Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và chứng minh
Ngày gửi bài: 05/08/2007
Số lượt đọc: 2353
Bài 2: Một số cơ sở hình thành cách chứng minh định lý
1. Các diện tích hình vuông trên khung lưới
Đây là cách tính các diện tích của các hình vuông trên một khung lưới hình ô vuông,
bao gồm cả những hình vuông “nghiêng”(như hình vuông màu vàng trên hình bên) .
Các chiến lược mà bạn dùng để khai triển cho việc tính toán diện tích các hình
vuông nghiêng này có thể là một cách mới để chứng minh định lý Pitago.
Dựng hình và kiểm tra
1. Bạn hãy mở file Sketch Squarefinder.gps.
2. Di chuyển điểm A hoặc B để thay đổi góc nghiêng của hình
vuông này so với khung lưới.
Chú ý: khi hình vuông màu vàng bị nghiêng đi 1 góc so với lưới, thì
sẽ có một hình vuông lớn hơn hình nét đứt bao quanh nó (như
hình trên). Độ dài đoạn AB có thể là 1 số nguyên hoặc không phải
là một số nguyên.
3. Bây giờ bạn hãy kéo điểm A hoặc điểm B để làm cho diện tích của hình vuông là
khoảng 5 đơn vị vuông. Khi bạn khá chắc chắn về diện tích hình vuông của mình
vừa thay đổi, hãy kích chuột vào nút Show Area Yellow Square trên màn hình để
kiểm tra xem sự thay đổi của bạn chính xác đến đâu. Nếu diện tích hình vuông của
bạn chưa chính xác, thì bạn kích chuột vào nút Hide Area Yellow Square và thử
làm lại.
(Hình vuông có diện tích bằng 5 thì có độ dài của cạnh là căn bậc hai của 5. Tính
toán này trong Sketch chỉ là một phép tính xấp xỉ : ≈ 2.24)
Tìm hiểu thêm
1.
– Bạn viết một biểu thức tính diện tích hình vuông nghiêng theo 2
số hạng a và b.
- Gọi độ dài cạnh của hình vuông đó là c, và hãy viết lại biểu thức
đó theo 3 số hạng a, b, c.

tam giác vuông đó. Vậy đây cũng là một cách để chứng minh định lý Pitago.
2. Một biểu thức tính được diện tích hình vuông có cạnh là c :
dt = c² . (3).
- Viết một biểu thức khác tính diện tích hình vuông này theo hai số hạng
a, b: Theo hình vẽ ta thấy
dt = diện tích hình vuông màu
vàng + diện tích của 4 tam
giácvuông :
↔ dt = (b-a)² + 2ab= a² + b² (4)
Từ (3) và (4) ta có đẳng thức
sau :
dt = c² = a² +b²
Mà theo hình vẽ trên ta có c, là cạnh huyền của tam giác vuông, a,b là độ dài hai
cạnh bên của tam giác vuông đó. Do đó dây cũng là 1 cách để chứng minh định lý
Pitago
3. Cách tạo công cụ Translator
- Một cách thông thường để chứng minh định lý Pitago là cắt các miếng của các
hình vuông trên các cạnh bên ra và sắp xếp lại cho khớp với hình vuông trên cạnh
huyền.
- Trong phần này, bạn sẽ tạo ra được một công cụ theo ý mình (Custom tool), công
cụ này cho phép bạn làm được những việc giống như menu Transform, nhưng
thuận tiện hơn: sử dụng công cụ này để tạo các bản sao của 1 hình, và bản sao này
có thể di chuyển trượt theo hình ban đầu. Công cụ có tên là Translator
Cách dựng.
1. Vẽ một tứ giác ABCD tùy ý và miền trong của nó.
2. Vẽ điểm E tại một khoảng trống bất kỳ trên trang. Điểm
này là điểm bạn đặt vị trí copy tứ giác.
3. Chọn (đánh dấu) điểm B và điểm E và chọn menu
Transform| Mark Vector
4. Kích chuột vào tứ giác để đánh dấu miền trongcủa tứ

