Gio trinh 



 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH
I. ĐẠO HÀM
1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =
1x
|x|
+
tại x
0
= 0.
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+1, có đồ thò (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Cho (C) : y = f(x) = x
4
− 2x
2
.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng
2
.

đi qua H(1;1).
8) Tìm đạo hàm các hàm số
a) y = ( x
3
– 3x + 2 ) ( x
4
+ x
2
– 1 ) b) y =
1xx
x2x
2
3
++
−
c) y =
qpx
cbxax
2
+
++
9) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5
b) y = sin
2

2
x
tg
g) y = cotg ( 5x
2
+ x – 2 ) h) y = cotg
2
x + cotg2x

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
1
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH
11) Tính đạo hàm của hàm số
f(x) =



≥
<
0x nếu x
0x nếu x
2
3
tại điểm x
0
= 0
12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :
a) y = lnx b) y = e
Kx
c) y = sin x

b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg
2
x
= 0
c) Cho y = e
4x
+2e
−
x
. Chứng minh rằng : y’’’−13y’−12y = 0
d) Cho y =
4x
3x
+
−
. Chứng minh rằng : 2(y’)
2
= (y−1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3
++++−
. Chứng minh rằng: y’ = cotg
4
x
15) Cho f(x) =
xsin1
xcos

a) f(x) = cos x +sin x + x.
b) f(x) = (x
2
+2x−3)e
x
c)

f(x) = sinx.e
x
d) f(x) =
xxcosxsin3
+−
18) Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
−2x
2
+ π .
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH
19) Cho các hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x; g(x) =
x4cos

.
24) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
−3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
−x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−
.
e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π). f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x

1
2
26) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
−
−
đồng biến trên các khoảng xác đònh
của nó. Kq: m = 0
27) Đònh m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghòch biến trên nửa khoảng [1;+∞).
Kq: m ≤
5
14
−
28) Chứng minh rằng :
x1e
x
+>
, ∀x > 0.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH
29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng
khoảng xác đònh) của nó :

:
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞)
31) Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=
luôn đồng biến trên từng khoảng xác
đònh của nó.
32) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng biến trên khoảng
(1;+∞). Kq:
223m
−≤
33) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m −x) −m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3
34) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 −

−3mx
2
+(m
2
−1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
( Đề thi TNTHPT 2004
−
2005) Kết quả : m=11
38) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trò. Kết quả : m ≥1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thò (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:
3

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH





=
≠

+(m
2
−m+1)x+1. Có giá trò nào của m để hàm số
đạt cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không
42) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
−mx
2
+(m+2)x−1. Xác đònh m để hàm số:
a) Có cực trò. Kết quả: m <−1 V m > 2
b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2
c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <−2 V m > 2
43) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = −x
4
+2mx
2
−2m+1.
Hd và kq : y’=−4x(x
2
−m)
 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
 m > 0: 2 cực đại x=
m
±
và 1 cực tiểu x = 0
44) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) =
1x

1
là một hằng số.
47) Tìm cực trò của các hàm số :
4
a)
x
1
xy
+=
. b)
6x2
4
x
y
2
4
++−=
. c) y =
21x
3
+−

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH
48) Đònh m để hàm số có cực trò :
a)
2mxx3xy
23
−+−=
. Kết quả: m<3

mà x
1
< −1 < x
2
< 1. Kết quả: m>−1
51) Chứng minh rằng : e
x
≥ x+1 với ∀x∈|R.
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
52) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
−2x+3. Kq:
R
Min
f(x) = f(1) = 2
53) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
−2x+3 trên [0;3].
Kq:
]3;0[
Min
f(x)=f(1)=2 và
]3;0[
Max
f(x)=f(3)=6.
54) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−

+3(m+1)x+1 nghòch biến trên
khoảng( −1;0). Kết quả : m ≤
3
4
−

5
58) Tìm trên (C): y =
2x
3x
2
−
−
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai
trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0;
2
3
)

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH
59) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
60) Tìm GTLN: y=−x
2
+2x+3. Kết quả:
R
Max
y=f(1)= 4
61) Tìm GTNN y = x – 5 +
x



−
1;
2
1
Kết quả:
4)1(fyMax
]1;
2
1
[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;
2
1
[
−==
−
64) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả:
R
Min

R
Max
y=1
d)
1xx
3x3x
y
2
2
++
++
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3
1
;
R
Max
y=3
65) Cho hàm số
2xx
1x3
y
2
++
+
=

2
x +
2xlg
1
2
+
Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg
2
x, t≥0, ⇒ hàm số
y=g(t)=t+
2t
1
+
xác đònh trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0
6
⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên
[0;+∞ ) ⇒
);0[
Min
+∞
g(t) = g(0) =
2
1
⇒
);0(
Min
+∞
f(x) = f(1) =
2
1

+1 b) y = f(x) =
x
4xx
2
+−
70) Đònh m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
3
−3(m−1)x
2
+m
2
x−3 nhận I(1;−1) làm điểm uốn.
Kết quả: m = 2 .
71) Đònh m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
4
−6mx
2
+ 3
a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0
b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0
72) Chứng minh rằng đồ thò (C):
1xx
1x2
y
2
++

phương trình : y = k(x-x
C
)+y
C
=
3
2
(x-1)+1⇔ y=
3
2
x +
3
1
.
73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x
2
−3x+2
Kết quả: Lõm trên các khoảng (−∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2).
Điểm uốn : I
1
(1;0) và I
2
(2;0)
74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm
cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox.
b) Tìm m để (C

1
+x
2
+x
3
=
a
b
−
⇒ x
2
=
a3
b
−
. Vậy điểm uốn I(x
2
;0)∈Ox.
7

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Tìm I(m;m
2
−m).
Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m
2
−m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1.
Điều kiện đủ : Chọn m = 1.
75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :

3
−3x
2
+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn.
b) (C
a,b
) : y=ax
3
+bx
2
+x+1 nhận I(1;−2) làm điểm uốn.
c) Biện luận theo m số điểm uốn của (C
m
) :y=x
4
+mx
2
+m−2 .
78) Tìm m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
3
−3x
2
−9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có
hoành độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11.
79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) :
y=x
3
−3x



<
−=+
2b
10ba
80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thò (C):y=
1x
1x
2
+
+
.
Kq:y =
4
3
x
4
1
+
8
81) Tìm m để (C
m
):y = x
3
−3mx
2
+2m(m−4)x+9m
2
−m có điểm uốn :

. Kết quả: y = 1
b) y =
x
1xx
2
++
. Kết quả: y = ±1
84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y =
1x
2
+
.Kết qua û: y = ±x
85) Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y =
3 32
xx3
−
. Kết quả : y = −x+1.
86) Cho (C
m
) :
( )
1x
mmx1mx
y
222
+
++++
=
.
a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C

3
-3x+1 b) y = 3x
2
-x
3
c) y = x
3
+3x−4 d) y = (1-x)
3
e) y =
2
1
x
2
x
2
4
+−
f) y = x
4
+x
2
-2.
g) y=2x
2
−x
4
-1 h) y=x
4
-1

−
n) y =
2x
1
2x
+
+−−
VII.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thò:
a) (C): y =
2x
3x6x
2
+
+−
và d: y = x−m. Hd: Lý luận x=
2
m8
3m2
−≠
−
+
b) (H):
1x
1x
y
−
+
=
và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành

+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
3
−3x
2
− 9x+1−m = 0.
95) Cho parabol (P): y=x
2
−2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m.
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (P)
b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P).
c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của
đoạn AB.
96) Cho hàm số
1x
1x
y
−
+
=
, có đồ thi (H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H).
b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập
hợp trung điểm I của MN.
97) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x
3
−3x
2
+1 nhận điểm uốn của nó
làm tâm đối xứng.

