BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2016



và tìm hiểu của bản thân, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

Nguyễn Thị Hường


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh mục kí hiệu và viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mở đầu

1


7

1.1.4

Không gian L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5

Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.6

Khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA
2.1

14

Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một . . . 14

2.1.2



Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.5

Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.6

Phương pháp chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . 42

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA

48

3.1

Công thức cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2

Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3

Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra
loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Kết luận



MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều
tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó lớp phương trình tích phân đóng vai trò
quan trọng.
Phương trình tích phân tuyến tính Volterra xuất hiện trong nhiều ứng dụng
khoa học như lý thuyết động lực, thiết vị bán dẫn, sự lan truyền bệnh dịch, ...
Trong các ứng dụng thực tế việc tìm ra nghiệm chính xác của phương trình
tích phân thường gặp nhiều khó khăn, lúc này người ta quan tâm đến giải xấp xỉ
phương trình. Để giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra người
ta sử dụng rất nhiều các phương pháp như xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, ...
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về việc giải phương trình tích phân tuyến
tính Volterra, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề
tài: “Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính
Volterra” để thực hiện luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về phương trình tích phân tuyến tính Volterra, một số
phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra và một số phương
pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra.


3

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một,

iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y ∈ X.
Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp ấy.
Các phần tử của một không gian metric được gọi là điểm của không gian ấy. Số

d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y .
Định nghĩa 1.1.2. Một dãy các điểm (xn ), n = 1, 2, ... trong không gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu

lim d(a, xn ) = 0.

n→∞

Khi đó ta kí hiệu lim xn = a hoặc xn → a khi n → ∞
n→∞


5

Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm xn được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trong
không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một số n0 ∈ N∗ sao
cho với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có

d(xn , xm ) < ε.
Nói cách khác ta có

lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy

αn
d(x1 , x0 ).
d(xn+p , xn ) ≤
1−α

(1.2)

Ước lượng (1.2) chứng tỏ dãy xn , n ∈ N là dãy Cauchy, mặt khác X là không
gian metric đủ nên tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho lim xn = x∗ .
n→∞

Cho p → ∞ trong bất đẳng thức (1.2) ta thu được ước lượng (1.1).
Ta lại có xn+1 = f (xn ) nên cho n → ∞, ta có x∗ = f (x∗ ). Vậy x∗ là điểm mà

f (x∗ ) = x∗ .
Giả sử ngoài ra còn có x cũng có tính chất f (x) = x khi đó ta có

d(x∗ , x) = d(f (x∗ ), f (x)) ≤ αd(x∗ , x),
với α < 1. Từ đó suy ra x∗ = x. Vậy x∗ là duy nhất.

1.1.2

Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.1.5. Một chuẩn, kí hiêu

· trong X là một ánh xạ từ X vào R

thỏa mãn các điều kiện:


xm − xn = 0.

Định nghĩa 1.1.9. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric
đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = x − y ). Khi đó X được gọi là một không
gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.10. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P . Ánh
xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn
i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X ;
ii) A(αx) = αAx, α ∈ P .

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Nếu A chỉ thỏa mãn i) thì A được gọi là
toán tử cộng tính, nếu A chỉ thỏa mãn ii) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.
Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính
Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A
từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c ≥ 0 sao
cho

Ax ≤ c x , với mọi x ∈ X.
1.1.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian tuyến tính X trên trường số P (P =
R hoặc P = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ


8

X × X vào trường P , kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiên đề:

Không gian L(X, Y )

Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ta kí hiệu L(X, Y ) là tập hợp tất cả
các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Ta trang bị cho L(X, Y ) hai phép
toán sau:
a) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác định


9

bằng hệ thức

(A + B)(x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X.
b) Tích của vô hướng α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈ L(X, Y )
là toán tử, kí hiệu αA xác định bằng hệ thức

(αA)(x) = α(Ax), ∀x ∈ X.
Dễ dàng kiểm tra A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) là hai phép toán thỏa mãn
tiên đề tuyến tính. Do vậy L(X, Y ) cùng với hai phép toán trên là một không
gian vectơ trên trường P .
Với toán tử bất kỳ A ∈ L(X, Y )
Ta đặt

A = sup Ax

(1.3)

x =1

Dễ thấy công thức (1.3) thỏa mãn tiên đề chuẩn. Như vậy L(X, Y ) là một không


lim An x = y ∈ Y.

n→∞

Đặt y = Ax. Nhờ tính chất của phép chuyển qua giới hạn, ta nhận được toán tử
tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian Banach Y . Cho qua
giới hạn m → ∞ trong hệ thức (1.5) và kết hợp với hệ thức (1.4) ta được

An x − Ax ≤ ε x , ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X,
hay

(An − A)x ≤ ε x , ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X.
Do đó

An − A ≤ ε, ∀n ≥ n0 .
Từ đó suy ra A = An1 − (An1 − A) ∈ L(X, Y ) với n1 > n0 và An − A → 0
khi n → ∞.
Vì vậy dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) hội tụ tới toán tử A trong không gian

L(X, Y ). Vậy L(X, Y ) là không gian Banach.
Bây giờ ta giả sử X = Y , nghĩa là ta xét không gian L(X, X) các toán tử
tuyến tính liên tục trong X . Khi ấy ta có thể định nghĩa phép nhân hai toán tử
như sau
Tích của hai toán tử A, B trong X là toán tử AB trong X sao cho

