MỘT SỐ ỨNG DỤNG VỀ ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
-----------------------------
Điều kiện có nghiệm của phương trình (PT) bậc hai một ẩn số có nhiều ứng dụng trong việc giải toán
ở trường THCS . Bài viết này trình bày cách giải các bài tập về tìm giá trò nhỏ nhất , lớn
nhất(GTNN,GTLN) của biểu thức ; tìm nghiệm nguyên của PT; chứng minh bất đẳng thức ;…bằng
cách ứng dụng điều kiện có nghiệm trên.
I) Tìm GTNN , GTLN của biểu thức.
* Xét biểu thức Q(x) xác đònh với điều kiện của biến x .Ta đặt a = Q(x) ,để a có giá trò khi PT
Q(x) – a = 0 hoặc P(t) – a = 0 ( trong đó t là biến phụ theo x ) là những PT bậc hai theo biến x hoặc
biến t có nghiệm , nghóa là
∆
x

≥
0 hoặc
∆
t

≥
0 mà trong biết thức
∆
có chứa a , từ đó ta tìm được
GTLN,GTNN của a.
Bài 1) Tìm GTLN , GTNN của biểu thức
1
542

2
2
+

3

+ Nếu a
≠
2 thì (2) có nghiệm
⇔
∆
’ = 4 – (a-2)(a-5)
≥
0
⇔
a
2
-7a+6
≤
0
⇔
1
≤
a
≤
6( a
≠
2)
Với a = 1 thì x = -2 .
Với a = 6 thì x = ½ .
Vậy GTNN cùa a là 1 khi x = -2 , GTLN của a là 6 khi x = ½ .
Bài 2) Tìm x để biểu thức y = x -
2008
−

≥
0
⇔
4y
≥
8031
⇔
y
≥

4
8031
GTNN của y là
4
8031
khi t = ½ lúc đó x = ¼ + 2008 =
4
8033
Vậy với x =
4
8033
thì GTNN của y là
4
8031
Bài 3) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : c = 2
2
7
1
2
3

∆

≥
0
⇒
d
2

≤
25
⇒
d
≤
5.
+ GTLN của d là 5
⇔
GTLN của c là 6 và đạt được khi z =
5
4
25
4
=
d

⇒
x = z
2
=
25
16

1
2
2
++
−
xx
x
c)
22
22
542
yx
yxyx
+
++
( HD : Đặt t =
y
x
thì biểu thức viết lại là a =
1
542
2
2
+
++
t
tt
)
2) Chứng minh rằng : 3x +4
2







+
với
∆
= b
2
– 4ac
+ Nếu a = 0 thì g(x) = bx +c luôn cùng dấu khi b = 0 và g(x) =0 khi c = 0.
+ Nếu a>0 thì g(x)
≥
0 với mọi x khi
∆
≤
0 và g(x) = 0 chỉ khi
∆
= 0.
+Nếu a < 0 thì g(x)
≤
0 với mọi x khi
∆

≤
0 và g(x) = 0 chỉ khi
∆
= 0.

2
+1 > 0 với mọi số thực x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) = x
2
+8x+7- t(x
2
+1) hay
g(x) = (1-t) x
2
+8x +7 – t (1)
p dụng việc xét tam thức trên vào (1) có:
∆
= 16 – (1-t)( 7 – t) = - t
2
+8t +9.
∆
= 0 khi t = - 1 hoặc t = 9 .
+ Với t = -1 thì a = 1 –t = 2 nên g(x)
≥
0
⇒
f(x)
≥
0 , suy ra GTNN của Q(x) là -1 khi f(x) = 0
⇔
g(x) = 0
⇔
2( x +2)
2
= 0
⇔

thức g(x,y) = 3y
2
– 4xy –t(x
2
+y
2
) hay g(x,y) = (3-t)y
2
– 4 yx – tx
2
(1)
Nếu t = 3 thì g(x,y) = -3x
2
-4xy. Vì
∆
= 4y
2

≥
0 nên g(x,y) = 0 chỉ khi y = 0 , x = 0 ( loại)
Xét (3) theo biến y có
∆
y
= 4x
2
+t(3-t)x
2
= (4+3t –t
2
)x

g(x,y) = 0
⇔
-(y+2x)
2
= 0
⇔
y = -2x (
≠
0) .
Bài 6) Tìm u,v để biểu thức Q =
1
2
+
+
x
vux
đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1
Giải : Đặt f(x) = Q(x) – t =
1
)1(
2
2
+
+−+
x
xtvux
Vì x
2
+1 > 0 với mọi x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) = ux+v-t(x
2

=∆
=∆
16
3
0)1(4
0)4(16u
hay
0
1
2
2
2
2
1
u
v
vu
v
Nghóa là: (u,v) bằng (4,3) hoặc (-4 ,3)
BÀI TẬP
TìmGTLN ,GTNN của biểu thức Q sau :
4x
1-2x
Q )3
x
Q )2
1
324x
Q )1
2

là hai nghiệm của PT bậc hai : ax
2
+ bx +c = 0
Xét PT bậc hai theo biến x : ax
2
+ bxy + cy
2
+ d =0 (1) ,PT ( 1) muốn có nghiệm nguyên thì trước tiên
phải có nghiệm ,từ đó ta thấy xuất hiện những điều kiện của biệt thức :
∆
= b
2
y
2
-4acy
2
-4d
+ Nếu biệt thức sau khi biến đổi về dạng
∆
= my
2
+ n ,trong đó m < 0 , n > 0
Thì PT có nghiệm khi
∆

≥
0
⇔
y
2

2

≤
25 , vì y là số nghuyên nên
y = 0,
±
3,
±
4,
±
5 . Từ đó ta có 12 nghiệm (x,y) = (10,0) ; (-10,0) ; (17,3); (1,3); (-17,-3);
(-1,-3);(6,4);(18,4);(-18,-4);(-6,-4);(15,5);(-15,-5).
Bài 8) Giải PT nghiệm nguyên : x
2
+y
2
–xy –x-y = 0
Giải : PT đã cho viết lại là : x
2
-(y+1)x +y
2
–y = 0 (1)
Ta xem PT (1) là PT bậc hai theo biến x , để PT có nghiệm nghuyên khi PT có nghiệm , nghóa là biệt
thức không âm :
∆

≥
0
⇔
- 3y

2
+ bxy + cy
2
+ d = 0 về dạng tích , ta xem PT theo biến x ,xem y là tham số :
ax
2
+ bxy + cy
2
+ d +m = m (2) .Chọn m sao cho vế trái có biệt thức
∆
là một số chính phương ,lúc đó
f(x) = ax
2
+ bxy + cy
2
+ d +m có hai nghiệm x
1
= g(y) và x
2
= g’(y) .Từ đó PT (2) viết theo dạng tích
là : a [ x – g(y) ][ x – g’(y)] = m .
Bài 9) Giải PT nghiệm nguyên : x
2
+2y
2
+3xy +3x +5y = 15 (1)
Giải : Để đưa (1) về dạng tích , ta nhóm PT theo biến x và xem y là tham số :
x
2
+3xy(y+1) +2y


=++
=++



=++
=++



−=++
−=++
112yx
172yx
;
1712yx
12yx
;
-112yx
-172yx
;
1712
12
yx
yx
.
Ta được các nghiệm (x,y) = (-18,17);(30,-15);(-36,17);(12,-15).
Bài 10) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa x
2



=
=



=−−
=−
-14-y-x
-21-x
;
-24-y-x
-11-x
;
14-y-x
21-x
;
24
11
yx
x
Ta có các cặp số nguyên thỏa mãn PT là (x,y ) = (-1,-4);(0,-2);(2,-4);(3,-2).
Bài 11) Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x,y) của PT : (x
2
+y)(x+y
2
) = (x+y)
3
(1)

x(x-8) phải là số chính
phương suy ra : x(x-8) = a
2
(a
∈
N)
⇒
(x-4+a) = 16 . Từ đó ta tìm được x = 9;8;-1.
Các nghiệm nguyên hai trường hợp này là (x,y) = ( 9,-6);(9,-21);(8,-10);(-1,-1) và (m,0) với m
∈
Z.
Bài 12) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ PT sau :



=+
=+
233
zyx
zyx
Giải : Vì x,y nguyên dương nên x+y = z
⇔
(x+y)
2
= z
2
. Khử z đưa đến PT :
y
2
–(x+1)y+x

BÀI TẬP
Giải PT nghiệm nguyên : a) 2x
2
+2y
2
+3xy+3x+5y = 15. b) 9x
2
-10y
2
-9xy+3x-5y = 9.