3. Dựng 1 đường thẳng đi qua tâm này và song song với
cạnh c và một đường thẳng khác vuông góc với cạnh c.
4. Vẽ các giao của hai đường thắng này với hình vuông
trên cạnh b.
Như vậy 2 đường thẳng này đã chia hình vuông trên cạnh b
thành 4 tứ giác. Bạn hãy vẽ và tô các màu khác nhau cho 4
tứgiác này.
5. Làm ẩn 2 đường thẳng này đi
6. Vẽ và tô màu miền trong của hình vuông trên cạnh a (là
cạnh nhỏ nhất).
Như vậy ta có 4 miếng được tạo từ hình vuông trên cạnh
b. kết hợp với 1 mảnh từ hình vuông trên cạnh a, 5
mảnh này có thể ghép lại thành hình vuông trên cạnh c
bằng cách di chuyển và sắp xếp lại chúng.
7. Để tạo ra được các mảnh hình di chuyển được của
hình vuông trên cạnh a, Sử dụng công cụ Translator từ
menu Custom tool.
8. Tạo ra các bản sao của các
mảnh tứ giác của hình vuông
trên cạnh b bằng cách sử dụng công cụ Translator từ
menu công cụ Custom.
9. Hãy sặp xếp các bản sao vủa tạo được vào hình vuông
màu trắng( hình vuông có canh là c)
10. Để xác định lại cách chia này bạn hãy thử làm lại với
một tam giác vuông khác.
Viết Thị Thu Hiền,
Viết Thị Thu Hiền

Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và chứng minh - Bài 3
Ngày gửi bài: 09/10/2007

Các phương pháp chứng minh định lý Pitago bằng cách
chia hình ra thành những mảnh nhỏ là các cách chứng
minh hoàn toàn thuyết phục và đúng đắn, nhưng chúng
không có logic, vì bạn chỉ chỉ ra được cách chia nhỏ các
hình và sắp xếp chúng lại với nhau, mà chưa giải thích
được tại sao bạn lại làm như vậy. Tai sao bạn lại di chuyển
được các mảnh này, và có phải sự sắp xếp vừa khít của
các mảnh này vào phạm vi của 1 hình khác là xảy ra ngẫu
nhiên hay không?. Để giải thích sự phụ thuộc này 1 cách
logic thì phải chứng minh được mỗi hình bạn di chuyển thì
phải có kích thước bằng với hình mà nó chuyển tới.
Ví dụ: bên có 3 miền sẽ được di chuyển vào 3 miền đồng dạng với nó , đó là các
miền nào? .
- Ta thấy 3 miền di chuyển được và 3 miền mà chúng sẽ chuyển tới đều là tam giác
vuôngVì thêa phải chứng minh kích trước của miền di chyển và miền nó sẽ chuyển
toái là bằng nhau, bằng cách chỉ cần chứng minh 2 tam giác vuông có 1 cặp cạnh
bằng và 1 cặp góc không vuông bằnh nhau .
Sự chứng minh bằng hình vuông nghiêng
Đây là trường hợp, bạn chỉ cần vẽ một hình đơn giản mà bạn có thể dùng để chứng
minh được định lí Pitago. Các cách đó là: dùng các hình di chuyển được hoặc dùng
một phép tính số học đơn giản để tình toán cách dịch chuyển các hình. Hình vẽ minh
họa cho trường hợp này thì xuất hiện trong các văn bản từ rất xa xưa, và thậm chí
bạn còn thấy chúng trong các kiểu lát trang trí. Nhưng không ai biết rằng, đó có thể
là cách để chứng minh định lý Pitago, dường như nó đã được biết tới ở Trung Quốc
và Ấn Độ, và học thuyết Pitago đã được nghiên cứu bởi các nhà nghiên cứu Trung
Quốc và Ấn Độ ở thời đại Babilonia. Dựng hình và Kiểm tra
1. Vẽ một hình vuông và tâm của hình vuông đó.
2. Vẽ một điểm trên cạnh hình vuông.