SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
“MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT”

1


PHẦN THỨ NHẤT : ĐẶT VẤN ĐỀ
1,Lý do chọn giải pháp :
Bất đẳng thức được coi là câu khó nhất trong các đề thi Đại học môn toán và các đề thi
học sinh giỏi . Đa phần giáo viên không chú trọng tới phần tới câu bất đẳng thức . Điều
này dẫn tới một thực trạng là học sinh rất sợ câu bất đẳng thức. Thực ra với một đề tài
hay và khó này , lựa chọn bỏ qua nó đúng là đơn giản . nhưng đã bao giờ bạn nghĩ tới
chuyện dũng cảm đối đầu với khó khăn để có thể vượt qua chính bản thân mình ?
Nếu thực sự mong muốn như vậy thì tập giải pháp này xin được giành cho bạn một cách
trân trọng nhất , nó là kinh nghiệm đúc kết của bản thân tôi sau nhiều năm công tác giảng
dạy , nghiên cứu về đề tài bất đẳng thức. Những con đường tư duy, những kỹ năng quan
trọng , những thuật toán hiệu quả nhất sẽ được chia sẻ .
Trên thực tế , không các giáo viên và học sinh dù đã được xây dựng cho mình nền kiến
thức khá chắc chắn , nhưng vẫn khó khăn trước những bài toán bất đẳng thức cơ bản nhất
. Bạn có thể có kiến thức , nhưng việc xâu chuỗi và sử dụng kiến thức đó nói cách khác là
khả năng vận dụng để thu được lời giải lại là vấn đề khác . Tập giải pháp này sẽ đưa ra
các kỹ thuật các phương pháp giải cho từng dạng Toán .
2, Mục đích nghiên cứu :
Nắm được cách giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của
hàm số bằng các phương pháp giải
3, Nhiệm vụ nghiên cứu :
Phân loại và đưa ra các phương pháp giải bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá
trị lớn nhất nhỏ nhất bằng các phương pháp giải : như sử dụng bất đẳng thức , lượng giác

nó còn có ý nghĩa to lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức,
kĩ năng tính toán, suy luận logic để giải quyết những vấn đề trong thực tế cuộc sống.
Trong quá trình dạy học bài tậpToán, vai trò tự học của học sinh là rất cần thiết. Để giúp
học sinh khả năng tự học, người giáo viên phải biết lựa chọn bài tập sao cho phù hợp, sắp
xếp chúng một cách có hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và hướng dẫn
cho học sinh cách giải để tìm ra được bản chất của bài Toán..
1.Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông
4


1.1 Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông
1.1.1 Mục đích, ý nghĩa của việc giải bài tập:
- Quá trình giải một bài tập Toán là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài toán, dựa
vào kiến thức Toán để tìm ra những cái chưa biết trên cơ sở những cái đã biết. Thông qua
hoạt động giải bài tập, học sinh không những củng cố lý thuyết và tìm ra lời giải một
cách chính xác, mà còn hướng cho học sinh cách suy nghĩ, lập luận để hiểu rõ bản chất
của vấn đề, và có cái nhìn đúng đắn khoa học. Vì thế, mục đích cơ bản đặt ra khi giải bài
tập Toán là làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn những quy luật Toán , biết phân tích và
ứng dụng chúng vào những vấn đề thực tiễn, vào tính toán kĩ thuật và cuối cùng là phát
triển được năng lực tư duy, năng lực tư giải quyết vấn đề.
- Muốn giải được bài tậpToán , học sinh phải biết vận dụng các thao tác tư duy, so
sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…để xác định được bản chất Toán. Vận dụng
kiến thức Toán để giải quyết các nhiệm vụ học tập và những vấn đề thực tế của đời sống
chính là thước đo mức độ hiểu biết của học sinh. Vì vậy, việc giải bài tập Toán là phương
tiện kiểm tra kiến thức, kĩ năng của học sinh.
1.1.2Tác dụng của bài tập Toán trong dạy họcToán:
1.1.2.1Bài tập giúp cho việc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức
Trong giai đoạn xây dựng kiến thức, học sinh đã nắm được cái chung, cái khái quát
của các khái niệm, định luật và cũng là cái trừu tượng. Trong bài tập, học sinh phải vận
dụng những kiến thức khái quát, trừu tượng đó vào những trường hợp cụ thể rất đa dạng,

khó được nâng dần lên giúp học sinh phát triển tư duy.

