LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Anh Tuấn. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự
giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cám ơn và các thông tin trích
dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Tác giả

1


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................1
MỤC LỤC ...............................................................................................................2
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ............................................................................5
DANH MỤC CÁC HÌNH ........................................................................................6
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 10
CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ CÁC ĐẶC TÍNH CỦA VẬT LIỆU TỪ ............... 12
1.1. Lịch sử phát triển của vật liệu từ .................................................................. 12
1.1.1 Thời kỳ sơ khai....................................................................................... 12
1.1.2 Sự phát triển của các vật liệu từ .............................................................. 12
1.2 Một số khái niệm về từ học và phân loại vật liệu từ ...................................... 13
1.2.1 Một số khái niệm về từ học .................................................................... 13
1.2.2. Các loại vật liệu từ................................................................................. 17
1.2.3 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ và từ trường của χ-1 và momem từ (M) của các
vật liệu từ ........................................................................................................ 19
1.2.4 Các loại vật liệu từ ứng dụng .................................................................. 20
1.2.5 Cách phân loại khác đối với vật liệu từ ................................................... 22
1.3. Momen từ của các nguyên tử ....................................................................... 22
1.3.1 Momen từ quỹ đạo của điện tử ............................................................... 22
1.3.2 Momen từ spin của điện tử ..................................................................... 23

2.4.1. Các khái niệm ........................................................................................ 59
2.4.2. Ảnh hưởng của các tham số trong mô hình Jiles – Atherton đến hình dạng
của đường cong từ trễ ...................................................................................... 63
2.5. Mô hình mô phỏng đặc tính động ................................................................ 64
2.5.1. Mô hình mô phỏng đặc tính động của Preisach ...................................... 65
2.5.2. Mô hình mô phỏng đặc tính động của Jiles – Atherton .......................... 66
2.5.3. Mô hình mô phỏng đặc tính động ‘‘Flux tubes’’ .................................... 68
2.6. Kết luận ....................................................................................................... 69
CHƯƠNG III MÔ PHỎNG ĐẶC TÍNH CỦA CÁC VẬT LIỆU TỪ DƯỚI ẢNH
HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ .................................................................................... 71
3.1. Giới thiệu các loại vật liệu từ ....................................................................... 71
3.2. Sự thay đổi của đường cong từ trễ theo tần số và nhiệt độ............................ 72
3.3. Đặc tính của các vật liệu từ dưới ảnh hưởng của nhiệt độ ............................ 73
3.3.1. Sự thay đổi của đường cong từ trễ theo tần số và nhiệt độ ..................... 73

3


3.3.2. Phân tích sự thay đổi các tính chất của vật liệu từ dưới ảnh hưởng của
nhiệt độ ........................................................................................................... 76
3.4. Mô phỏng các đặc tính của vật liệu từ .......................................................... 76
3.4.1. Biểu diễn hệ thống điện - từ bằng phần mềm Matlab - Simulink ............ 76
3.4.2. Xác định và tối ưu các tham số .............................................................. 77
3.5. Kết luận ....................................................................................................... 87
CHƯƠNG IV MÔ PHỎNG ĐẶC TÍNH LÀM VIỆC CỦA BÔ CẢM BIẾN DÒNG
ĐIỆN DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHIỆT ĐỘ ......................................................... 88
4.1. Giới thiệu chung .......................................................................................... 88
4.2. Các thông số của bộ cảm biến dòng ............................................................. 88
4.2.1. Đặc tính của bộ cảm biến dòng .............................................................. 89
4.2.2. Mô phỏng đặc tính làm việc của bộ cảm biến dòng................................ 90

