SỬ DỤNG ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC 8
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán là một môn học khó với nhiều học sinh đặc biệt là hình học, thực tế ở
trường THCS Vĩnh Tân cho thấy là học sinh thích học số học và đại số hơn. Vậy
nguyên nhân do đâu?
Qua quá trình giảng dạy tôi rút ra một số nguyên nhân như sau: Học sinh
thường hay quên kiến thức cũ, chỉ học “vẹt” các định lí và quy tắc.
Học sinh gặp khó khăn trong việc tìm ra lời giải bài toán hình học, việc vẽ
thêm đường phụ làm cho bài toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn.
Tuy nhiên vẽ thêm đường phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải ngắn
gọn và hay là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ. Thực tế cho thấy rằng
không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các đường phụ. Tùy từng định lí
hay bài toán cụ thể, chúng ta có những cách vẽ thêm các đường phụ hợp lí để có
thể đưa đến nhiều cách giải hay và độc đáo.Song công việc sáng tạo này không thể
tùy tiện. Việc vẽ thêm các đường phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng
hình cơ bản mà chúng ta đã biết.
Do vậy tôi chọn đề tài này nhằm giúp học sinh biết một số cách vẽ đường
phụ thường gặp để giải toán, giúp các em dễ dàng tìm ra lời giải bài toán từ đó
thích học hình học hơn.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1.

Cơ sở lý luận

•

Khi làm các bài tập hình học, hay học các định lí hình học ta hay bắt
gặp các bài toán đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ.

•


phụ để tạo nên các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau.

GT ∆ ABC , AD = DB, DE / / BC
KL
AE = EC
Phân tích: Để chứng minh AE = EC, ta cần chứng minh đây là hai cạnh
tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Ta thấy ở hình vẽ đã có ∆ADE chứa cạnh
AE nên ta cần tạo ra tam giác chứa cạnh EC và bằng ∆ADE , điều này giúp ta nghĩ
đến vẽ đường phụ như sau: Qua E, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC ở F
nhằm tạo ra đoạn thẳng bằng nhau: EF = DB (vì DEFB là hình thang có hai cạnh
ˆ = EFC
ˆ (cùng bằng Bˆ ),
bên EF, BD mà EF// BD) và tạo ra góc bằng nhau: ADE
·
·
(đồng vị, EF// AB). Do đó ∆ADE = ∆EFC ( g .c.g ) , suy ra AE = EC.
DAE
= FEC

Ví dụ2: Để chứng minh định lí 2: “Đường trung bình của tam giác thì song
song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy” trong bài: “Đường trung bình của tam
giác, của hình thang” ta phải kẻ thêm đường phụ để tạo nên các đoạn thẳng bằng
nhau.

GT ∆ ABC , AD = DB, AE = EC
KL DE / / BC , DE = 1 BC
2


1

=
DC AC

Phõn tớch: Kt lun ca nh lớ l

DB AB
=
õy l h thc hai on thng t l
DC AC

nờn ta ngh n nh lớ Ta-lột v h qu ca nh lớ Ta-lột (phi cú ng thng
song song) nờn ta v ng ph nh sau: Qua nh B v ng thng song song
vi AC, ct ng thng AD ti im E, mc ớch nhm to ra hai gúc bng nhau:
ã
ã
ã
ã
ã
ã
(so le trong) m BAE
do ú tam giỏc
BEA
= CAE
= CAE
( gt ) , suy ra BEA
= BAE
ABE cõn ti B, suy ra: BE = AB (1). p dng h qu ca nh lớ Ta-lột i
vi tam giỏc DAC, ta cú:

DB BE

Ví dụ5: Để chứng minh định lí: “Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai
cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam
giác đồng dạng” trong bài 6: “Trường hợp đồng dạng thứ hai” ta phải vẽ thêm yếu
tố phụ.

ΔABC,ΔA'B'C'
A'B' A'C' ˆ µ
=
, A=A'
GT AB AC
KL
ΔABC ΔA'B'C'


Phân tích: Tương tự như ví dụ 4 ở trên, ta vẽ yếu tố phụ như sau: Trên tia
AB, đặt đoạn thẳng AM = A’B’. Vẽ đường thẳng MN // BC ( N ∈ AC ) nhằm mục
đích tạo ra tam giác mới AMN bằng với tam giác A’B’C’ và đồng dạng với tam
giác ABC.
Ví dụ6: Để chứng minh định lí: “Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng
hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau” trong bài 7:
“Trường hợp đồng dạng thứ ba” ta phải vẽ thêm yếu tố phụ.