6


Có nhiều bài tập Toán không chỉ dừng lại trong phạm vi vận dụng những kiến thức
đã học mà còn giúp bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo.
1.1.2.6 Giải bài tập Toán để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh
Bài tập Toán cũng là một phương tiện có hiệu quả để kiểm tra mức độ nắm vững
kiến thức của học sinh. Tùy theo cách đặt câu hỏi kiểm tra, ta có thể phân loại được các
mức độ nắm vững kiến thức của học sinh, khiến cho việc đánh giá chất lượng kiến thức
của học sinh được chính xác.
2.Phân loại bài tập Toán :
2.2.Phân loại theo nội dung
Người ta dựa vào nội dung chia các bài tập theo các đề tài của tài liệu Toán . Sự
phân chia như vậy có tính chất quy ước vì bài tập có thể đề cập tới những kiến thức của
những phần khác nhau trong chương trình Toán . Theo nội dung, người ta phân biệt các
bài tập có nội dung trừu tượng, bài tập có nội dung cụ thể .
- Bài tập có nội dung trừu tượng là trong điều kiện của bài toán, bản chất được nêu
bật lên, những chi tiết không bản chất đã được bỏ bớt.
- Bài tập vui là bài tập có tác dụng làm giảm bớt sự khô khan, mệt mỏi, ức chế ở học
sinh, nó tạo sự hứng thú đồng thời mang lại trí tuệ cao.
2.3. Phân loại theo yêu cầu rèn luyện kĩ năng, phát triển tƣ duy học sinh trong
quá trình dạy học: có thể phân biệt thành bài tập luyện tập, bài tập sáng tạo, bài tập
nghiên cứu, bài tập thiết kế
- Bài tập luyện tập: là loại bài tập mà việc giải chúng không đòi hỏi tư duy sáng tạo
của học sinh, chủ yếu chỉ yêu cầu học sinh nắm vững cách giải đối với một loại bài tập
nhất định đã được chỉ dẫn

7

Đối với học sinh phổ thông, vấn đề giải và sửa bài tập gặp không ít khó khăn vì học
sinh thường không nắm vững lý thuyết và kĩ năng vận dụng kiến thứcToán . Vì vậy các
em giải một cách mò mẫm, không có định hướng rõ ràng, áp dụng công thức máy móc và
nhiều khi không giải được. Có nhiều nguyên nhân:
- Học sinh chưa có phương pháp khoa học để giải bài tập Toán.
Việc rèn luyện cho học sinh biết cách giải bài tập một cách khoa học, đảm bảo đi
đến kết quả một cách chính xác là một việc rất cần thiết. Nó không những giúp học sinh
nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kĩ năng suy luận logic, làm việc một cách khoa
học, có kế hoạch.
Quá trình giải một bài tập Toán thực chất là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài tập,
xác lập được những mối liên hệ cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức Toán vào điều kiện
cụ thể của bài tập đã cho. Từ đó tính toán những mối liên hệ đã xác lập được để dẫn đến
lời giải và kết luận chính xác. Sự nắm vững những mối liên hệ này sẽ giúp cho giáo viên
định hướng phương pháp dạy bài tập một cách hiệu quả.
Bài tập Toán rất đa dạng, cho nên phương pháp giải cũng rất phong phú. Vì vậy
không thể chỉ ra được một phương pháp nào cụ thể mà có thể áp dụng để giải được tất cả
bài tập. Từ sự phân tích như đã nêu ở trên, có thể vạch ra một dàn bài chung gồm các
bước chính như sau:
3.1. Tìm hiểu đầu bài, tóm tắt các dữ kiện
- Đọc kĩ đề bài, tìm hiểu ý nghĩa của những thuật ngữ quan trọng, xác định đâu là ẩn
số, đâu là dữ kiện.
- Dùng kí hiệu tóm tắt đề bài cho gì? Hỏi gì?.
3.2. Xây dựng lập luận
Thực chất của bước này là tìm quan hệ giữa ẩn số phải tìm với các dữ kiện đã cho.
Đối chiếu các dữ kiện đã cho và cái phải tìm liên hệ với nhau như thế nào, qua công thức.
9


3.2.1 Đối với những bài tập tổng hợp phức tạp, có hai phương pháp xây dựng lập
luận để giải:

6. Lựa chọn và sử dụng bài tập trong dạy học Toán
6.1. Lựa chọn bài tập
Hệ thống bài tập mà giáo viên lựa chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau:
- Bài tập phải đi từ dễ tới khó, từ đơn giản đến phức tạp (phạm vi và số lượng các
kiến thức, kĩ năng cần vận dụng từ một đề tài đến nhiều đề tài, số lượng các đại lượng
cho biết và các đại lượng cần tìm…) giúp học sinh nắm được phương pháp giải các loại
bài tập điển hình.
- Mỗi bài tập phải là một mắt xích trong hệ thống bài tập, đóng góp một phần nào đó
vào việc củng cố, hoàn thiện và mở rộng kiến thức.
- Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập: bài tập giả tạo và bài tập có
nội dung thực tế, bài tập luyện tập và bài tập sáng tạo, bài tập cho thừa hoặc thiếu dữ
kiện, bài tập mang tính chất ngụy biện và nghịch lý, bài tập có nhiều cách giải khác nhau
và bài tập có nhiều lời giải tùy theo điều kiện cụ thể của bài tập mà giáo viên không nêu
lên hoặc chỉ nêu lên một điều kiện nào đó mà thôi.
 Bài tập giả tạo: là bài tập mà nội dung của nó không sát với thực tế, các quá trình
tự nhiên được đơn giản hóa đi nhiều hoặc ngược lại, cố ý ghép nhiều yếu tố thành một
đối tượng phức tạp để luyện tập, nghiên cứu. Bài tập giả tạo thường là bài tập định lượng,
có tác dụng giúp học sinh sử dụng thành thạo các công thức để tính đại lượng nào đó khi
biết các đại lượng khác có liên quan, mặc dù trong thực tế ta có thể đo nó trực tiếp được.
6.2. Sử dụng hệ thống bài tập:

11


- Các bài tập đã lựa chọn có thể sử dụng ở các khâu khác nhau của quá trình dạy
học: nêu vấn đề, hình thành kiến thức mới củng cố hệ thống hóa, kiểm tra và đánh giá
kiến thức kĩ năng của học sinh.
- Cần chú ý cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập Toán , thộng qua các biện
pháp sau
+ Biến đổi mức độ yêu cầu của bài tập ra cho các loại đối tượng học sinh khác

tuyển sinh Đại học-Cao đẳng trong nhiều năm gần đây,các bạn sẽ thấy được sự cần thiết
của việc phải trang bị cho mình những kiến thức để giải quyết bài toán ấy. Các phương
pháp cơ bản và thông dụng nhất để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
số được trình bày từ chương 2 đến chương 4
13


Chƣơng III: Phƣơng pháp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
ChƣơngIV :Phƣơng pháp lƣợng giác hóa tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
ChƣơngV:Phƣơng pháp chiều biến thiên hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số.
CHƢƠNG I:
1:Những kĩ năng quan trọng cần nhớ trong chứng minh bất đẳng thức :
1.1-Định luật bảo toàn dấu bằng trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất -giá trị nhỏ nhất :
Nếu như trong vật lí có định luật bảo toàn năng lượng,trong hóa học có định luật bảo toàn
khối lượng thì trong bất đẳng thức toán học ,ta cần biết đến định luật bảo toàn dấu
bằng.Cụ thể là khi gặp một bất đẳng thức,bạn có thể có nhiều hướng tiếp cận nhưng
chung quy lại,khi kết thúc nó bạn luôn luôn phải “bảo toàn”được dấu bằng trong quá
trình đánh giá.Điều này có nghĩa là lời giải của bạn chỉ tồn tại một đánh giá nào đó không
bảo đảm được dấu bằng thì lời giải đó chắc chắn sai.hãy xét ví dụ đơn giản sau để hiểu
hơn
VD: chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta luôn có
sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai số có dạng
Ta có:

a 2  4b2  4ab

Lời giải đúng:


chon điể dơi đẻ tì dấu bằng của bài toán.
1.2Độ mạnh yếu trong chứng minh bất đẳng thức:
Chắc chắn bạn sẽ băn khoăn, học toán chứ có phải thi võ đau mà xét mạnh yếu?
Tôi biết nghe có vẻ lạ nhưng thục sự khái niêm mạnh yếu là một vai trò rất quan trọng
trong việc giải toán bất đẳng thức. Nó cho ta biết trong hàng nghìn nbất đẳng thức nào có
thể so sáng với nhau và mối quan heẹ cụ thể giữa chúng.Ngoài ra, từ đo ta có thể nhận
biết được trong một nhóm bất đẳng thức cùng dạng bất đẳng thức nào sẽ dễ hơn khó hơn.
Thông thường,bất đẳng thức càng mạnh(tức càng chặt) thì càng khó và ngược lại.
Thực ra định nghĩa tổng quát về đọ mạnh yếu của bất đảng thức khá phức tạp đói với học
sinh phổ thông nên vì tính mục đích của giải pháp tôi chỉ nêu một hệ quả quan trọng suy
ra từ định nghĩa:
Hệ quả:
Nếu từ bất đẳng thức 1 suy ra được bất đẳng thức 2 nhưng từ hai ta không thể suy ngược
lại 1 thì ta nói bất đẳng thức 1 mạnh hơn bất đẳng thức 2
Ví dụ 1:Ta có chuỗi bất đẳng thức dạng A  B  C
15


Dựa vào định nghĩa trên ta có kết luận:
-Bất đẳng thức B  C mạnh hơn bất đẳng thức A  C
- A  B và B  C là bất đẳng thức có thể so sánh được với nhau
Ví dụ 2:Chứn minh 3>1
Ta chỉ có thể chứng minh 3>2,2>1.Tuy nhiên nếu ta đánh giá 3>0 thì cần phải chỉ ra
0>1,tuy nhiên bất đẳng thức này bị ngược dấu
Như vậy trên thực tế khái niệm mạnh yếu còn giúp còn giúp ta thấy được sai lầm mình
phải mắc cụ thể là ở bước nào.
1.3Biến đổi tƣơng đƣơng
Có một kĩ năng thường xuyên được sử dụng trong các bài toán bất đẳng thức,đó là kĩ
năng biến đổi tương đương.Khi biến đỏi tương đương,thì những bất đẳng thức thu được
sẽ tương đương với bất đẳng thức ban đầu.Bất đẳng thức ban đầu đúng thì bất đẳng thức

đưa bất đẳng thúc đã cho vè dạng tương đương giúp việc đánh giá trở nên thuận lợi hơn.

16


Những phép toán đại sô thường sử dụng là chuyển vế đổi dấu, quy đòng mẫu số,thêm
bớt....Một trong những phương pháp biến đổi tuơng đương là kỹ năng đồng bậc hoá,
1.4: Bậc của bất đẳng thức và kĩ năng đồng hóa :
- Trước tiên ta cần năm vưng hai quy ước sau
Bậc của một bất đẳng thức là soó mũ cao nhất của hạng tử trong đó.
Ví dụ:
+) x 2  2x  3  0 là một bất đẳng thúc bậc hai vì hạng tử

x2

có số mũ cao nhất

Một bất đẳng thức được gọi là đòng bậc nếu có dạng f ( x1 , x2 ...., xn )  0 trong đó

f ( x1 , x2 ...., xn )

là một đa thức đòng bậc
Ví dụ:
+)2 a2b3  a2  a2b6 là một bất đẳng thức không đong bậc vìnó có thể viêt lại thành
f(a,b)= a 2  a 2b6  2a 2b3  0 với f(a,b) chứa các hạng tử bậc 2,8,5
2: Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2.1-Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số :
Đinh nghiã 1:xét hàm số f(x) với x  D .Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất của hàm số trên
D,nếu như thỏa mãn điều kiện sau:


m  min f ( x)
xD

Như vậy định nghĩa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều có hai phần. Cần lưu ý rằng cả hai
phần đều quan trọng như nhau, không được xem nhẹ phần hai.
Xét ví dụ sau đây:
Cho x>0,y>0 và

x2  y 2  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

 1
 1
P  (1  x) 1    (1  y ) 1  
y
 x


Xét phép giả sau đây:
ta có

x

1 
1  x y

P  2x  y   
x 

y
 1  y 
y y
x
x

1  
1   x y 11 1
     2
 y
2x  
2y   y x  2  x y 
x

(1)

1
1
 2; y 
 2;
2x
2y

(2)

x y
 2
y x

(3)

2 2

(5)

S 3 24

(6)

Dấu bằng trong (6) xảy ra khi đòng thời co dấu bằng trong (2) (3) (5)
x y

2
2

Như vậy tồn tại ( x0; y0 ) thỏa mãn x02  y02  1 và S  3
theo định nghĩa về giá trị nhỏ nhất ta có

24

khi

x  x0 ; y  y0

m inS  3 2  4

Qua ví dụ này ta thấy nếu không để ý đến điều kiện 2 trong định nghĩa thì bài toán có thể
dẫn tới sai lầm.
2.2Cáctính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Tính chất 1: Giả sử f(x) xác định trên D và A,B là tập của D trong đó A  B
Giả sử tồn tại

x0  B .

f ( x0 )  max f ( x)  đpcm
xD

Tính chất 2:Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên D và thỏa mãn điều kiện
f ( x)  g ( x)x  D

19


Giả sử cùng tồn tại

max f ( x); max g ( x) khi
xD

Chứng minh: Giả sử

f ( x)  max g ( x)
đó ta có mxax
D
xD

xD

max g ( x)  g ( x0 ) với x0  D
xD

ta có f(x)  g ( x)x  D 





(1)

min f ( x)  min min f ( x); min f ( x)
xD

xD1

xD2

(2)