Hình 1.6. a. Từ độ phụ thuộc của momen từ vào từ trường ngoài đối với chất nghịch
từ, thuận từ và phản sắt từ, b. đường cong từ trễ của chất sắt từ và feri từ ............. 20
Hình 1.7. Vec tơ µ dưới tác dụng của từ trường H ................................................. 25
Hình 1.8. Đồ thị biểu diễn hàm Langenvin ............................................................. 26
Hình 1.9. Từ độ của các kim loại Fe, Co và Ni phụ thuộc vào từ trường ngoài ....... 28
Hình 1.10. Sự phụ thuộc  vào H ........................................................................... 29
Hình 1.11. Spin từ ở điểm A chịu tác dụng của từ trường tạo bởi các nguyên tử
xung quanh ............................................................................................................ 31
Hình 1.12. Phương pháp xác định từ độ tự phát; BJ(α): hàm Brillouin (1.46); (1), (2)
phương trình (1.45) với các giá trị T khác nhau khi H = 0 (3) phương trình (1.45)
khi H ≠0................................................................................................................. 32
Hình 1.13. Từ độ tỷ đối (I/I0) phụ thuộc vào nhiệt độ rút gọn T/TC. Đường lý thuyết
tính theo hàm Brillouin với các giá trị J = ½, J = 1 và J =  (lý thuyết cổ điển). Các số
liệu thực nghiệm đối với kim loại Fe (o), kim loại Co, Ni.......................................... 33
Hình 1.14. Từ độ rút gọn (I/I0) và độ cảm từ ( -1) phụ thuộc ............................... 36
vào nhiệt độ của chất sắt từ .................................................................................... 36
Hình 1.15. Từ độ tự phát tỷ đối và -1 ở vùng gần nhiệt độ Curie ........................... 36
Hình 1.16. Mẫu từ tính phân chia thành các đomen, giảm năng lượng trường khử từ
(từ trường ở không gian xung quanh mẫu) ............................................................. 38
Hình 1.17. Một số cấu trúc đo men. a. Tinh thể đa trục từ, b. tinh thể đơn trục từ, c.
tinh thể sắt từ chứa 4%Si ....................................................................................... 38
Hình 1.18. Đường trễ B(H) của vật liệu từ với các thông số từ mềm cơ bản .......... 39
Hình 1.19. Độ từ thấm ban đầu phụ thuộc kích thước hạt của ferit MnZn .............. 42
6


Hình 1.20. Độ từ thẩm ban đầu phụ thuộc vào nhiệt độ của manhetit ..................... 43
Hình 1.21. Sự phụ thuộc các thông số từ đơn (đơn vị tùy ý) của ferit FeCu vào
nồng độ Fe ............................................................................................................. 43
Hình 2.1. Tổn hao công suất đơn vị trong một chu kỳ ở chế độ ổn định tĩnh (0.5Hz)


Hình 2.23.b. Vật liệu không dẫn từ với dòng điện Foucault nội tại ....................... 68
Hình 3.1. Sơ đồ đo đường cong từ trễ .................................................................... 73
Hình 3.2. Đường cong từ trễ theo nhiệt độ θ của FeNi 80/20 ................................. 74
Hình 3.3. Đường cong từ trễ theo nhiệt độ θ của MnZn N30 .................................. 74
Hình 3.4. Đường cong từ trễ theo nhiệt độ θ của Vitroperm 800F .......................... 75
Hình 3.5. Độ từ cảm bão hòa theo nhiệt độ θ ........................................................ 75
Hình 3.6. Độ từ cảm dư theo nhiệt độ θ.................................................................. 75
Hình 3.7. Từ trường khử từ theo nhiệt độ θ ........................................................... 75
Hình 3.8. Tổn hao sắt từ theo nhiệt độ θ................................................................ 75
Hình 3.9. Biểu diễn một hệ thống điện – từ đơn giản bằng Matlab với nguồn vào là
dòng điện ............................................................................................................... 77
Hình 3.10. Sự thay đổi của tham số alpha theo nhiệt độ của hai phương pháp tối ưu
hóa trên FeNi 80/20 ............................................................................................... 78
Hình 3.11. Sự thay đổi của tham số a theo nhiệt độ θ của hai phương pháp tối ưu
trên FeNi 80/20 ...................................................................................................... 78
Hình 3.12. Đường cong từ trễ B(H) đo và mô phỏng của FeNi 80/20, θ = 23-310
°C, f = 0.5 Hz ........................................................................................................ 79
Hình 3.13. Sai số tương đối của từ cảm cực đại theo nhiệt độ θ ............................. 79
Hình 3.14. Sai số bình phương theo nhiệt độ θ ...................................................... 79
Hình 3.15. Sự thay đổi 5 tham số của Jiles – Atherton theo nhiệt độ θ ................... 79
Hình 3.16. Đường cong từ trễ B(H) đo và mô phỏng của MnZn N30 .................... 80
Hình 3.17. Sai số tương đối của từ cảm cực đại theo nhiệt độ θ ............................. 80
Hình 3.18. Sai số bình phương theo nhiệt độ θ ...................................................... 80
Hình 3.19. Sự thay đổi 5 tham số của Jiles – Atherton theo nhiệt độ θ ................... 80
Hình 3.20. Đường cong từ trễ B(H) đo và mô phỏng của Vitroperm 800F, θ = 23555°C, f = 1Hz....................................................................................................... 81
Hình 3.21. Sai số tương đối của từ cảm cực đại theo nhiệt độ θ ............................. 81
Hình 3.22. Sai số bình phương theo nhiệt độ θ ....................................................... 81
Hình 3.23. Sự thay đổi 5 tham số của Jiles – Atherton theo nhiệt độ θ ................... 81
Hình 3.24. Đường cong từ trễ B(H) đo và mô phỏng của FeNi 80/20 ở 23°C và