(AB)x = A(Bx), ∀x ∈ X.
Dễ thấy AB cũng là toán tử tuyến tính.
Mặt khác, ta có



(xj − yj )2 .
j=1

Hệ thức trên thỏa mãn 3 tiên đề về metric.
Vì vậy hệ thức trên định một metric trên không gian Rn .
Không gian metric Rn thường được gọi là không gian Euclid.
Rn là không gian metric đầy
Rn là không gian định chuẩn
Với một trong các chuẩn sau
n

x

1

n

|xi | , x

=
i=1

2

x2i , x

=
i=1



(1.7)

j=1

Không gian vectơ thực Rn cùng với tích vô hướng (1.7) là một không gian
Hilbert.
Không gian C[a,b]

C[a,b] = {x(t) xác định, liên tục ∀t ∈ [a, b]} , −∞ < a < b < +∞.
Không gian C[a,b] là không gian metric

∀x, y ∈ C[a,b] , d(x, y) = max |x(t) − y(t)|.
a≤t≤b

Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn

x = max |x(t)|.
a≤t≤b

Không gian C[a,b] là không gian Banach.
Không gian C[a,b] là không gian tách được (hay không gian khả ly).
Thật vậy tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] .
n
Không gian C[a,b]

n
Không gian C[a,b]
gồm tất cả các hàm x(t) xác định trên đoạn [a, b] và có đạo



f (x) = f (x0 ) +

(1.8)
(1.9)

c ở khoảng giữa x0 và x : c = x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ < 1.
Công thức này gọi là công thức Taylor cấp n, số hạng cuối cùng được gọi là số
hạng dư của nó. Ta nói f (x) khai triển được theo công thức Taylor.


14

Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
VOLTERRA
2.1

Phương trình tích phân Volterra

2.1.1

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một

Dạng tổng quát của các phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một
được cho bởi

x

f (x) =

nhân K(x, t) và hàm f (x) là các hàm giá trị thực, và λ là một tham số cho
trước.


15

2.1.3

Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương
trình tích phân Volterra loại hai

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một số phương pháp biến đổi phương
trình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai.
Ta giả thiết K(x, x) = 0. Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình tích phân
Volterra loại một

x

f (x) =

K(x, t)u(t)dt,

(2.3)

0

đối với x, và dùng quy tắc Leibnitz, ta tìm được
x

f (x) = K(x, x)u(x) +

Đặt

g(x) =
và

1
K (x, t).
K(x, x) x
Khi đó ta có phương trình tích phân Volterra loại 2
G(x, t) = −

(2.7)

x

u(x) = g(x) +

G(x, t)u(t)dt
0

Khi đã biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình
tích phân Volterra loại hai. Ta có thể áp dụng các phương pháp giải phương
trình tích phân Volterra loại hai. Nghiệm thu được chính là nhiệm của phương
trình tích phân Volterra loại một.
Ví dụ 2.1. Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình


16

tích phân Volterra loại hai


4 + x − 4ex + 3xex =

(x − t + 2)u(t)dt.

(2.9)

0

Lấy đạo hàm cả hai vế của (2.9) và dùng quy tắc Leibnitz ta thu được
x
x

x

1 − e + 3xe = 2u(x) +

u(t)dt,
0

Từ đó ta có phương trình tích phân Volterra loại hai

1
1 1
u(x) = (3x − 1)ex + −
2
2 2

x



cosh(x − t)u(t)dt,

x sin x = 2
0

phương trình trên vẫn là phương trình tích phân Volterra loại một. Tuy nhiên vì

Kx (x, x) = 0, nên ta lấy đạo hàm thêm một lần nữa để thu được phương trình
tích phân Volterra loại 1

x
1
u(x) = sin x + cos x −
2
2

x

sinh(x − t)u(t)dt.
0

Khi đã biến đổi phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một thành
phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai, thì ta có thể áp dụng các
phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai cho phương
trình tích phân tuyến tính Volterra loai một.

2.2

Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích


n=0

hay tương đương

u(x) = u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + ...,

(2.12)

trong đó các hàm un (x), n ≥ 0 được xác định bằng phương pháp truy hồi.
Để thiết lập quan hệ truy hồi, ta thế (2.11) vào phương trình tích phân Volterra
(2.2) ta thu được
∞

∞

x

K(x, t)

un (x) = f (x) + λ

un (t) dt,

0

n=0

(2.13)


0

(2.14)


19
x

u2 (x) = λ

x

K(x, t)u1 (t)dt, u3 (x) = λ

K(x, t)u2 (t)dt,

0

(2.15)

0

và tương tự vậy với các thành phần khác.
Trong công thức (2.15), các thành phần u0 (x), u1 (x), u2 (x), u3 (x), ... hoàn
toàn xác định. Nghiệm u(x) của phương trình tích phân Volterra (2.2) cho dưới
dạng chuỗi.
Phương pháp phân tích Adomian để giải phương trình tích phân Volterra
được minh họa bởi các ví dụ sau.
Ví dụ 2.4. Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích
phân Volterra sau

hay tương đương
x

u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + ... = 6x − 3x2 +

[u0 (t) + u1 (t) + u2 (t) + ...]dt.
0

Ta đồng nhất thành phần thứ không bởi tất cả các số hạng mà không bao gồm
dưới dấu tích phân. Do đó ta thu được quan hệ truy hồi sau

u0 (x) = 6x − 3x2 ,
x

uk (t)dt, k ≥ 0,

uk+1 (x) =
0