∆ABC , ∆A ' B ' C '
µ = A',
µ B
µ =B'
µ
GT A
KL ∆A ' B ' C ' ∆ABC


2

Yêu cầu của bài toán là tính góc của hai đường chéo nên ta cần tạo ra các
tam giác đặc biệt để có góc đặc biệt, ta thấy ∆BDH vuông tại H, chứa đường chéo
BD nên ta vẽ đường phụ như sau: Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt
DC ở E. Khi đó ta có: BE = AC mà AC = BD nên BE = BD. Tam giác BDE cân tại
B, đường cao BH nên DH = HE =

DE
(2)
2

Ta có AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE

(3)


Từ (1), (2), (3) suy ra BH = DH = HE.
·
Do đó ∆BDH , ∆BEH vuông cân tại H nên DBE
= 900

suy ra BD ⊥ BE , mà AC // BE nên BD ⊥ AC
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E
trên cạnh AC sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là giao điểm của AI
và BC. Chứng minh rằng ADKE là hình bình hành (bài 48/tr 88- sách nâng cao và
phát triển Toán 8 tập 1).

Phân tích: Để chứng minh ADKE là hình bình hành mà đã có I là trung điểm
của đường chéo DE nên ta cần phải chứng minh I là trung điểm của AK . Từ đó ta

1
=
+
.
AD AB AC

Tính số đo góc BAC (bài 177/tr 81- sách nâng cao và phát triển Toán 8 tập
2).

Phân tích: ở câu a) để tính được AD ta phải tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ với
nhau bằng cách qua D kẻ DE //AB khi đó ta có được ∆ADE là tam giác đều, từ đó
tính được AD.
Ở câu b) tương tự ta kẻ DE // AB nhằm tạo ra ∆ADE cân tại E
Nên ta đặt DE = EA = x, kết hợp với giả thiết

1
1
1
=
+
AD AB AC

·
Ta tìm được AD = x, nên ∆ADE đều suy ra BAC
= 1200

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt
cạnh AB ở D, cắt cạnh BC ở K, và cắt tia đối của tia CA ở E sao cho BD = CE thì
tỉ số


nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường
thẳng DE, BC. Chứng minh rằng:

KE AB
=
(bài 5/tr 121- sách vẽ thêm yếu tố phụ
KD AC

để giải một số bài toán hình học 8).

KE AB
=
không dễ dàng. Để tìm tỉ số
KD AC
trung gian, ta vẽ đường phụ EF // AB, F ∈ BC

Phân tích: Việc chứng minh trực tiếp


Khai thác bài toán: Tỉ số

KE AB
=
không phụ thuộc vào cách chọn các
KD AC

điểm D và E nên ta có bài toán sau:
Cho tam giác ABC (AC>AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên
các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE,
BC. Chứng minh rằng tỉ số

AM AN

129- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).


AB
AC
;
và có cùng mẫu ta
AM AN
nghĩ đến các đường phụ BD, CE song song với MN( D, E ∈ AC ). Ta chứng minh
∆IBD = ∆ICE , sau đó để xuất hiện tỉ số ta áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào các

Phân tích: Để tạo ra các tỉ số bằng các tỉ số

tam giác AMG và ANG ta có điều phải chứng minh.
2.2.2. Vẽ thêm đường vuông góc
Đây là cách vẽ đường phụ thường hay gặp trong các bài toán hình học 8,
đây là cách vẽ thường gặp trong bài toán về các tứ giác đặc biệt như hình thang
vuông, hình chữ nhật, hình vuông.
Ví dụ 1: Tìm x trên hình 90 (bài 63 sgk Toán 8 – Tập 1/ tr 100).

Phân tích: Để tìm x hay là độ dài AD ở trên hình ta cần tạo ra đoạn thẳng
bằng đoạn thẳng AD, ta thấy trên hình đã có hai góc vuông là góc A và góc D nên
ta tạo ra đoạn thẳng BH = AD bằng cách kẻ BH ⊥ CD ( H ∈ CD ). Khi đó ABHD là
hình chữ nhật vì có ba góc vuông.
Từ đó ta có: AB = DH và AD = BH. Mà AB = 8 nên DH = 8, từ đó tính được HC
= 5. Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông BHC ta tính được BH = 12. Do đó
tìm được x = 12.
0



Phân tích: Ta thấy độ dài OA không đổi, AO ⊥ Oy và BC = 2.BA nên ta vẽ
thêm CD ⊥ Oy ( D ∈ Oy ) và lấy M là trung điểm BC để tạo ra ∆BEM = ∆BOA
suy ra ME = AO =3cm nên CD = 2.ME = 6 cm có độ dài không đổi. Do đó
điểm C di chuyển trên tia C’z.
0
µ µ
Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) và B=C=90
.