Chứng minh : Ta chứng minh 1. vì Di  D, I  1, 2 nên theo tính chất 2 ta có
m ax f ( x)  m ax f ( x); m ax f ( x)  m ax f ( x)
xD1

xD1

từ (3) suy ra

xD2



(3)

xD



phải thuộc về ít nhất 1 trong 2 tập.Từ đó có

định nghĩa về giá trị lớn nhất ta có
(5)





maxf ( x)  max max f ( x); max( x)
xD1

xD2

(6)

20


Từ 5,6 suy ra





f ( x0 )  max f ( x)  max f ( x); max f ( x)
xD1

Bây giờ từ (4) (7) ta có

D1   x; y  : x  0; y  0; 4  x  y  6

D2  ( x; y ) : x  0; y  0; x  y  4

Khi đó rõ ràng

D  D1  D2

Theo nguyên lý phân rã, ta có:





max P  max max P; max P

x , yD

với mọi

x , yD1

x , yD2

( x; y)  D1  4  x  y  0

(1)
vì x  0 , y  0 nên P  0 ( x; y)  D1 .

Lại có (2;2)  D1 và khi đó P=0, nên m


hay

P  4  x; y   D2

21


Mặt khác từ

x  2
x
 y  4 x y  
2
 y 1

Rõ ràng (2;1)  D2  xm, yaxD P  4

(3)

Từ (1) (2) (3) suy ra xm, yaxD P  max 0; 4  4
Tính chất 4: giả sử hám số f(x) xác định trên D và tồn tại mxax
f ( x); min f ( x) . Khi đó ta có
xD
D
max f ( x)   min( f ( x)) ; min f ( x)   max( f ( x))
xD

xD


f1 ( x)  f 2 ( x),.....  f n ( x) .

Giả sử tồn tại mxax
f ( x), min f ( x) max fi ( x), min fi ( x)i  i, n
xD
xD
D
xD
Khi đó ta có mxax
f ( x)  max f1 ( x)  max f 2 ( x)  ......  max f n ( x)
D
xD
xD
xD
min f ( x)  min f1 ( x)  min f 2 ( x)  ....  min f n ( x)
xD

xD

xD

(1)
(2)

xD

22


Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại

f1 ( x)  f 2 ( x),.....  f n ( x)  max f1 ( x1 )  ......  max f n ( x)
xi D

xi D

(4)

Vì bất đẳ thức (4) đúng x  D nên ta có:
max f ( x)  max fi ( x)  .....  max f n ( x)
xD

xi D

(5)

xi D

Vậy (5) đúng. Bây giờ xét khả năng có dấu bằng trong (1)
Giả sử tồn tại

x0  D mà max fi ( x)  .....  max f n ( x)  f1 ( x0 )  ......  f n ( x0 ) = f ( x0 ) (6)
xD

xD

Do f ( x0 )  mxax
f ( x) , nên từ (6) suy ra
D
max f1 ( x)  ......  max f n ( x)  max f ( x)
xD

1
1  sin 2 2 x
1
1
1


2
f ( x)  sin 4 x  cos 4 x   4 
 4  1  sin 2 2 x 
4
4 
4
sin
x
c
os
x
2
sin
xcos 4 x


1
1  sin 2 2 x
1 2
 5  sin 2 x  16 2 4
 5  g ( x )  h( x )
2
sin 2 x


k
2

mà g( x0 )= 

(2)

1
.h( x0 )  8
2

g ( x); h( x0 )  min h( x)
x0 mà g ( xo )  g ( x0 )  min
k
k
x

x

2

2

Vì lẽ đó theo tính chất 5, ta có:
1
25
min f ( x)  min g ( x)  min h( x)  5    8  5 
k
k

Đặt f(x)= f1 ( x), f 2 ( x)... f n ( x) .Khi đó ta có:


 

m ax f ( x)   m ax f1 ( x),  m ax f 2 ( x),  ...  m ax f n (n), 
xD
 xD
 xD
  xD



 

min f ( x)   min f1 ( x),  min f 2 ( x),  ...  min f n (n), 
xD
x

D
x

D
x

D


 


h ( x)  m ax f ( x)  m ax g ( x)
D
xD
xD
min h ( x)  min f ( x)  min g ( x)
xD

xD

(1)
(2)

xD

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao cho
m ax f ( x)  f ( x0 ); min g ( x)  g ( x0 )
xD

xD

Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao cho
min f ( x)  f ( x0 ); m ax g ( x)  g ( x0 )
xD

xD

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh (1) .
Ta có h(x)=f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))
Theo tính chất 5 ta có
max