SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH HÌNH CHÓP"

1


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU.
Trong chương trình Hình học 12 thì phần thể tích khối đa diện, trong đó có bài toán tính
thể tích khối chóp là một phần rất quan trọng. Các năm gần đây, ở các đề thi tốt nghiệp
THPT và các đề thi Đại học, Cao đẳng thường xuyên có một câu về tính thể tích khối đa
diện và chủ yếu là tính thể tích khối chóp.
Tuy nhiên thời lượng học chương trình này lại rất ít. Ở chương trình chuẩn chỉ có 2 tiết,
chương trình nâng cao cũng chỉ có 3 tiết. Bên cạnh đó nội dung trong sách giáo khoa
chưa phân được các dạng toán cụ thể . Chẳng hạn để tính thể tích khối chóp, ở chương
trình SGK nâng cao Hình học lớp 12, chỉ đưa ra được một ví dụ minh họa đó là: “Tính
thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a”. SGK chỉ dừng lại ở ví dụ trên mà không
có thêm bất cứ một ví dụ nào khác, cũng như không nêu rõ các bước giải toán khi mà
hình chóp không phải là hình chóp đều. Điều này đã gây khó khăn lớn với hầu hết học
sinh khi làm bài tập tính thể tích các khối chóp khác nhau.
II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1.Thực trạng:
Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy ở trường THPT Đặng Thai Mai, với phần đa số là học
sinh thuộc trung bình, tôi nhận thấy rằng phần lớn các em đều không hứng thú học hình
không gian trong đó có phần tính thể tích khối chóp. Các em gần như bỏ qua phần này
hoặc chỉ học mang tính chất đối phó. Điều đó dẫn đến các em không đạt yêu cầu khi giải
các bài toán về thể tích khối chóp.
2.Kết quả của thực trạng
Tôi đã cho tiến hành khảo sát ở ba lớp12 năm học 2009 - 2010: 12C1, 12C2, 12C3 tại


15(33,3%) 13(28,9%)

10(22,2%)

7
(15,6%)

12C2

47

11(23,4%) 9(19,1 %)

6(12,8%)

4 (8,5%)

12C3

43

12(27,9%) 7(16,2%)

5(11,6%)

3 (7 %)

Từ bảng trên ta thấy có đến hơn 67% không vẽ đúng hình, trên 71% học sinh
không xác định được đường cao của hình chóp, trên 77% không tính được thể tích và trên



(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công thức thể tích
1 uuur uuur uuur

khối chóp ABCD: V= 3  AB, AC  . AD
2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện:
Bài giảng được thực hiện qua các tiết dạy bồi dưỡng học sinh, tự chọn, ôn tập hoặc phụ
đạo nhằm khắc phục thời lượng hạn chế theo Phân phối chương trình.
Cung cấp cho học sinh các dạng toán tính thể tích khối chóp (phương pháp, ví dụ minh
họa và bài tập áp dụng giúp học sinh tự rèn luyện, ôn tập) :
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V=

1
B.h
3

(1)

( B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Dạng này được sử dụng ở các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng chứa đa giác đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy. Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).SA=a, tam



Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=a,
tam giác ABC có A= α và AB=b, AC=c. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải:

S

Ta có SA ⊥ ( ABC ) nên SA
là đường cao của hình chóp S.ABC
S ABC =

1
bc sin α
AB. AC sin α =
2
2

.

C

a

Thể tích khối chóp S.ABC là:
c

1
1 1
1

và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA.
B
Suy ra SCA =600 và SA=AC.tanSCA=
a

2 .tan60

0

=a

6

C

Diện tích đáy ABCD bằng SABCD=AB2=a2.
Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

V=

1
1
a3 6
SA.S ABCD = a 6.a 2 =
3
3
3

(đvtt)



SABCD=2SACD
2

Suy ra thể
S.ABCD

tích

khối

1
1 a 2 3 a3 3
V = SA.S ABCD = a.
=
3
3
4
12

A

mà

B

2

1
1a 3 a 3

B

A

D

C

6


SA là đường cao của hình chóp
Ta có: SABCD=AB2=a2,
AC= AB 2 + BC 2 = a 2 . SA ⊥ AC (vì SA ⊥ (ABCD) ), suy ra AC là hình chiếu vuông góc
của SC xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc SCA bằng 300.
Xét tam giác SAC vuông tại A có SA=AC.tanSCA =
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD :

a 2.tan 300 =

a 6
3

1
1 a 6 2 a3 6
V = SA.S ABCD =
.a =
3
3 3
9


3 a.

