;2]
t + 1 có nghiệm t ∈ [1,2] ⇔
 x 4 − 4 x 2 + y 2 − 6 y + 9 = 0
 2
2
 x y + x + 2 y − 22 = 0

(2)

2
2
2
 x2 − 2 = u
( x − 2) + ( y − 3) = 4
 2

( x − 2 + 4)( y − 3 + 3) + x 2 − 2 − 20 = 0



log ( x + 1) − log ( x − 1) > log3 4
(a )
3
3

2
log2 ( x − 2 x + 5) − m log( x 2 −2 x + 5) 2 = 5 (b)

Giải: 1) Đặt

t = 3x > 0

. (1) ⇔

5t 2 − 7t + 3 3t − 1 = 0

log 3 ( x + 1) − log 3 ( x − 1) > log 3 4 ( a)

2
log 2 ( x − 2 x + 5) − m log ( x2 − 2 x + 5) 2 = 5

⇒

3
x = log 3 ; x = − log 3 5
5

(b)

m ∈  − ; −6 ÷
 4


3

3

(2 x )3 +  3 ÷ = 18

y


2 x. 3 2 x + 3  = 3
3
a + b = 3
÷

 y
y


Giải: (2) ⇔ 
. Đặt a = 2x; b = y . (2) ⇔ ab = 1
3− 5
6   3+ 5
6 
;
;


5
5

 (t + 1)(t − 3) > 5(t − 3) 2


⇔

1

0< x≤

⇔
2

8 < x < 16

11/Giải phương trình: log ( x + 1) + ( x − 5)log( x + 1) − 5 x = 0
2

2

2

2

2

2
2
2
2
2

u − 2u + 1 = 0

⇔

x = 0

 x = log −1 + 5
2

2

 x y − x + y = 2

m ( x2 + y ) − x2 y = 4
13/ Tìm m để hệ phương trình: 
có ba nghiệm phân biệt
2

Giải: Hệ PT ⇔

2

(m − 1) x 4 + 2(m − 3) x 2 + 2m − 4 = 0 (1)


x2 + 2
y = 2
x +1

.


 x + y = 1

14/ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:  x x + y y = 1 − 3m .
u + v = 1
u + v = 1
⇔
 3 3
uv = m
Giải: Đặt u = x , v = y (u ≥ 0, v ≥ 0) . Hệ PT ⇔ u + v = 1 − 3m 
.
0≤m≤

1
4.

15/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Giải: Đặt

ĐS:

t = ( x − 1)

x( x − 1) + 4( x − 1)

x
=m
x −1


2
Giải (b) ⇔ x + y + 2 ( x + 1).( y + 1) = 14 ⇔ xy + 2 ( xy ) + xy + 4 = 11 (c)

p =3
 p ≤ 11
(c) ⇔ 2 p 2 + p + 4 = 11 − p ⇔  2
⇔
 p = −35
3 p + 26 p − 105 = 0

3
Đặt xy = p.
x + y)
(a) ⇔ (

2

= 3 xy + 3

• p = xy =

−

35
3 (loại)

 xy = 3
⇒ x= y= 3

x+ y=2 3

2 ⇔ 4
2 hoặc x < 0
Giải: BPT ⇔ x[ log2 (1 − 2x) + 1] < 0 

19/ Giải hệ phương trình:

2
 x + 1 + y ( x + y ) = 4 y
 2
( x + 1)( x + y − 2) = y

(x, y ∈ R )

 x2 + 1
+ x+ y−2=2

 y
 2
 x + 1 ( x + y − 2) = 1

Giải: y = 0 không phải là nghiệm. Hệ PT ⇔  y
u=

u + v = 2
x2 + 1
,v = x + y − 2
⇔ u = v =1

y
. Ta có hệ uv = 1

• Với m > 4 . Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > 0 và (1) cũng có hai nghiệm

phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) . Áp dụng định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dương
nên các giá trị m > 4 cũng bị loại.


Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: m ∈ ( −∞;0) ∪ { 4} .
 x 2 + 91 = y − 2 + y 2 (1)
 2
 y + 91 = x − 2 + x 2 (2)

21/ Giải hệ phương trình:
Giải: Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x 2 + 91 − y 2 + 91 = y − 2 − x − 2 + y 2 − x 2
⇔

x2 − y2
x + 91 + y + 91
2

2

=

y−x
+ ( y − x)( y + x)
y−2 + x−2


x+ y





1
1
⇔ ( x − 3)  ( x + 3) 
− 1÷−
÷= 0

2
x − 2 + 1÷
 x + 91 + 10 



⇔x=3

Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
22/ Giải bất phương trình: log 2 ( 3x + 1 + 6) − 1 ≥ log 2 (7 − 10 − x )
Giải: Điều kiện:
1
− ≤ x ≤ 10
3

BPT ⇔

log 2

⇒

2 x + 1 + x x 2 + 2 + ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 0

 v2 − u 2 = 2x + 1
u = x 2 + 2, u > 0
u 2 = x 2 + 2

⇒ 2
⇒  2 v2 − u 2 − 1

2
2
v = x + 2 x + 3, v > 0
v = x + 2 x + 3  x =

2


PT ⇔

 v +u  1
(v − u )  (v − u )  1 +
=0⇔
÷+
2  2 



v − u = 0

 (v + u )  1 + v + u  + 1 = 0


25/ Giải phương trình:
Giải:
Điều kiện:
.
x≥−

PT ⇔

(c )

1
2

x 2 − 3x + 2 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1

• x = 1 là nghiệm

1

 −∞;  ∪ { 1} ∪ [ 2; +∞ )

2

• x 2: BPT ⇔

(b)

vô nghiệm
có nghiệm x

2
 x 3 − 6 x 2 y + 9 xy 2 − 4 y 3 = 0 (1)
x = y
( x − y) ( x − 4 y) = 0
 x = 4 y

(2)
 x − y + x + y = 2
• Với x = y:
(2) ⇒ x = y = 2
• Với x = 4y:
(2) ⇒
x = 32 − 8 15; y = 8 − 2 15

27/ Giải phương trình:
Giải:
PT ⇔

x 2 − 3x + 1 = −
Chú ý:

4

2

x 2 − 3 x + 1 = − tan

π
x2 + x2 + 1
6

Ta được: (1) ⇔

2t 2 +

(

x2 + x + 1

3
t −1 = 0
3

⇔

)

2

t=


−3


28/ Giải hệ phương trình:
Giải: Hệ PT ⇔
⇔
 y = 9 − x 2 − 5 x
 4
3
2
 x + 4 x − 5 x − 18x+18 = 0
⇔

 x = 1; y = 3
 x = −3; y = 15

 x = −1 − 7; y = 6 + 3 7
 x = −1 + 7; y = 6 − 3 7

 y = 9 − x 2 − 5x

 x = 1

  x = −3
  x = −1 ± 7

x − 3 ≤ x + 12 − 2 x + 1

29/ Giải bất phương trình:
Giải: BPT ⇔
.
3≤ x ≤ 4

−
1
+
4
y
−
1
=
2


⇔
x = 2

1

 y = 2
3 3
3
(1)
8 x y + 27 = 7 y
 2
2
(2)
31/ Giải hệ phương trình:  4 x y + 6 x = y
Giải:
8 x 3 y3 + 27 = 7 y3
t = xy
 2 2
 3

2
2
2
⇔

(

)(

)