Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
Chuyên đề một số ứng dụng của định lý vi - ét
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A . Đặt vấn đề





------------------------------------
I - Lý do chọn đề tài
Nh chúng ta đã biết phơng trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chơng
trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai là vô cùng phong phú.
Do vậy khả năng gặp phơng trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vào THPT, vào
các trờng chuyên, lớp chọn là rất cao. Mà đặc biệt là các bài toán liên quan đến định lý
Vi-ét.
Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Vi-ét là rất ít (1 tiết lý thuyết,
1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài toán có
liên quan đến định lý Vi-ét và ứng dụng một số ứng dụng của định lí này. Trớc thực tế
đó, nhằm giúp các em nắm đợc một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết đợc các
bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán
đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề:
Một số ứng dụng của định lý Vi-ét
II. Mục đích nghiên cứu
- Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trớc những thiên hớng
tốt, cha tốt mà tôi thấy rất cần phân loại và một số phơng pháp giải cho các em
- Thứ hai: Bản thân ngời thầy cũng rầt cần trau dồi tự học và tham khảo làm chủ kiến
thức
- Thứ ba: Giúp các thày cô có thêm tài liệu về định lý Vi-ét phục vụ trong công tác
giảng dạy, đặc biệt trong việc ôn luyện học sinh giỏi và ôn luyện vào THPT.
III. Phơng pháp nghiên cứu


0) (*)
acb 4
2
=
a) Nếu

< 0 thì (*) vô nghiệm
b) Nếu

= 0 thì (*) có nghiệm kép:
a
b
xx
2
21

==
c) Nếu

> 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt
a
b
x
2
1
+
=
;
a

Đảo lại nếu hai số x
1
; x
2
có tổng x
1
+ x
2
= S và tích x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là các nghiệm của ph-
ơng trình X
2
- SX + P = 0 (ở đây chú ý rằng PT(*) chỉ có nghiệm khi S
2


4P
2. Dấu của nghiệm số phơng trình bậc hai
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0)

=

< =

<

+)
1 2
0
0 0
0
P x x
S



> <


>

+)
1 2
0
0
0
P
x x
S
=

x x
a
= =
+) Nếu a- b + c = 0 thì phơng trình (*) có hai nghiệm
1 2
1;
c
x x
a

= =
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 4 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
+) Nếu x
1
+ x
2
= m + n và x
1
.x
2
= m.n và
0
thì phơng trình (*) có nghiệm x
1
= m; x
2
= n
hoặc x
1

;1
3. Nếu
nmxx
+=+
21
;
nmxx ..
21
=
và
0

thì phơng trình có nghiệm:

nxmx
==
21
;
hoặc
nxmx
==
12
;
II. Một số ví dụ
VD1: Giải phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a.
015)53(
2
=+
xx

(m +1)x 2m + 2 = 0 ( m là tham số, x là ẩn) (3)
H ớng dẫn :
a. ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c

0, a - b + c

0, nhng có a.c =
15

< 0. Do đó
phơng trình có hai nghiệm phân biệt
21
xx
<
. áp dụng hệ thức Viét có:





==
+=+
5.315.
53
21
21
xx
xx
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là:
3

xx


==
3
52
;1
21
c. ở phơng trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay:
a b + c = m 3 + m + 1 2m + 2 = 0. Nên
1
1
=
x
;
22
2
=
mx
mà không thấy đợc ph-
ơng trình đã cho cha phải là phơng trình bậc hai.
Vì vậy ta cần xét m 3 = 0; m 3

0, rồi nhẩm nghiệm.
Giải:
+ Nếu m 3 = 0

m = 3 thì phơng trình (3) trở thành - 4x 4 = 0

x = -1

Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt). Để
giải quyết đợc tôi đã định hớng để học sinh thấy đợc khi đó phải đa các PT ấy về dạng PT
bậc 2 nhẩm đợc nghiệm.
VD2: Nhẩm nghiệm của phơng trình
0155
23
=+
xxx
(4)
H ớng dẫn
PT (4) có tổng các hệ số là: 5 + 1 5 1 = 0, nên PT (4) có nghiệm x = 1.
Khi đó ta đa PT (4) về dạng: (x -1)(5x
2
+ 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x
2
+ 6x + 1 = 0
Kết quả phơng trình (4) có 3 nghiệm: x
1
= 1; x
2
= -1; x
3
=
5
1

VD3:
Giải phơng trình :
+
4

x
x
+ 5.
1
2
+
x
x
- 6 = 0
Đặt
1
2
+
x
x
= X; ta đợc
2
X
+ 5
X
6 = 0
Dễ dàng nhẩm đợc
1
X
= 1 ;
2
X
= -6
Sau đó giải tiếp tìm đợc x
Dạng 2:

1
x
+
3
2
1
x
Giải: Theo định lý viét ta có:
1 2
1 2
3
2 1
.
3
c
x x
c
x x

+ =





=


S =
3

3
xx
xxxxxx
++
S =
3
3
3
12
3
.
3
12
.3
3
















= =

0

Phơng trình (*) có 2 nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
. Không mất tính tổng quát. Giả sử x
1


x
2
.
áp dụng định lý viét, ta có S = x
1
+ x
2
=
4
85
và P = x
1
. x
2
=
16
21

xxxx
+
Do x
1


x
2
nên
x
1
- x
2
=
( )
2
21
xx

=
21
2
2
2
1
2 xxxx
+
=
( )
21

16
85
=
16
64
.
4
1
= 1
Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trớc hết ta tính
S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi
biểu thức đã cho nhằm xuất hiện S; P từ đó tính đợc giá trị của biểu thức.
VD3: Cho phơng trình
035
2
=+
xx
. Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2



0

, x
2

0

Vì x
1
là nghiệm của phơng trình
035
2
=+
xx
nên
035
1
2
1
=+
xx


144
11
2
1
+=+
xxx

1

x
Khi đó A =
11
21
++
xx

122
212121
2
+++++=
xxxxxxA

2
A
= 5 + 2 - 2
1135
=++

A = 1 ( vì A
0

)
ở VD3 không có mặt S, P một số học sinh vội vàng bình phơng 2 vế ngay khi đó gặp bế
tắc. Thế nhng nếu học sinh khéo thay thế
2
1


121121
2
1
3
1
x
=
( )
1
2
111
2
11
.. PxSxPSxxxx
==
=
( )
11
2
11
. PxSPxSPxPSxS
=
=
( )
SPxPS

1
2
( ) ( )
PSPxSPSxxx

1
3
2
4
1
+++
xxxx
B =
2
4
21
2
1
5
1
8
2
3
13 xxxxx
++
H ớng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1. áp dụng các hệ thức trên ta có:
12
1
2
1
+=
xx
;
12
2

5
1
512512.. xxxxxxx
+=+==
=
( )
122951212
111
+=++
xxx
Ta có :
A=
8832
2
2
1
3
2
4
1
+++
xxxx

404)(18
41818
8836410512
88)12(3)25(2512
21
21
2121

11
2
1
812
2
3
13512 xxxxxx
++++
=
144
2
3
169
2
2
21
2
1
+++
xxxx
=
12
2
3
13
21
+
xx
Vì phơng trình có ac = -1


+=++
xxxx
= 3.2 -
1 11
2 2
=
2.2 Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình.
Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình . Để làm
đợc các bài tập kiểu này ta phải tìm S, P trong từng phơng trình rồi xem xét, thay thế một
cách hợp lý ( thờng thì phải thay thế nhiều lần ) ta sẽ tính đợc giá trị của biểu thức đó.
VD5: Giả sử
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình
01
2
=++
axx
và
43
, xx
là nghiệm của
phơng trình
01
2
=++
bxx
.
Tính giá trị của biểu thức: M =
( ) ( ) ( ) ( )

+=+
= 1 +
1
3241

xxxx
=
3241
xxxx

và
( ) ( )
=+
4132
. xxxx
43314221
xxxxxxxx
+
= 1 +
1
3142

xxxx
=
3142
xxxx



M =

2
1
2
4
2
3
xxxx
++
M=
( )
[ ]
( )
[ ]
21
2
2143
2
43
2.2 xxxxxxxx
++
M=
( ) ( )
2222
22 abab
=
VD6: Gọi a,b là hai nghiệm của phơng trình :
01
2
=++
pxx

pba
;



=
=+
2bc
qcb
Ta có
( ) ( )
cbab

.
=
acbcabb
+
2
=
( )
bcabacbcabb
++++
2
2
= b
( ) ( ) ( )
bcabbacba
++++
2
=

2
2
2
2
1
+
+
+
x
x
x
x

BT2. Cho phơng trình :
0135
2
=
xx
Không tính nghiệm của phơng trình , hãy tìm giá trị
của mỗi biểu thức:
A=
2
21
3
22
2
1
3
1
3232 xxxxxx




21
11
xx
C.
1221
22 xxxx
+
BT3. Cho phơng trình
07
2
=+++
mmxx
. Không tính nghiệm
1
x
và
2
x
theo m, hãy tính .
A =
2
2
2
1
xx
+
B =

2
=++ cbxax

( )
0

a
có 2 nghiệm
21
; xx
.Tính theo a, b, c các biểu
thức : A =
( )( )
1221
3535 xxxx

B =
21
2
12
1
33 xx
x
xx
x

+

BT5. Cho phơng trình
015

xxxx
BT6. Cho phơng trình
( )
0334
22
=+++
aaxax
, gọi
21
; xx
là 2 nghiệm của phơng trình.
Tìm giá trị của a để:
9
8
11
2
2
2
1
2
1
=

+
x
ax
x
ax

(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dơng, năm học: 2002 -2003)

x
là nghiệm âm của phơng trình.
Tính giá trị của biểu thức. C =
11
8
1
1310 xxx
+++
BT9.Cho phơng trình
( )
00
2
=++
acbxax
có 2 nghiệm
21
; xx
.thoả mãn
2
21
xx
=
CMR :
abcaccab 3
223
=++
BT10. Giả sử phơng trình
0
2
=++

2
=+
PSxx
(*) . Điều kiện để phơng trình (*) có nghiệm là
04
2
=
PS
hay
PS 4
2

. Đó
chính là điều kiện tồn tại hai số U và V mà tổng U + V = S và U .V = P . Nh vậy khi biết
tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm đợc hai số đó thông qua việc giải phơng trình bậc hai.
II. Một số ví dụ
VD1: Tìm 2 số a, b biết
a. a + b = 10 và ab = 32
b. a + b = 5 và a
2
+b
2
= 13
c. a b = 2 và ab = 80
d. a
2
+b
2
= 29 và ab = 10
H ớng dẫn :

21
==
xx
. Vậy a = 3 và b = 2 hoặc a = 2 và b = 3.
c. ó a - b = 2

a+ (-b) = 2
a.b = 80

a.(-b) = -80

a và -b là nghiệm của phơng trình
0802
2
=
xx
. Giải phơng trình đợc
8;10
21
==
xx
.
vậy a= 10 và b = 8 hoặc a = -8 và b = -10.
d.Có



=
=+
10

a+ b = 7 ;ab = 10 hoặc a+b =-7 và ab = 10
Nếu a + b = 7 và ab = 10

a, b là 2 nghiệm của phơng trình
0107
2
=+
xx
, giải phơng trình đợc
5;2
21
==
xx

a= -2 và b = -5 hoặc a= -5 và b = -2.
VD2: Tính hai cạnh của 1 hình chữ nhật cho biết chu vi bằng 4a và diện tích bằng b
2

( a,b

0 cho trớc).
H ớng dẫn: Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật (
ayx 2;0

) .
Theo giả thiết ta có x + y = 2a
x.y =
2
b
Do đó x, y là nghiệm của phơng trình

baaX
+=22
2
baaX
=
Vì P
0

, S
0



0
12
XX

.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là:





=
+=
22



0

(1) vô nghiệm . Khi đó không có hình chữ nhật thoả mãn điều kiện
đầu bài.
VD3 : Giải các hệ phơng trình sau:
a.



=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx
b.





=++
=+
=++
14
7
6

2
xyyx
xyyx


( )
( )



=+++
=++
012)(
5
2
yxyx
xyyx
(I) Đặt



=
+=
xyp
yxS
(I)






=+
=



=+
=
5
4
5
3
PS
S
PS
S












=
=

2
=++
tt
vì phơng trình
094
2
=++
tt
có
0


nên trờng hợp này vô nghiệm.
Vậy các nghiệm của hệ phơng trình đã cho là ( x;y) = ( 2; 1) và (1; 2)
b. Có :





=++
=+
=++
14
7
6
222
zyx
zxyzxy
zyx

zxy
zxyzxy
zyx






=+
=+
=++
)3(9)(
)2(7
)1(6)(
zxy
zxyzxy
yzx
Từ (1) và (3) theo định lí Viét

y và x+z là các nghiệm của phơng trình

096
2
=+
tt



( )

=+
tt


2;1
21
==
tt
Vậy hệ phơng trình đã cho có các nghiệm ( x, y, z) = ( 1; 3; 2) ; (2; 3; 1).
Nhận xét : Vậy từ bài toán giải hệ 3 phơng trình ba ẩn bằng cách biến dổi thích hợp ta đã
đa bài toán về dạng tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng ( với số thứ nhất là x+z) , số thứ
là y và ta giải đợc hệ nhờ định lí Viet.
Bài tập áp dụng:
BT1.Tìm 2 số biết :
a. Tổng là 18 và tích là 45
b. Tổng là 4 và tích là -12
c. Tổng là -10 và tích là 16
d.Tổng là 2+
3
và tích là 2
3
e.Tổng là 4
7
và tích là -17
BT2. Tìm 2 số x,y biết:
a. x y = 9 và x.y = 90
b.
625
22
=+

=+
yx
và x+y xy = 5
c.
2
22
=
yx
và xy = -
3
d. x-y = 5 và xy = 66
e.
177
33
=+
yx
và xy = -1
BT4. Tìm 3 số x, y, z biết: x + y + z = 7; xy + yz - xz = 10; x
2
+ y
2
+ z
2
= 21
Dạng 4:
xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai
I. Phơng pháp giải
Xét phơng trình bậc hai:
0
2







0
0
0
S
P
2. Phơng trình có 2 nghiệm âm










0
0
0
S
P
3. Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu: P
0


Hoặc S = 0 ( Trờng hợp này tồn tại nghiệm không âm)
Hoặc
0,0

PS
( Trờng hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)
Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S.
II. Một số ví dụ
VD1: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có 2 nghiệm cùng dấu . Khi đó 2 nghiệm mang
dấu gì ?
a.
0452
2
=+
mmxx
(1)
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 15 -