Mặt khác MN// BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và
S BCMN =

3
3 1
3a 2
S ABC = . BA.BC =
4
4 2
2
1

Thể tích khối chóp S.BCMN: V= 3 .SA.S BCMN

= a3 3

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=a, hai mặt phẳng
(SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy.Góc tạo bởi SC và mặt đáy bằng 60 0.Tính thể
tích khối chóp.

7


Trường hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không chứa mặt bên) cùng

=60 .Theo định lí Pitago ta có:

600

IC = ID 2 + DC 2 = a 2 + a 2 = a 2 ⇒ SI=IC

D
.tan
SCI= a

C

2.tan 600 = a 6

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ta có
SABCD= S ABCD =

( AB + CD). AD (2a + a)2a
=
= 3a 2
2
2
1

1

Thể tích khối chóp S.ABCD: V= 3 SI .S ABCD = 3 .a

6.3a 2 = a 3 6


vuông ABCD nên MN ⊥ BC suy ra SN
(ABCD) là góc SNM= 450.

⊥ BC

N

C

và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

Ta có MN=a và SM=MN.tanSNM=a.tan450=a. SABCD=AB.AD=a2
Thể tích khối chóp S.ABCD: V=

1
a3
SM .S ABCD =
3
3

(đvtt)

Ví dụ 9:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD=120 0. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) .Góc giữa hai mặt phẳng SA và (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
Lời giải:
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABCD

a 3
tan 600 =
.
2
2
a2 3
2

SABCD=AB.AD.sinBAD =a2.sin1200 =
Thể tích khối chóp S.ABCD: V=

.

1
1 a 3 a2 3 a3
SO.S ABCD = .
.
=
3
3 2
2
4

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SH= a .Tính thể tích khối chóp S.CDMN
Trường hợp 4: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.


2

suy ra SH ⊥ (ABCD) hay SH là đường cao

.

K là hình chiếu vuông góc của D trên AB
S

1
3 3a 2
SABCD= KD.( AB + CD) =
2
4

Thể tích khối chóp S.ABCD:
V=

1
1
3 3a 2 3a 3
.SH .S ABCD = .a 3.
=
3
3
4
4

(đvtt)

= 2 + 2 ⇒ SH =
2
SH
SA SB
2

.

Thể tích khối chóp S.BMDN:
V=

1
1 a 3
a3 3
SH .S BMND = .
.2a 2 =
3
3 2
3

H

A

1
SBMND= MN .DB = 2a 2
2

M



I

Xét tam giác vuông SCI vuông cân tại I
D

C

11


Có SI =IC=

CB 2 + BI 2 = a 2 + a 2 = a 2 ,

SABCD=AB2=4a2
Thể tích khối chóp S.ABCD:

V=

1
4a 3 2
SI .S ABCD =
3
3

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAB) vuông góc với

1
a2
AB. AC =
2
2

a
C

Thể tích khối chóp S.ABC là:
1
1 1
1
V = SA.S ∆ABC = a. a 2 = a 3 (đvtt)
3
3 2
6

Ví dụ 14:

a
A
a
B

12


Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc, SA=a, AB=AC= b.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.

6

B

Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC= SA.S ∆ABC = a. b 2 = ab 2 (đvtt)
Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,AC đôi một vuông góc, SA=a, AB=b,
AC=c.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Trường hợp 6: Khối chóp đa giác đều.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy ).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 15:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a
mặt đáy bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCS

2

,góc tạo bởi cạnh bên và

Lời giải:
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có SO ⊥ (ABC)
nên SO là đường cao của hình chóp. Xét tam giác SOA vuông tại O có góc
giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc
SAO =450.Suy ra AO=SA.cosSAO=a ,A
SO=SA.sin SAO=a. Gọi M là trung điểm
của BC ta có :


a3 3
.SO.S ABC =
3
4

(đvtt)