3x
+
−
có hai trục đối xứng.
Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(−1;1). Suy luận có hai đường phân giác
y=−x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C). Chứng
minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C).
100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y =
2x
2x
+
−
. Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy
suy ra đồ thò của các hàm số:
a) (C
1
): y = f
1
(x) =
2x
2x
+
−
b) (C
2
): y = f
2
(x) =
2x
2x

6
): |y| = f
6
(x) =
2x
2x
+
−
101) a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) hàm số : y = f(x) = x
3
−3x
2
+2.
b) Từ đồ thò (C), suy ra đồ thò (C’): y = g(x) = | x|
3
−3x
2
+2. Từ đó biện luận theo
m số nghiệm của phương trình: | x|
3
−3x
2
+1 − m = 0.
102) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=x
2
+(2m+1)x+m
2
−1 (1) luôn tiếp xúc với một đường

x
2
+(2m+1)x+m
2
−1=x−1 ⇔ x
2
+2mx+m
2
=0
⇔ (x+m)
2
=0 ⇔ x=−m (nghiệm kép)
Vậy (C
m
) luôn tiếp xúc d:y=x−1.
Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc
nhau
⇔
phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” .
Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc.
Lời giải 2:

Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố đònh. d tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ
khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:
x
2
+(2m+1)x+m
2

Vậy d:y=x−1 là đường thẳng cố đònh mà (C
m
) luôn tiếp xúc.
103) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=
mx
mmx)1m3(
2
+
+−+
(1), m ≠ 0 luôn tiếp xúc với hai
đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình hai đường thẳng đó.
1. Dự đoán các đường thẳng cố đònh: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m:
m
2
+(y−1−3x)m+(y−1)x=0 (2), đặt t=y−1 ta có phương trình: m
2
+(t−3x)m+tx=0(3)
Phương trình (3) có ∆=0 ⇔ (t−3x)
2
−4tx=0 ⇔ t
2
−10xt+9x
2
=0⇔ t=9xV t=x.
Thay t=y−1,suy ra hai đường thẳng d
1
:y=9x+1, d
2

1x9
mx
mmx)1m3(
2
2
2
⇔ (3x+m)
2
=0 ⇔ x= −
3
m
Vậy d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= −
3
m
(m ≠ 0).
• Tương tự : d
2
:y=x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= m (m ≠ 0).
104) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=mx
3
−3(m+1)x
2

12
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 14 - Soạn cho lớp LTĐH
VIII.TÍCH PHÂN
106) Cho f(x)=
3
2
)1x(
3xx
−
−+
, tìm A, B và C sao cho:
f(x)=
1x
C
)1x(
B
)1x(
A
23
−
+
−
+
−
. Kq: A= -1; B=3 và C=1
2) Từ đó tính
dx
)1x(
3xx
3

5
1
−
; B=
5
3
−
và C=
5
8
111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả
a) y=
x
1x
+
b) y=2
2
x
sin
2
)1
3
x
(x2
+
+C
x−sinx+C
c) y=
xcos.xsin

A
2x3x
1x
2
−
+
−
=
+−
+

Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2x3x
1x
)x(f
2
+−
+
=
Kết quả: A=3; B= −2. F(x) = 3 l nx−2−2 l nx−1+ C= l n
2
3
)1x(
2x
−
−
+C
115) Tính các tích phân:

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều

e
.sinxdx
f)
∫
xsin
dx
l n l n x+C
3xcos2
e
2
1
+
−
+C
l n
2
x
tg
+C
116) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
+
2
1
2
2
dx
x2

π−
e)
∫
π
π
−
3
4
2
2
dx
xcos
xgcot23
f)
∫
π
π
−
4
6
2
3
dx
xsin
xsin1
g)
∫
π
2
0

2ln3
ln
2
g)
dx
xcos31
xsin
2
0
∫
π
+
h)
∫
π
π
2
6
2
3
dx.
xsin
xcos
3
2
ln2
2
1
ln(
3

2
0
3
dx.xcos
ln
4
5
3
2
i)
∫
π
π
−
+
2
3
dx.
xcosxsin
xcosxsin
j)
∫
+−−
1
0
2
dx.1xx)1x2(
k)
∫
e