SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG
MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9”
A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lí luận
Kiến thức về phương trình, hệ phương trình trong chương trình toàn của bậc học phô
thông là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các
nội dung khác trong chương trình toán học, vật lí học, hoá học, sinh học của bậc học này.
Trong chương trình toán của bậc học phô thông, bắt đầu từ lớp 9 học sinh được học
về hệ phương trình, bắt đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Cùng với đó học sinh
được học hai quy tắc biến đôi tương đương một hệ phương trình là “Quy tắc thế”; “Quy
tắc cộng đại số”. Trong chương trình toán lớp 8 và lớp 9 học sinh được học khá đầy đủ về
phương trình một ẩn như: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình
chứa ẩn ở mẫu; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương
trình chứa dấu căn. Thông qua việc học các dạng phương trình trên học sinh được trang
bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đại số, điều này đồng
nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không phải
là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ, không có
một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này là hệ phương trình
không mẫu mực. Việc giải các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải
nắm rất vững các phương pháp biến đôi tương đương một hệ phương trình, các phép biến
đôi tương đương một phương trình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện ra những
đặc điểm rất riêng của từng hệ từ đó có cách biến đôi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được
hệ.
2. Cơ sở thực tiễn
sinh giỏi lớp 9 của cấp trung học cơ sở.
Nhiệm vụ cần đạt:
- Chỉ ra được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm vững
trước khi tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.
- Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực có sự sắp
xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn.
- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh theo từng
phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập khắc sâu kiến thức,
giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ phong phú cho tứng phương
pháp.
2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là hệ thống các phương pháp
giải hệ phương trình không mẫu mực, những điểm học sinh cần lưu ý khi tiến hành giải
các hệ phương trình loại này.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thiện sáng kiến này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cưu sau:
- Phương pháp duy vật biện chứng và duy vật lịch sử.
- Phương pháp trừu tượng hoá khoa học.
- Phương pháp phân tích tông hợp.
- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê.
- Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … phỏng vấn, điều tra, khảo sát điều tra thực tế.
B. NỘI DUNG
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN
NHỚ
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa:
(1)
(2)
Lời giải:
Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế)
- Từ phương trình (2) của hệ, rút y theo x ta có
hệ ta được: 3x − 2 ( 5 − 2 x ) = 4 Hay 7 x = 14 .
y = 5 − 2x .
Thay vào phương trình (1) của
- Theo quy tắc thế hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
7 x = 14
x = 2
⇔
y = 5 − 2x
y =1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2; 1) .
Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại số)
- Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1) vế với vế ta
được: ( 4 x + 2 y ) + ( 3x − 2 y ) = 10 + 4 Hay 7 x = 14 .
- Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
7 x = 14
x = 2
⇔
x = D = 7 = 2
y = Dy = 7 = 1
D 7
2. Hệ phương trình đối xứng loại một
Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại
một nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y (nghĩa là mỗi phương
trình của hệ không thay đôi khi ta đôi vai trò của x và y cho nhau).
Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ.
Cách giải thường dùng: Đặt S = x + y và
hệ đơn giản hơn đã biết cách giải.
Ví dụ. Giải hệ phương trình
P = xy ,
với điều kiện
x + y + xy = 11
2
2
x + y + 3 ( x + y ) = 28
Lời giải:
Đặt
S= x+ y
và
P = 6,
S = 5; S = −10.
nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:
t = 2
t 2 − 5t + 6 = 0 ⇔ ( t − 2 ) ( t − 3) = 0 ⇔
t = 3
Suy ra ( x; y ) = ( 2; 3) hoặc ( x; y ) = ( 3; 2 ) .
* Nếu
S = −10
thì
P = 21,
nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:
t = −3
t + 10t + 21 = 0 ⇔ ( t + 3) ( t + 7 ) = 0 ⇔
t = −7
Suy ra ( x; y ) = ( −3;
− 7)
hoặc ( x; y ) = ( −7;
2
y 3
⇔ x − y = 0 (V × x 2 + xy + y 2 + 2 = x + ÷ + y 2 + 2 > 0 ∀x, y )
2 4
⇔ y = x.
Thay
y=x
vào phương trình (1) ta được:
x = 1
x − 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x + x − 1) = 0 ⇔
x = −1 ± 5
2
3
2
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là: ( 1; 1) ;
−1 − 5 −1 − 5 −1 + 5 −1 + 5
;
;
2
( 2 y − 1) − y + y ( 2 y − 1) − 1 = 0
x = 2 y − 1
⇔
5 y ( y − 1) = 0
x = 2 y − 1 x = −1
y = 0
y = 0
⇔
⇔
x = 2 y − 1 x = 1
y = 1
y = 1
x − 2 y +1 = 0
2
2
x − y + xy − 1 = 0
Vậy hệ có hai nghiệm: ( −1; 0 ) ; ( 1; 1) .
Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta có thê
rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ, theo quy tắc thế ta
nhận được một hệ mới tương đương. Trong hệ mới nhận được có một phương trình là
phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
thay vào phương trình (1) ta được:
2 x 2 − 1
x2 − 1
2
x
÷ x +
÷ = 3x − 4 x + 1
x
x
x2 −1
y
+
1
=
x
( x 2 − 1) ( 2 x 2 − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1)
⇔
x2 −1
y +1 =
x
x = 1
x = 1
5
− 1) ; −2; − ÷.
2
Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên ta tiến
hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ. Tuy nhiên việc tính y theo x
ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét ( 0; y ) không là nghiệm của hệ để từ
đó với
x≠0
ta có thể tính
y +1 =
x2 −1
x
và hệ nhận được tương đương với hệ đã cho.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
2
2
x + y − 10 x = 0
2
2
y = −24
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: ( −1;
− 17 ) ; ( −2; − 24 ) .
Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào là phương
trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc cộng đại số trừ vế với vế
hai phương trình của hệ ta được một phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ
đó ta đã giải được hệ.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy
x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
Lời giải:
*) Dễ thấy
x=y=0
*) Các cặp số ( x ; y )
là nghiệm của hệ.
víi x = 0; y ≠ 0 hay x ≠ 0; y = 0 đều
không là nghiệm.
x = 2 y − 1
2 y − 1 + y + ( 2 y − 1) y 3 ( 2 y − 1) − y = 4 y ( 2 y − 1)
x = 2 y − 1
x = 2y − 1
⇔ 3
⇔
2
2
10 y − 19 y + 10 y − 1 = 0
( y − 1) 10 y − 9 y + 1 = 0
(
)
x = 2y − 1
41 − 1
− 41 − 1
y = 1
x=
x =
x
;
;
÷;
÷.
20 ÷
20 ÷
10
10
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( 0; 0 ) ; ( 1; 1) ;
Nhận xét: Đê giải hệ trên ta có thê biến đổi ngay từ hệ ban đầu nhờ quy tắc cộng đại số
như sau:
x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy
x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
x + y + xy ( 3 x − y ) − x + y + xy ( 2 x + y ) = 4 xy − 5 xy
⇔
x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
xy ( x − 2 y + 1) = 0
⇔
x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
x = 0
x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
y = 0
⇔
2
3 ( x + 2 y ) = 3 ( x − 4 y )
x 3 − y 3 = 9
x 3 − y 3 = 3 x 2 − 3 x + 6 y 2 + 12 y + 9
⇔ 2
⇔ 2
2
2
3x − 3x + 6 y + 12 y + 9 = 9
x + 2 y = x − 4 y
( x − 1) 3 = ( y + 2 ) 3
x −1 = y + 2
⇔
⇔ 2
2
2
2
x + 2 y = x − 4 y
x + 2 y = x − 4 y
x = y + 3
x = y + 3
⇔
⇔ 2
2
2
( y + 3) + 2 y = ( y + 3) − 4 y
y + 3y + 2 = 0
x = 2
4) 3
3
2
2
x + y = x + y
x 3 + y 3 = 1
5) 5
6)
5
2
2
x + y = x + y
x 2 + 5 x + y = 9
8) 3
2
2
3 x + x y + 2 xy + 6 x = 18
x 3 + y 3 = 9
7) 2
2
x + 2 y = x + 4 y
Bài 2: Cho hệ phương trình
x + y = 4
3)
2
( x + 1) y + xy = 4 ( y + 2 )
2
2
2 x + y = 1
x = 2 y
x = 2 y
x = 2 y
2
2
2
2
2
2 x + y = 1 2 ( 2 y ) + y = 1 9 y = 1
⇔
⇔
⇔
x = 3y
x = 3y
x = 3y
2 x 2 + y 2 = 1 2 ( 3y ) 2 + y 2 = 1
19 y 2 = 1
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm:
19
2 1 −2 −1 3 19
3 ; 3 ÷; 3 ; 3 ÷; 19 ; 19 ÷
÷;
−3 19 − 19
;
÷.
19 ÷
19
Nhận xét: Trong hệ phương trình trên, phương trình thứ nhất chính là phương trình
đẳng cấp bậc hai, tuy nhiên đối với học sinh lớp 9 không nên giải bằng cách đặt x = ky vì
với cách giải này học sinh rất khó hiêu tại sao lại nghĩ ra cách đặt đó. Chính vì vậy, khi
dạy giáo viên nên hướng dẫn học sinh hãy phân tích phương trình thứ nhất về dạng tích
và biến đổi tiếp như cách giải trên.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:
2
2
2 x − y + xy + y − 5 x + 2 = 0 (1)
2
Giải hệ (a):
y = 2 − x
x + y − 2 = 0
y = 2− x
x = 1
⇔ 2
⇔ 2
⇔
2
2
2
y =1
x + ( 2 − x ) + x + ( 2 − x ) − 4 = 0
x + y + x + y − 4 = 0
x − 2x + 1 = 0
Giải hệ (b):
2 x − y − 1 = 0
2
2
x + y + x + y − 4 = 0
x = 1
y = 1
y = 2 x − 1
y
=
2
x
−
∆ x = 9 y 2 − 18 y + 9 = ( 3 y − 3)
2
− y + 5 + 3y − 3 y +1
− y + 5 − 3y + 3
=
; x=
= −y + 2
4
2
4
y +1
*) Khi x =
⇒ y = 2 x − 1 thay vào ph ¬ng tr × nh (2) ta có ® îc :
2
−4
5 x 2 − x − 4 = 0 ⇔ x ∈ 1;
5
−4 −13
Khi ®ã ta ® îc nghiÖm cña hÖ là( x; y ) ∈ ( 1; 1) ; ;
÷ .
5
5
⇒x=
*) Khi x = − y + 2 ⇒ y = 2 − x thay vào (2) ta có : 2 ( x 2 − 2 x + 1) = 0 ⇔ x = 1
2
( x + y)
2
( x2 + y2 )
x+ y
( x + y ) ( x2 + y 2 ) + ( x + y )
2
=1
( x2 + y 2 ) ( x + y )
x+ y
( x + y 1) ( x 2 + y 2 ) + ( x + y 1) ( x + y )
x+ y
=0
=0
⇔ ( x 2 + y 2 + 2 xy ) − 1 +
2 xy
− 2 xy = 0
x+ y
1
2
⇔ ( x + y ) − 1 + 2 xy
− 1÷ = 0
x+ y
⇔ ( x + y − 1) ( x + y + 1) ( x + y ) − 2 xy ( x + y − 1) = 0
⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) ( x + y + 1) − 2 xy = 0
⇔ ( x + y − 1) ( x 2 + y 2 + x + y ) = 0
( Do x + y > 0 nên x
⇔ x + y −1 = 0
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau
2
+ y 2 + x + y > 0)
x 2 + 4y2 = 5
4 xy + x + 2 y = 7
7
x 2 + 4y2 = 5
⇔
x + 2 y = 3
4
xy
+
x
+
2
y
=
7
(b)
4 xy + x + 2 y = 7
Giải hệ (a):
x = −2 y − 4
x + 2 y = −4
x = −2 y − 4
⇔
⇔ 2
4 xy + x + 2 y = 7
8 y + 16 y + 11 = 0
4 y ( −2 y − 4 ) + ( −2 y − 4 ) + 2 y = 7
⇔
1
y = 1
y=
2
2
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: ( 1; 1) ;
1
2; ÷.
2
Nhận xét: Trong hệ trên chưa có phương trình nào của hệ có thê đưa ngay về dạng tích,
tuy nhiên bằng việc cộng vế với vế hai phương trình của hệ theo quy tắc cộng đại số ta
nhận được một hệ mới, trong hệ mới này có một phương trình đưa được về dạng tích.
BÀI TẬP.
Giải các hệ phương trình sau:
x 3 − 6 x 2 y + 9 xy 2 − 4 y 3 = 0
1)
x − y + x + y = 2
y −3
x+ y + x+3 =
2
4 x + y = 5(2 x − y ) xy
x 2 + xy + 2 y = 2 y 2 + 2 x
9)
y x − y + 1 + x = 2
2
2 x + 2 xy + y = 5
11) 2
y + xy + 5 x = 7
x 3 + 7 x = y 3 + 7 y
13) 2
2
x + y = x + y + 2
x 2 + y 2 + x + y = 4
15)
x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2
x 2 − 3 x( y − 1) + y 2 + y ( x − 3) = 4
8)
x − xy − 2 y = 1
2
y = ( 5 x + 4 ) ( 4 − x )
10)
2
2
−5 x + y − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0
2
2
x + x = y + y
Lời giải:
* Nhận thấy mọi cặp số ( x; y ) với y = 0 đều không phải là nghiệm của hệ.
* Khi
y ≠ 0,
chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được hệ:
x2 + 1
y + ( x + y) = 4
2
( x + y ) 2 = 2. x + 1 + 7
y
Đặt
x2 + 1
u
=
y ,
v = x + y
khi đó hệ trên trở thành:
thay vào cách đặt ẩn phụ ta được:
x2 + 1
= 1 y = x2 + 1 x2 + x − 2 = 0
x = 1
x = −2
⇔
⇔
⇔
hoÆc
y
y = 2
y = 5
y = 3− x
y = 3− x
x + y = 3
* Với
u = 9
v = −5
thay vào cách đặt ẩn phụ ta được:
x2 + 1
khăn vì không thê sử dụng được quy tắc thế hay quy tắc cộng đại số.
- Đê có thê làm xuất hiện những yếu tố được lặp đi lặp lại trong các phương trình của
hệ, nhờ đó ta đặt được ẩn phụ thì cần chia cả hai vế của từng phương trình cho y ≠ 0 .
4
2
2
x − 4x + y − 6 y + 9 = 0
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: 2
.
2
x y + x + 2 y − 22 = 0
Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
2
2
2
( x − 2) + ( y − 3) = 4
( x − 2) + ( y − 3) = 4
⇔ 2
2
2
2
Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là:
x = 2 x = −2
;
;
y = 3 y = 3
x = 2
;
y = 5
x = − 2
.
y = 5
Nhận xét:
- Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ đê xuấn hiện bộ phận đê đặt ẩn phụ khá
dễ nhận ra việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương trình thứ nhất của hệ.
- Ta cũng có thê giải hệ trên nhờ phương pháp thế bằng cách tính y theo x từ
phương trình thứ hai rồi thay vào phương trình thứ nhất. Tuy nhiên theo cách này
sẽ xuất hiện một phương trình bậc 8 rất khó giải.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau:
3
x+ y
3
2
=7
2
4 ( x + y ) − 4 xy +
x + y)
(
⇔
( x + y ) + 1 + ( x − y ) = 3
x+ y
1
2
2
3 ( x + y ) +
+ ( x − y) = 7
2
( x + y )
⇔
1
( x + y ) + x + y + ( x − y ) = 3
1
=2
x + y = 1 x = 1
x + y +
x+ y
⇔
⇔
x
−
y
=
1
y = 0
x − y = 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
x = 1
.
y = 0
Nhận xét: Việc biến đổi hệ trong ví dụ này nhận thấy ngay phải sử dụng hằng đẳng thức
2
đáng nhớ đê nhằm xuất hiện ( x + y ) , đó chính là cơ sở đê thực hiện cách biến đổi hệ tạo
+
xy
=
−
4
Hệ đã cho tương đương với
.
( x 2 + y ) 2 + xy = − 5
4
5
a + ab + b = −
x + y = a
4
Đặt
, khi đó ta được hệ mới
xy = b
a 2 + b = − 5
4
2
Giải hệ phương trình mới nhận được ta có:
5
5
b
=
−
4
4
⇔
⇔
a = − 1 ; b = − 3
b = − 5 − a 2
4
2
2
3
10
2
2
x=
a = 0
x + y=0
y = −x
2
1
2
1
x
+
y
=
−
2
x = 1
2 ⇔ y = −x − 2 ⇔
3
3
y
=
−
3
xy = −
2 x + x − 3 = 0
2
trình
sau:
x + y + 1 + 1 = 4 ( x + y ) 2 + 3. x + y
3
2 x − y =
2
Lời giải:
* ĐK:
* Đặt
x+ y ≥0
t = x + y; t ≥ 0.
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành :
1 − 2t
= ( 2t − 1) ( 2t + 1)
t + 1 + 3t
1
⇔ ( 1 − 2t )
+ 2t + 1 = 0
2
; − ÷.
6
3
- Trong ví dụ trên việc đặt ẩn phụ lại không tiến hành theo lối thông thường, là biến
đổi hệ đê xuất hiện biêu thức đặt ẩn phụ mà việc đặt ẩn phụ chỉ tiến hành ở
phương trình thứ nhất của hệ nhằm đưa phương trình thứ nhất về dạng đơn giản,
nhờ đó mà ta giải được hệ phương trình.
- Như vậy có thê nói, việc đặt ẩn phụ đòi hỏi người giải toán phải hết sức linh hoạt
trong việc chọn giải pháp biến đổi hệ đã cho nhằm xuất hiện bộ phận cần đặt ẩn
phụ. Cũng có khi việc đặt ẩn phụ chỉ nhằm mục đích biến đổi một phương trình
của hệ thành phương trình mới tương đương với với phương trình ban đầu nhưng
ở dạng đơn giản hơn, chính vì vậy giúp ta có thê giải được hệ phương trình đề toán
đặt ra.
BÀI TẬP.
Giải các hệ phương trình sau:
x 2 + 1 + y ( y + x ) = 4 y
1) 2
( x + 1) ( y + x − 2 ) = y
1
( x + y ) 1 + ÷ = 5
xy
2)
xy + 1 = 4
1
2
2 x + x − y = 2
6)
y − y 2 x − 2 y 2 = −2
2
2
2 2
x + y + x y = 1 + 2 xy
7)
2
2
x + x y + xy = y + xy + 1
x 2 − xy + y 2 = 3 ( x − y )
9)
2
2
2
x + xy + y = 7 ( x − y )
2
2
x + y + x − y = 12
8)
y x 2 − y 2 = 12
2
( x − 1)( y − 1)( x + y − 2) = 6
15) 2
2
x + y − 2x − 2 y − 3 = 0
x 2 y + 2 x 2 + 3 y − 15 = 0
16) 4
2
2
x + y − 2 x − 4 y − 5 = 0
2 x + y + 1 − x + y = 1
17)
3 x + 2 y = 4
4
3
2 2
x − x y + x y = 1
18) 3
2
x y − x + xy = −1
( x − y ) ( x 2 + y 2 ) = 13
14)
2
2
( x + y ) ( x − y ) = 25
1
+
x
−
y
(
)
z + 3 + 2x = 8
Lời giải:
Xét phương trình thứ nhất của hệ ta có:
( x − y)
2
≥ 0 ⇔ 1+ ( x − y) ≥ 1 ⇔
2
1
1+ ( x − y)
2
≤ 1 ⇔ z + 4 ≤ 1 ⇔ z ≤ −3
Mặt khác từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
Do vậy ta suy ra
Copyright: Tài liệu đại học ©