HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
1.Cho 1 điểm O ở trong tam giác ABC .Từ O dựng OF ⊥ AB, OG ⊥ BC ,
OH ⊥ AC
Chứng minh rằng AF
2
+ BG
2
+ CH
2
= BF
2
+ CG
2
+ AH
2
2.Cho hình vuông ABCD.Một đường thẳng qua A cắt BC tại M và cắt CD
kéo dài tại I
Chứng minh rằng :
3.Cho tam giác ABC vuông tại A,AC = 2AB,AH = 4.Tính các cạnh tam
giác ABC
4.Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Chứng minh rằng : AB
2
.HC = AC
2
.HB
5.Cho tam giác ABC vuông tại A có các đường trung tuyến AD,BE,CF
Chứng minh rằng : BE
2
+ CF

1.Chứng minh rằng trong 1 hình bình hành tổng bình phương 2 đường chéo
bằng tổng bình phương các cạnh
1.Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: b
2
– c
2
= a(b.cosC – c.cosB)
2.Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng :
AC ⊥ BD ⇔ AB
2
+ CD
2
= AD
2
+ BC
2
3.Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho BD = 2CD
Chứng minh rằng : AB
2
+ 2AC
2
= 3AD
2
+
3
2
BC
2
4.Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho BD = 3CD
Chứng minh rằng : AB

=
7.Cho tam giác ABC có a = ,b= 2,c = + 1.Tính A ,S ,h
a
,R
8.Cho tam giác ABC có a = 2 , b = , C = 120
o
.Tính c,S h
a
9.Cho tam giác ABC, Chứng minh rằng :
abc(cosA + cosB + cosC) = a
2
(p – a) + b
2
(p – b) + c
2
(p – c)
10.*Cho tam giác ABC có 3 đường cao AA’,BB’,CC’ và H là trực tâm
Chứng minh rằng :
. + . + . = (AB
2
+ BC
2
+ CA
2
)
Định lý sin
1.Cho tam giác ABC có góc A = 60
o
và a = 6 Tính R
1.Cho tam giác ABC có góc A = 60

=
AB
ˆ
D
β ,
=
CA
ˆ
D
α’ ,
=
DB
ˆ
C
β’ .Tính độ dài cạnh AD
5.Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:
a) a = b.cosC + c.cosB
b) sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
c) h
a
= 2RsinB.sinC
6.Cho tam giác nhọn ABC.Kẻ các đường cao AA’ ,BB’ ,CC’
a)Chứng minh rằng: B’C’ = 2RsinA.cosA
b)Lấy A
1
,A
2
lần lượt là điểm đối xứng với A’ qua AB và AC. Chứng minh
rằng: chu vi tam giác A’B’C’ bằng độ dài đoạn thảng A
1

2
= 2(OM
2
+ R
2
)
3.Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là một điểm tuỳ ý. Chứng
minh rằng : (MA
2
+ MC
2
) – (MB
2
+ MD
2
) = 2(OA
2
– OB
2
)
3.Cho tam giác ABC có 3 cạnh AB = c,BC = a,AC = b.Độ dài trung tuyến
AM = c
Chứng minh rằng : a
2
= 2(b
2
– c
2
)
4Cho tam giác ABC.Gọi I là trung điểm BC,G là trọng tâm.Gọi D là điểm

+ GB
2
+ GC
2
=
3
1
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
b) Chứng minh rằng: 4 = 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
5. Chứng minh rằng khoảng cách d từ trọng tâm tam giác ABC đến tâm
đường tròn ngoại tiếp của tam giác thoả mãn
R
2
– d
2
=
5*.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của G
lần lượt xuống các cạnh BC, CA, AB của tam giác .Hãy tính diện tích của


a) Tìm quĩ tích trung điểm I của NP
b)Xác định vị trí của N và P để diện tích tam giác MNP đạt giá trị lớn nhất
9.Cho tam giác đều ABC có cạnh 6cm.Một điểm M nằm trên cạnh BC sao
cho BM = 2cm
a)Tính độ dài đoạn AM và cosBAM
b)Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM
c)Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ C của tam giác ACM
d)Tính diện tích của tam giác ABM
10. Tam giác ABC có = ≠ 1. Chứng minh rằng:
2cotA = cotB + cotC
11.Chứng minh rằng: hai trung tuyến BM và CN của tam giác ABC vuông
góc nhau khi và chỉ khi: cotA = 2(cotB + cotC)
Định lý về diện tích
1.Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp
nhân với sin của 1 góc của hình bình hành
2.Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng: S = 2R
2
.sinA.sinB.sinC
2.Cho tứ giác ABCD,gọi α là góc giữa hai đường chéo
a)Chứng minh rằng S
ABCD
= AC.BD.sinα
b)Suy ra công thức tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc
2.Cho tứ giác ABCD. Dựng hình bình hành ABDE. Chứng minh rằng: tứ
giác ABCD và tam giác ACE có diện tích bằng nhau
3.Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r và độ dài các
đường cao là h
a

bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC,ABH,ACH. Chứng minh
rằng : AH = r
1
+ r
2
+ r
3
*8.Cho tam giác ABC thoả mãn : h
a
= . Chứng minh rằng tam giác ABC là
tam giác cân
9*.Cho tam giác có a = 10, góc A = 60
o
và bán kính đường tròn nội tiếp
r =
a)Tính độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp
b)Tính độ dài các cạnh b,c ⇒ tam giác ABC đều
10*.Cho tứ giác ABCD nội tiếp có độ dài các cạnh là a,b,c,d. Chứng minh
rằng diện tích của tứ giác S = trong đó p là nửa chu vi của tứ giác
11*.Cho tam giác ABC với AB = c ,AC = b .Gọi M là trung điểm của BC
a)Chứng minh rằng: 2 = 2 +
b)Chứng minh rằng : 4. = b
2
– c
2
c)Giả thiết thêm rằng góc BAM = 30
o
và góc MAC = 45
o
. Đặt AM = m

B = M
B
ˆ
C = M
C
ˆ
A = α. Chứng minh rằng:
cotgα = cotgA + cotgB + cotgC
4.Cho tam giác ABC vuông tại A,cạnh huyền BC = a,đường cao AH = h.
Chia cạnh huyền BC ra làm n phần bằng nhau (n lẻ). Gọi PQ là một trong
các đoạn bằng nhau ấy và chứa trung điểm M của BC. Đặt P
A
ˆ
Q = α.
Chứng minh rằng : tgα =
5.Cho tam giác ABC và M là điểm bất kỳ trong tam giác .Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là hình chiếu của M lên BC ,AC ,AB. Đặt A
1
A
ˆ
B = α , B
1
B
ˆ
C =

là góc nhọn
5.Một tấm bìa hình thang cân có đường chéo là d ,đáy nhỏ là a, góc nhọn là
α.Tính các cạnh và diện tích của tấm bìa
6.Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m.Từ P và Q thẳng hàng với
chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB
của tháp các góc BPA = 35
o
và BQA = 48
o
.Tính chiều cao của tháp
7.