Ví dụ 16:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt
đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Lời giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, khi đó SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO là
đường cao của hình chóp. Gọi M là trung điểm của
cạnh BC khi đó OM ⊥ BC và SM ⊥ BC, góc giữa Smặt phẳng
(SBC) và mặt phẳng (ABCD) là
góc SMO =600.
Xét tam giác SOM vuông tại O có
SO=OM.tan600=

D

a
a 3
. 3=
2
2

SABCD=AB2=a2.
Thể tích khối chóp S.ABCD: V=



Phương pháp:
- Tính thể tích khối chóp S.ABC
- Lập tỉ số các cạnh từ đó suy ra thể tích khối chóp S.A’B’C’.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 17:
Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của AB và
AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích hai phần đó
Lời giải: Ta có

A

VAB 'CD ' AB '. AC. AD ' 1
1
=
= ⇒ VAB 'CD ' = V
VABCD
AB. AC. AD
4
4

D'
B'

1
3
⇒ VBCDD ' B ' = V − V = V
4
4


2

B'
D

2

A

SA SA
4a .4a
8
. 2 = 2 2 =
2
SB SC
5a .6a
15

Suy ra

8
VS.AB’C’= VS . ABC
15

D'

O

mà


khối chóp ABCD:
Phương pháp:

1  uuur uuur  uuur
V=  AB, AC  . AD
3

(2)

- Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz phù hợp

- Tọa độ hóa bài toán.
- Áp dụng công thức (2) để tính thể tích khối chóp .
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 19:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2 , SA=a và
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC,
I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tich khối tứ diện ANIB.
Lời giải:

E

Dựng hệ trục tọa độ Oxyz
Sao cho O trùng với A,Ox
Trùng với tia AD,Oy trùng
với tia AB,Oz trùng với tia

H

A

1 uur
a 3 a
IB ⇒ IM = − IB ⇒ I (
; ;0) NA (
; − ; ), NB (
; ; )
2
2
2 3
2
2 2
2
2 2

B(0;a;0), C(a

2 ;a;0),

S(0;0;a).

Khi đó M(

Ta có MI=

uur − a 2 a − a
uuu
r uuur
 a2
a2 2 
, NI (

1
2
4a
AC ⇒ IH = AA ' =
.
2
3
3

Kẻ HN//BC và HP//AB khi đó

1
2a
2
2a
2 a 2a 4 a
HN = BC =
, HP = AB =
⇒ I( ; ; )
3
3
3
3
3 3 3 A'
uu
r  2a a 4a  uur  2a 2a 4a 
⇒ IA  − ; ; − ÷, IB  − ; − ; − ÷,
3 
3
3 

=
6
6 9
9
9

(đvtt)
A

Bài tập áp dụng:

C

H
P
N

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N, P lầnB lượt là trung điểm
của các cạnh AB, AD và A’D’ . Tính theo a thể tích khối chóp C’.MNP

17


C.KẾT LUẬN
1.Kết quả nghiên cứu:
Sau khi áp dụng phương pháp trên vào ba lớp đã nêu, tôi đã cho học sinh kiểm tra qua ba
bài toán sau:
Bài 1(6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt
phẳng (SAC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc tạo bởi (SCD) và mặt đáy bằng 60 0.
Tính thể tích khối chóp.

45

5(11,1%) 23(51,1%) 16(35,6%) 1(2,2%) 0(0 %)

12C2

47

6(12,8%) 20(42,6%) 19(40,4%) 2(4,2%) 0(0 %)

12C3

43

4(9,3%)

17(39,5%) 9(20,9 %)

2(4,7
%)

1(2,3 %)

Kết quả cho thấy chất lượng từ trung bình trở lên đạt trên 97% trong đó có trên 21% đạt
khá giỏi. Như vậy có thể thấy hiệu quả rõ rệt khi thực hiện phương pháp trên vào dạy
học. Điều đặc biệt quan trọng hơn nữa mà phương pháp đem lại đó là đã tạo được niềm
tin ở bản thân, sự say mê và hứng thú rất cao của các em khi giải các bài toán tính thể
tích khối chóp nói riêng và bài toán hình học không gian nói chung.
2.Ý kiến đề xuất: