SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
“DẠY HỌC ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BÀI
TOÁN CỰC TRỊ”

1


I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán THPT nói chung và lớp 12 nói riêng, học sinh đã được
trang bị kiến thức về hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tuy nhiên
kỹ năng áp dụng phương pháp này vào giải quyết các bài toán tìm cực trị của một biểu
thức có nhiều biến số, hoặc chứng minh một bất đẳng thức của đa số học sinh còn nhiều
hạn chế. Nguyên nhân là bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị là một dạng toán
khó mà thời lượng trong chương trình lại còn ít. Kiến thức dàn trải suốt cả ba năm học
THPT gây khó khăn cho học sinh trong việc xâu chuỗi, hệ thống hoá kiền thức để hình
thành phương pháp cho bản thân. Thông thường , khi gặp bài toán trên học sinh thường
hoang mang, không biết lựa chọn phương pháp phù hợp. Vì vậy, việc làm phong phú
thêm các phương pháp giải dạng toán trên là một việc làm cần thiết, góp phần rèn luyện
tư duy, kỹ năng và thay đổi thái độ của học sinh khi tiếp cận dạng toán trên, góp phần
nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán THPT.
Xuất phát từ những suy nghĩ trên, tôi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Dạy học
áp dụng phương pháp hàm số để giải bài toán cực trị”. Đó là những kinh nghiệm của bản
thân được đúc rút trong quá trình giảng dạy môn Toán ở các lớp thuộc Ban Khoa học tự
nhiên.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
1.1 GTLN, GTNN của hàm số.
- Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D
 M ≥ f ( x), ∀x ∈ D

+ Bất đẳng thức Cô-si: Với a1;…an là các số thực không âm, ta có:
a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1a2 ...an ; đẳmg thức khi a1 = a2 = ... = an

+ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Với hai bộ số thực a1 , a2 ,...an và b1 , b2 ,...bn , ta có

( a1b1 + a2b2 + ...anbn )

2

≤ ( a12 + a22 + ...an2 ) ( b12 + b22 + ...bn2 )

Đẳng thức có khi hai bộ số tương ứng tỷ lệ.
+ Tập giá trị của hàm số: Cho hàm số y = f ( x) với tập xác định D, tập giá trị của
hàm số là : T = { y ∈ ¡ | ∃x ∈ D : y = f ( x)}
Hay : T={ y ∈ ¡ : phương trình f(x)=y ẩn x có nghiệm.
2. Thực trạng của vấn đề:
Khi giải quyết bài toán tìm cực trị của một biểu thức bằng phương pháp sử dụng sự
biến thiên của hàm số, thực chất là đi xác định tập giá trị của biểu thức, của hàm số với
điều kiện cho trước. Căn cứ vào đặc trưng của biểu thức ( Tính đối xứng của các biến,
điều kiện của các biến có tính đẳng cấp với các biến…) để tiến hành đổi biến, học sinh
thường gặp các khó khăn và hay mắc các sai lầm sau:
Sai lầm:

3


- Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai các giá trị tại các đầu mút D ( nhất là khi D
không phải là một đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác định miền GT
của hàm số).


- Xác định tập xác định: Tìm GTLN, GTNN trên tập nào? ( Xác định D)
- Chọn cách giải phù hợp khi D là một đoạn, D không là một đoạn
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x + 1 + −3x 2 + 6 x + 9
2
Lời giải: Điều kiện −3x + 6 x + 9 ≥ 0 ⇒ x ∈ [ −1;3] ( D là một đoạn)

−3 x 2 + 6 x + 9 + 3 − 3 x

Tính đạo hàm: y ' =

−3 x 2 + 6 x + 9

Tìm các điểm tới hạn thuộc [ −1;3] : y ' = 0 ⇔ −3x 2 + 6 x + 9 = 3x − 3 ⇔ x = 2
Tính giá trị của hàm tại các điểm đầu mút, tại các điểm tới hạn: f (−1) = 0; f (3) = 4; f (2) = 6
So sánh, kết luận: max f = 6 khi x =2; min f = 0 khi x =-1
x +1

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y =

x2 + 1

Lời giải: TXĐ: D = R
Ta có : y’=

(

1− x
x2 + 1


Không có giá trị nhỏ nhất của hàm số /D.
NHẬN XÉT:

5


Sai lầm: Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai các giá trị tại các đầu mút D ( nhất là
khi D không phải là một đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác định miền
GT của hàm số).
Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y= x

2

− 3x + 2 / [ −10;10]

Lời giải:
Cách 1: +) Đánh giá y ≥ 0 ∀x ∈ R . Dấu bằng xảy ra khi x =1 hoặc x =2 thuộc đoạn
[ −10;10] . Vậy GTNN của hàm số bằng 0 khi x =1 hoặc x =2.
2
+) Lập BBT của hàm số y = x − 3 x + 2 / [ −10;10] . Từ đó kết luận

GTLN của hàm số bằng 132 khi x =-10.
2
Cách 2: Lập BBT của hàm số y = x − 3x + 2 / [ −10;10]

x

-10

f’

Hoặc kết luận giá trị nhỏ nhất sai.
b. Tìm cực trị của hàm một biến phức tạp hoặc biểu thức có nhiều hơn một biến
Giáo viên lưu ý cho học sinh, tìm cách đổi biến để có được một hàm số với biến mới ở
dạng đơn giản hơn
Chú ý:
-Nếu biểu thức có dạng đối xứng với từng biến thì nó luôn được biểu diễn được qua tổng
hai biến và tích biến

6


-Nếu điều kiện là một biểu thức đẳng cấp theo từng vế ( Tốt nhất là chênh nhau một bậc)
Thì bằng phép đặt ẩn phụ x=ty ta luôn tính được x,y theot.
Ví dụ 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
Ta có: y =
Đặt t =

x3 + x 2 + x

(x

2

+ 1)

2

=

x ( x 2 + 1) + x 2

2

Để tìm điều kiện của t, có thể sử dụng công cụ bất đẳng thức, hoac phương pháp miền
giá trị như sau:
Cách1: Dùng BĐT Cô-si
+ Với x=0 thì t=0.
1 x2 + 1
1
1
1
 1 1
+ Với x ≠ 0 , xét t = x = x + x ⇒ t = x + x = x + x ≥ 2 ⇒ t ∈  − 2 ; 2 



Cách2: t là một GT của biểu thức ⇔ Phương trình t =
2
⇔ tx 2 − x + t = 0 có nghiệm ⇔ ∆ = 1 − 4t ≥ 0 ⇔

x
ẩn x có nghiệm
x +1
2

1
1
≤t≤
2
2


Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1
Đặt t = 1 − x 2 + 1 + x 2
Tìm điều kiện của t:
7


Cách1: Dùng BĐT
Theo Bunhia ta có: ( 1 − x 2 + 1 + x 2 ) 2 ≤ 2. ( 1 − x 2 + 1 + x 2 ) = 4 ⇒ t ≤ 2
Cũng có: t 2 = ( 1 − x 2 + 1 + x 2 ) 2 = 2 + 2 1 − x 4 ≥ 2 ⇒ t ≥ 2 .Vậy t ∈  2;2 
Cách2: Khảo sát hàm t = 1 − x 2 + 1 + x 2
t2 + t +1
Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
, với t ∈  2;2 
t +1

Kết quả: Maxy=

7
tại x=0; Miny= 2 2 − 1 tại x=1
3
1

Ví dụ 6: Cho x,y là hai số thực dương thoả mãn 4x+9y=6. Tìm GTLN của P = 2 xy + xy + 2 .
Hướng dẫn
Cách 1: Rút xy theo x rồi thế vào P, thu được hàm một biến số
Cách 2: Coi xy là biến số, vậy phải tìm điều kiện cho xy :
- Có thể thông qua đánh giá:

6 = 4 x + 9 y ≥ 2 4 x.9 y = 12 xy ⇒ xy ≤


1
4

Ví dụ 7:
Cho cos 2 x + cos 2 y = 1, ∀x, y ∈ ¡

; Tìm GTNN của biểu thức A = tan 2 x + tan 2 y

Lời giải:
Biến đổi biểu thức A để sử dụng được điều kiện:
A = tan 2 x + tan 2 y = (tan 2 x + 1) + (tan 2 y + 1) − 2 =

1
1
+
−2
cos 2 x cos 2 y



1
1
= 2
+
− 1÷
 1 + cos 2 x 1 + cos 2 y 

8



-

+

f
4
3

Dùa vµo BBT, GTNN cña A b»ng

2
1
đạt khi cos 2 x =
3
2
M=

Ví dụ 8: Cho a, b dương t/m:a2+b2=1. Tìm GTLN của biểu thức

ab
a+b+2

Cách1:
Theo Cô- si ta có:
Đặt

t = ab .

Ta có:



Đáp số:

(

ab
ab
≤
a + b + 2 2 ab + 2

a 2 + b 2 1 a >0;b >0
1
2
ab ≤
= 
→ 0 < ab ≤ ⇒ 0 < t ≤
2
2
2
2

GTLN của M là GTLN của hàm
Khảo sát hàm số

M=

1
2 +2

(


M=
≤
=
a +b+ 2 a +b+ 2 4 a+b+ 2

Lại theo Bunhia: ( a + b )

2

a +b>0
≤ 2(a 2 + b 2 ) = 2 
→0 < a + b ≤ 2 .

Đặt t = a + b ⇒ t ∈ ( 0; 2 
M≤

1
g (t ) ;
4

g '(t ) =

Vậy

Với :

t2
g (t ) =
t+2

x 2 + y 2 = 3 − xy .

Thế vào ta có

(

M = x2 + y 2

)

2

− 2 x 2 y 2 + 4 xy − x 3 y 3 .

= ( 3 − xy )
=

2

− 2 x 2 y 2 + 4 xy − x 3 y 3 .

− x 3 y 3 − x 2 y 2 − 2 xy + 9 .

Đặt t=xy. Để tìm điều kiện của M ta có hai cách sau:
Cách1: Tìm t sao cho hệ sau đây có nghiệm :

Cách 2: Từ điều kiện đầu bài ta có:

 x 2 + y 2 + xy = 3.


(

)

S = 16( xy ) 2 + 12( x 3 + y 3 ) + 34 xy = 16( xy ) 2 + 12 ( x + y )3 − 3 xy ( x + y ) + 34 xy .

Thay x+y=1, Ta có
Đặt t=xy. Dễ thấy

S = 16( xy ) 2 + 12(1 − 3xy ) + 34 xy = 16( xy ) 2 − 2 xy + 12 .

 1
t ∈ 0;  .
 4

Xét hàm số f (t ) = 16t 2 − 2t + 12 với

 1
t ∈ 0; 
 4

có kết quả GTNN bằng

191
25
; GTLN bằng
16
12

Ví dụ 11: Cho hai số thực x, y thay đổi sao cho : 2(x2 + y2) - xy = 1.

2 2
x +y
(x + y ) - 2x y
-7(xy) 2 + 2xy + 1
2 

P=
=
=
=
2xy + 1
2xy + 1
2xy + 1
8xy + 4

 Khi đó, đặt : t = xy , đk :

 1 1
t ∈ − ; 
 5 3

Bài toán đưa về tìm GTNN và GTLN của hàm số :
f ' (t) =

f(t) =

-7t 2 + 2t + 1
8t + 4

 t = -1 (loai)

4
 1 1
 xy = 0
- 5 ; 3 


2
2
 2
 2
x + y2 =
x + y2 =


2


3
5
Min P = Min f(t) =
⇔ 
∨ 
⇔ . . .
1
1
15
 1 1
;




với

t=

x
y

⇔ u(t2 + t + 1) = t2 − t + 1 ⇔ (u − 1)t2 + (u + 1)t + (u − 1) = 0 (*)
+ Nếu u = 1, thì t = 0 ⇒ x = 0, y =

± 3

⇒ u = 1 là 1 giá trị của hàm số

+ Nếu u ≠ 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số ⇔ phương trình (*) có nghiệm t
⇔ ∆ = (3u − 1)(3 − u) ≥ 0 ⇔
Vậy tập giá trị của u là
Min S = 1 ⇔

Min u = 1
3

 1 , 3

3 


1 ≤ u ≠1≤ 3
.

Tìm GTLN của

A=

1 1
+
x3 y 3

BG :
2
2
2
2
1 1
x 3 + y 3 ( x + y ) ( x − xy + y ) ( x + y )
A= 3 3 =
= 2 2 = + ÷
x y
x3 y3
x y
x y
2
2
3
2
2
Đặt x=ty, từ ( x + y ) xy = x + y − xy , suy ra ( t + 1) ty = ( t − t + 1) y

Vậy



1
y

Hướng dấn: đặt y=tx, Từ giả thiết ta có
x 2 + t 2 x 2 = 2 x 2tx + t 2 x 2 x
⇔ x 2 (1 + t 2 ) = x3 (2t + t 2 )

Suy ra: x =

t2 +1
t 2 + 2t

Vậy f (t ) =

5t
2

t +1

và y = tx = t.

t2 +1
t 2 + 2t

=

t2 +1
t+2



3 3 xyz + 4 xyz
x + y + z + 4 xyz
≥
.
1 + 4( x 2 + y 2 + z 2 )
2(1 − 8 xyz )

. Dễ thấy t>0. Từ điều kiện ban đầu, ta tìm điều kiện cho t:

Ta có 1 − 16 xyz = 4( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 4.3 3 ( xyz ) 2 . Hay : 1 − 16t 3 ≥ 12t 2 ⇔ 16t 3 + 12t 2 − 1 ≤ 0
Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng phương pháp KSHS
ta có:
2

1
 1  1 
16t 3 + 12t 2 − 1 ≤ 0 ⇔  t − ÷ t + ÷ ≤ 0 ⇒ 0 < t ≤ .
4
 4  2 

Bài toán trở thành: Tìm GTNN của hàm số

13


f (t ) =

3t + 4t 3
;

Bài 2 (ĐH Lâm nghiệp) : Cho x ∈  0; 2 ÷; CMR :

⇔ (tan 3 x + cot 3 x)(tan 4 x + cot 4 x) − 2(tan x + cot x) ≥ 0 .

HD:
Đặt

tan 7 x + cot 7 x ≥ tan x + cot x .

t = tan x + cot x;

d / k :t ≥ 2.

Bài 3 (An ninhA-2000): Cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3.
HD: Cách1:

⇔

ln n ln(n + 1)
>
;
n
n +1

xét hàm f(x)=1/x.

Bài4(QGA-2000): Choa,b,c là các số thực t/m a+b+c=0. CMR 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c
HD :

(


ln a 2 + 2a + 2 < 1 + ln a 2 + 1

)

(

)

ln a 2 + 2a + 2 < ln(e. a 2 + 1 ) ⇔

a 2 + 2a + 2


2
t+2

Với 1 ≤ t ≤ 3 .

Bài7:Cho x,y là hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện x2+y2=2. Tìm GTLN,GTNN của

(

)

P = 2 x 3 + y 3 − 3 xy

( CĐ A-2008)
b

Bài 8: Cho

a ≥ b > 0;

 Ta có : (đpcm) ⇔
 Xét hàm số :
'
⇒ f (x) =

f(x) =

(4


( ĐH khối D-2007).

ln(4a + 1)
ln(4b + 1)
≤
a
b

với x > 0

4 x .ln4 x - (1 + 4 x ).ln(1 + 4 x )
< 0 , ∀ x ∈ (0; +∞)
x 2 (1 + 4 x )

⇒ f(x) là hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (0; + ∞)
 Khi đó : a ≥ b > 0 ⇒ f(a) ≤ f(b)

⇔

ln(4a + 1)
ln(4b + 1)
≤
a
b

Bài toán trở thành Tìm GTLN, GTNN của

 1
t ∈ 0; 
 4

1
.
3

1
3

Min M=2

Bài10 : Cho a, b là các số thực thỏa mãn : 0 < a < b < 1.
Chứng minh rằng : a 2 .lnb - b 2 .lna > lna - lnb
(TSCĐ - Khối A, B, D - Năm 2009)
15


Bài11 : Cho a > b > 0. Chứng minh rằng :

a+b
a-b
>
2
lna - lnb

Bài12: Cho a.b là hai số không âm . Chứng ming rằng

3a 3 + 7b3 ≥ 9ab 2

Bài 13:
Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm GT nhỏ nhất của biểu thức
A = ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 + y − 2

Trong quá trình dạy học kiến thức về bài toán cực trị cho học sinh lớp 12, bên cạnh
các phương pháp mà các em đã được biết ở các lớp dưới như: Sử dụng các bất đẳng thức
kinh điển ( Cô-si, Bunhiacôpxki..), phương pháp miền giá trị hàm số ( đưa bài toán tìm
cực trị về bài toán tìm điều kiện tham số để một phương trình hoặc một hệ phương trình
có nghiệm), tôi thường cố gẳng hướng các em đến lời giải sử dụng phương pháp hàm số
nếu có thể.
Việc giúp học sinh có cơ sở lý thuyết vững vàng, có kỹ năng trong việc đổi biến, điều
kiện của biến mới… thông qua một số ví dụ tiêu biểu và hệ thống bài tập phù hợp đã giúp
học sinh vận dụng kiến thức về hàm số vào giải quyết tốt một số bài toán cực trị. Giúp
cho học sinh thấy được tầm quan trọng của tư duy hàm số, thấy được kiến thức hàm số
các em học được áp dụng một cách hiệu quả vào các dạng toán có liên quan, giúp học
16


sinh thêm yêu môn toán. Học sinh các lớp tôi dạy các khoá từ 2006-2009; 2009-2012:
2012-2013 đã có hứng thú hơn khi tiếp cận các bài toán cực trị
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Bài toán tìm cực trị của biểu thức là bài toán khó đối với đa số học sinh, nên việc
cung cấp thêm cho các em công cụ hàm số để giải quyết bài toán là một việc làm cần
thiết, giúp học sinh giải một số bài toán cự trị một cách dễ dàng, hơn nữa là cho học sinh
thấy được khả năng, phạm vi áp dụng của kiến thức hàm số được học ở chương trình.
Trong quá trình giảng dạy, nhờ vận dụng những kinh nghiệm đã trình bày, một phần
không nhỏ các em học sinh đã giải quyết bài toán cực trị uyển chuyển hơn thông qua lựa
chọn phương pháp phù hợp cho bài toán, cũng giúp học sinh thấy đỡ “sợ” hơn khi gặp
các dạng toán cực trị.
Mặc dù đã cố gắng, nhưng sáng kiến kinh nghiệm còn nhiều hạn chế về nội dung,
thể loại ví dụ và bài tập chưa được phong phú, tôi rất mong được sự hợp tác của các thầy
cô cùng các em học sinh, với hy vọng sẽ mở rộng bài viết thành một đề tài đầy đủ hơn,
bao quát được toàn bộ phương pháp sử dụng hàm số vào các bài toán cực trị, chứng minh
bất đẳng thức.

GT

Giá trị

4

GTLN

Giá trị lớn nhất

5

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

6

THPT

Trung học phổ thông

18