9


MỞ ĐẦU
Vật liệu từ là loại vật liệu chức năng quan trọng, được sử dụng rất rộng
rãi. Vật liệu từ là vật liệu cốt lõi trong hàng trăm triệu máy biến thế và động
cơ điện đang hoạt động ngày đêm đảm bảo việc chuyển đổi năng lượng trên
toàn cầu.
Trong hơn 100 năm qua, vật liệu từ đã có những bước phát triển vượt
bậc cả về chủng loại đến tính năng kỹ thuật. Sự ra đời của thép kỹ thuật dị
hướng (1933), ferrit từ mềm (1940), sự xuất hiện của vật liệu từ mềm vô định
hình (1970) và nano tinh thể (1988) cho thấy sự mở rộng từ thành phần kim
loại - hợp kim sang oxit, mở rộng cấu trúc từ trật tự tinh thể sang vô định
hình. Các loại nam châm cũng có sự phát triển vượt bậc từ nam châm nén
thép (1900) đến nam châm đất hiếm (1966). Nhờ đó mà sự tích trữ năng
lượng của nam châm tăng gấp gần 50 lần. Cùng với sự cải thiện mạnh mẽ các
thông số từ là sự xuất hiện các cơ chế từ học mới như trật tự từ có thể tồn tại
trong hệ không trật tự tinh thể (1960), cơ chế dẫn điện phụ thuộc spin (1988)
hoặc tương tác trao đổi đàn hồi trong nam châm nano composit (1991).
Sự phát triển mạnh mẽ của các loại vật liệu từ tính và sự thay đổi tính
chất của nó trong những điều kiện làm việc khác nhau đòi hỏi các nhà nghiên
cứu phải tiếp tục không ngừng xây dựng các mô hình lý thuyết nhằm phản
ánh xác thực nhất về sự thay đổi này.
Trong khuôn khổ của luận văn, tác giả sẽ nghiên cứu ảnh hưởng của
nhiệt độ và tần số đến sự thay đổi các tính chất của vật liệu từ mềm. Từ đó,
tác giả giới thiệu một số mô hình mô phỏng sự thay đổi này. Sau khi phân tích
ưu, nhược điểm của một số mô hình này, tác giả sẽ dùng chương trình Matlab
– Simulink để xây dựng chương trình mô phỏng.
Đề tài tập trung nghiên cứu ảnh hưởng của tần số và nhiệt độ đến các

dính các viên đá. Viên đá này được đặt tên là manhetit, sau này, manhetit
được biết có công thức hóa học là Fe3O4 hay FeO.Fe2O3.
Vào thế kỷ thứ VI trước công nguyên, Thales là người đầu tiên đưa ra
khái niệm từ học là thuộc tính của Fe3O4 với đặc tính là hút các vật bằng sắt.
Thời kỳ nhà Tần, vào cuối thế kỷ thứ II trước công nguyên đã sử dụng
tính chất của manhetit (đá nam châm) để định hướng, dẫn đường.
Việc sử dụng kim nam châm được ứng dụng đầu tiên trong hàng hải ở
Trung Quốc vào cuối thế kỷ XI đầu thế kỷ XII, đến cuối thế kỷ XII kim địa
bàn được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực trên ở các nước Châu Âu. Các kim
địa bàn được chế tạo từ vật liệu sắt từ có từ độ bão hòa cao hơn các viên đá
nam châm. Với vật liệu từ dùng làm kim địa bàn đã tạo điều kiện cho ngành
hàng hải phát triển, phát hiện ra lục địa mới và tăng cường việc giao thương
giữa các lục địa.
1.1.2 Sự phát triển của các vật liệu từ [1]
Các tính chất của vật liệu từ đã được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật và
đời sống hàng ngày. Với sự phát triển công nghiệp, ngày càng đòi hỏi có các
vật liệu từ có chất lượng và tính năng cao hơn để tăng hiệu suất thiết bị và
giảm bớt tổn hao năng lượng và vật liệu.
Đối với vật liệu từ mềm, cần có giá trị HC thấp, độ từ thẩm cao và độ
tổn hao trong trường xoay chiều tần số cao thấp.

12


Đối với vật liệu ghi từ, cần ghi được lượng thông tin cao hơn trên một
đơn vị thể tích để tăng dung lượng bộ nhớ của thiết bị.
Đối với vật liệu từ cứng dùng làm nam châm, cần vật liệu có năng
lượng từ tỏa ra ngoài không gian lớn trên một đơn vị thể tích nam châm và
bền vững trong môi trường.
Trong đời sống hiện đại, không thể không có vật liệu từ. Vật liệu từ

Hình 1.1. Lực tác dụng của từ trường ngoài lên cực từ
13


Đặt thanh nam châm vào một từ trường đồng nhất tạo bởi cuộn dây
solenoid có cường độ H (hình 1.1). Nam châm với cực từ có độ lớn là p sẽ
  
F  p.H

 p
H  2 (Hệ CGS)
d

chịu tác dụng một lực là:
Từ trường tạo bởi cực từ:

(1.2)
(1.3)

Giả sử từ trường được tạo bởi dòng điện, theo định luật Bio-Savart, từ
trường tạo bởi phần tử dòng điện idS tại một điểm A cách dây dẫn một
khoảng r có dạng:
 id S .r 
dH   3 
 r 

(1.4)

Đối với dây dẫn thẳng dài vô hạn có dòng điện i chạy qua, từ trường có
cường độ:


l/2
S

N

S N
b)

S

N S

N

c)

Hình 1.2. Mẫu từ tính luôn có hai cực từ S và N

14


Khi ta chia thành hai phần bằng nhau, mỗi nửa thanh lại thành một
nam châm có hai cực bắc nam. Tiếp tục chia đôi nhỏ thanh nam châm, ta vẫn
có một nam châm với hai cực bắc và nam. Momen từ của nam châm:
 
m  p.l

Trường hợp (a):


Như vậy, với cùng vật liệu số momen từ trong một đơn vị thể tích là
như nhau nếu vật liệu đồng chất. Từ độ do vật liệu từ tạo ra. Năng lượng của


momen từ của nam châm trong từ trường là: E  mH

(1.11)



- Cảm ứng từ ( B )


Cảm ứng từ B hay mật độ từ thông  gồm đóng góp của từ trường


H tạo bởi cuộn dây và từ độ I của vật liệu từ được từ hóa đặt trong lòng

cuộn dây.



Hình 1.3. Cảm ứng từ B trong vật liệu được từ hóa

 
B  aH  bI



Biểu thức tổng quát của B là:

4 I
    1 
(hệ CGS)
H
H

Hay

(1.15)
(1.16)

Độ cảm từ xác định độ nhạy về từ hóa của vật liệu dưới tác dụng của từ


I  H

trường ngoài:

(1.17)

χ là thông số quan trọng để phân loại các loại vật liệu từ.
- Hệ đơn vị đo từ
Có hai hệ đơn vị là SI (mét, kilogam, giây) (hệ đơn vị đo lường quốc tế)
và hệ CGS (centimét, gam, giây) được sử dụng rộng rãi. Hiện nay hệ SI được
dùng nhiều trong kỹ thuật, hệ CGS thường dùng trong các tài liệu có tính chất
cơ bản.

 
B  0 ( H  I )



Hệ SI

F (lực)

1 din

10-5 N

H (từ trường)

1Oe

79,58 A/m

B (cảm ứng từ)

1G

10-4 T

E (năng lượng)

1erg

10-7 J

1emu/cm3

12,57.10-4 Wb/m2;

 N
40 r 2


 p
H  2 (Oe)
r
 

B  H  4 I


1 pA
 
40 r 2  m 

 
B   0 ( H  I ) (T)


E   mH (erg)


E   0 mH (J)


I  emu 
    3

H  cm .Oe 

vào dấu và độ lớn của độ cảm từ (χ) và sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nó [9].
- Các chất nghịch từ
Khi có từ trường ngoài tác dụng, momen từ của chất nghịch từ định

17


hướng ngược với hướng từ trường ngoài. Do đó, độ cảm từ χ có giá trị âm và
độ lớn của χ là nhỏ.
Chất siêu dẫn được gọi là chất nghịch từ lý tưởng vì χ âm và có giá trị
lớn (   

1
) . Tất cả các nguyên tố trong bảng tuần hoàn các nguyên tố đều
4

có tính chất nghịch từ.
- Các chất thuận từ
Các chất thuận từ thường chứa các nguyên tử (phân tử) có momen từ
nhất định. Tuy nhiên, các momen từ này lại tồn tại độc lập, định hướng hỗn
loạn nên từ độ tổng cộng bằng không. Khi có tác động của từ trường ngoài,
các momen từ định hướng theo hướng của từ ngoài nên tổng momen từ tăng
lên và tỷ lệ với cường độ từ trường ngoài. Như vậy, độ cảm từ của chất này là
dương nhưng có giá trị nhỏ.
Nhiều nguyên tố thuộc nhóm kim loại chuyển tiếp trong bảng tuần hoàn
các nguyên tố có tính chất thuận từ.
- Các chất sắt từ
Là các chất có momen từ tự phát ở dưới một nhiệt độ đặc trưng cho
từng chất, gọi là nhiệt độ Curie (TC). Sở dĩ có trật tự từ là do tương tác nội tại
giữa các momen từ của các nguyên tử có momen từ khác không. Trong bảng

Với các chất nghịch từ,  1 không phụ thuộc vào nhiệt độ. Sự phụ thuộc
 1 của chất thuận từ là đường thẳng qua gốc tọa độ. Đó là chất thuận từ lý

tưởng. Các chất sắt từ và feri từ có momen từ tự phát (Ms≠0) ở nhiệt độ T < Tc
và ở T > Tc là chất thuận từ. Với chất phản sắt từ, T < TN là chất thuận từ.
Sự phụ thuộc vào từ trường ngoài của momen từ các chất nghịch từ,
thuận từ và phản sắt từ (hình 1.6a) và của chất feri từ và sắt từ (hình 1.6b) có
dáng điệu rất khác nhau. Với các chất nghịch từ đường M(H) có hệ số góc là
âm còn đối với chất thuận từ và phản sắt từ, hệ số góc của M(H) là dương.
Các số liệu trên chỉ đúng cho trường hợp từ trường ngoài không lớn.
Ở các chất feri từ và sắt từ ta thấy có sự phụ thuộc phi tuyến các vecsto
B vào từ trường ngoài và xuất hiện đường trễ từ, trong đó, Bs(-Bs) là cảm ứng
từ bão hòa, Br(-Br) là cảm ứng từ dư, Hc(-Hc) là lực kháng từ.

Hình 1.6. a. Từ độ phụ thuộc của momen từ vào từ trường ngoài đối với chất
nghịch từ, thuận từ và phản sắt từ, b. đường cong từ trễ của chất sắt từ và
feri từ
1.2.4 Các loại vật liệu từ ứng dụng [1]
Về mặt ứng dụng, trong công nghiệp và đời sống hàng ngày, người ta
chia vật liệu từ làm ba loại chính. Đó là vật liệu từ cứng, vật liệu từ mềm và
vật liệu ghi từ.
- Vật liệu từ cứng
Vật liệu này dùng để chế tạo nam châm vĩnh cửu. Vật liệu có các đặc
20


tính sau:
 Cảm ứng từ bão hòa cao (0,3÷1,6T)
 Lực kháng từ HC lớn (HC>300kA/m)
 Dị hướng tinh thể cao

 Vật liệu spin từ dùng trong công nghệ ghi từ mật độ cao
 Vật liệu từ có cấu trúc nanomet, ứng dụng trong lĩnh vực y - sinh để
điều trị bệnh
1.2.5 Cách phân loại khác đối với vật liệu từ
- Phân loại dựa theo cấu trúc
 Vật liệu từ đơn tinh thể
 Vật liệu từ đa tinh thể
 Vật liệu từ vô định hình
 Thủy tinh từ
 Vật liệu từ có cấu trúc nanomet
 Siêu thuận từ
- Các phân loại khác
 Các kim loại, hợp kim từ tính
 Các loại gốm từ tính
 Các màng mỏng từ đơn lớp và đa lớp
 Các vật liệu từ có cấu trúc nanomet
 Phân tử từ tính
 Chất lỏng từ
1.3. Momen từ của các nguyên tử
1.3.1 Momen từ quỹ đạo của điện tử
Theo mẫu nguyên tử của Bohr, nguyên tử hydro có một hạt nhân (điện
tích dương) ở tâm và một điện tử (điện tích âm e) chuyển động theo quỹ đạo
tròn xung quanh hạt nhân với bán kính là r. Với chuyển động như vậy, điện tử
tạo nên dòng điện i có momen quỹ đạo PL và momen từ tương ứng là µL, gọi
là momen từ quỹ đạo.
Với chuyển động tròn có vật tốc góc ω0, dòng điện do điện tử tạo ra là i:

22



Nên:




PL  mvr  m0 r 2


ePL
L  
2m

(1.23)
(1.24)

Momen từ và momen xung lượng của điện tử có dấu ngược nhau vì
điện tử có điện tích âm, dòng điện i do điện tử sinh ra ngược chiều với chuyển
động của điện tử
1.3.2 Momen từ spin của điện tử
Ngoài momen từ quỹ đạo, điện tử còn có momen từ riêng, gọi là
momen từ spin. Khi giải bài toán về phương trình tổng quát đối với điện tử ở
dạng tương đối tính, Dirac đã cho kết quả là, ngoài thành phần xung lượng
chuyển động không gian, điện tử còn có một bậc chuyển động tự do, đó là
chuyển động spin tương ứng với momen
 
PS  S ћ

(1.25)

S là số lượng tử spin có giá trị là ± ½

tăng nhiệt độ, năng lượng nhiệt tăng, hiệu ứng hỗn loạn các momen từ tăng
lên và χ giảm (định luật Curie  

C
)
T

Trong trường hợp tổng quát, giả sử, các momen từ của n nguyên tử là µ
các véctơ µ đều xuất phát từ tâm hình cầu với bán kính một đơn vị (hình 1.7).
trong đó :
 dn là số momen từ nằm trong góc khối θ và θ +dθ gần theo hướng từ
trường ngoài.
 Khi không có từ trường ngoài tác dụng, số véctơ µ cắt một đơn vị
diện tích mặt cầu (bán kính một đơn vị) như nhau ở bất kỳ vị trí nào của mặt
cầu. Do đó dn tỷ lệ với diện tích dA mặt cầu (hình 1.7).
dA  2 .sin  d

24

(1.28)


Hình 1.7. Vec tơ µ dưới tác dụng của từ trường H
 Khi đặt từ trường H vào hệ, véctơ µ sẽ quay theo hướng H và có thế
năng trong từ trường EH   µ Hcos . Ở trạng thái cân bằng nhiệt độ T, xác
suất các momen từ của nguyên tử có năng lượng EH tỷ lệ với hàm e  E

H

/ k BT


Momen theo hướng từ trường ngoài :
n

(1.31)

M   µcos dn
0

Sử dụng (1.29) và (1.30) đưa vào (1.31) ta thu được giá trị M:



M  2 K µ  eacos sin  cos d 

n µ  eacos sin  cos d
0

(1.32)



0

e
0

25

acos