Chứng minh rằng: BC < AD (bài 7/tr 11- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải
một số bài toán hình học 8).

Phân tích: Để chứng minh BC < AD ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng đoạn
thẳng AD hoặc bằng đoạn thẳng BC, theo đề bài Bµ = Cµ = 900 nên ta tạo ra đoạn
thằng bằng đoạn thẳng BC bằng cách kẻ AH ⊥ CD .Khi đó:AH < AD từ đó rút ra
điều phải chứng minh.
Ví dụ 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc với AC ( H ∈ AC ).
0
·
Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AC. Chứng minh rằng : ADE=45
(bài 55/tr 56- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).

Phân tích : Để chứng minh ·ADE = 450 , ta nghĩ đến việc tạo ra tam giác vuông
cân nên ta vẽ thêm đường phụ EF sao cho EF ⊥ AD, F ∈ AD
Từ ∆ABC = ∆BKE ta chứng minh được FD = FE. Từ đó tìm ra lời giải bài
toán.



103- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).

Phân tích : Vì tích AC.BD có liên hệ với công thức tính diện tích hình thoi (
1
AC.BD ) nên ta cần vẽ thêm đường phụ để tính diện tích hình thoi theo
2
cạnh do đó ta vẽ thêm đường phụ BH ⊥ AD . Ta có BH ≤ AB
S ABCD =

S ABCD = BH . AD ≤ AB. AD = AB 2

Từ hai cách tính diện tích hình thoi như trên ta có điều phải chứng minh.
1
2

Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: S ABCD ≤ AC.BD (bài 21/tr
104- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).


Phân tích : Kết luận bài toán có S ABCD mà S ABCD = S ABC + S DAC . Để tính S BAC ,

S DAC ta phải có đường cao nên ta vẽ

DK ⊥ AC , BH ⊥ AC từ đó

1
1
BH . AC + DK . AC
2
2

Thật vậy, ∆BAK = ∆BCM (c.g .c ) suy ra: K
1

1

4

µ =B
¶ nên B
¶ =B
¶ .
Mặt khác: B
1
2
2
4

·
µ +B
¶ =B
µ +B
¶ = KBC
·
¶ =M
¶ .
=B
=K
Từ đó, EBM
3
4

ˆ ˆ
Ví dụ 3: Cho tứ giác lồi ABCD có A+C=180
, AB < AD, AC là tia phân

·
giác của BAD

Chứng minh rằng: BC = DC (bài 1/tr 5- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một
số bài toán hình học 8).

Phân tích: Rõ ràng không thể chứng minh trực tiếp BC = DC, do đó phải
dùng đoạn thẳng trung gian để chứng minh.
·
Vì AC là tia phân giác của BAD
, ta nghĩ đến việc tìm điểm E trên cạnh AD
sao cho AE = AB. Từ ∆ABC = ∆AEC ⇒ BC = CE và ta cũng chứng minh được tam
giác CDE cân đỉnh C.


Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD( AB//CD) có AB = AD + BC. Chứng minh
rằng các tia phân giác của các góc C, D cắt nhau tại một điểm trên cạnh AB (bài
6/tr 10- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).

Phân tích : Thử vẽ tia phân giác của góc D, gọi E là giao điểm của tia phân
giác này và AB. Dễ thấy rằng tam giác ADE cân tại A. Điểm phụ E trên AB sao
cho AE = AD giúp ta có lời giải bài toán.
Ví dụ 5: Cho hình thang cân ABCD (AB//DC) có AB < DC.
Chứng minh rằng: DC – AB < 2AD (bài 8/tr 12- sách vẽ thêm yếu tố phụ để
giải một số bài toán hình học 8).


hành giải bài tập và khắc sâu kiến thức. Từ đó rèn luyện cách vẽ hình, cách
vẽ đường phụ cho học sinh.
Đối với học sinh khá, giỏi: Cần tạo điều kiện để bồi dưỡng thêm kiến
thức cho các em, đặc biệt là phần hình học. Đa số những bài toán khó ở
phần hình học đều có vẽ đường phụ, do đó cần có nhiều thời gian để các
em có thể nắm chắc các cách vẽ đường phụ thường dùng ở trên.
Vì vậy, mong nhà trường tạo điều kiện về cơ sở vật chất, phòng ốc để
các lớp phụ đạo, bồi dưỡng được tiến hành thường xuyên.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

Nâng cao và phát triển Toán 8
Tác giả: Vũ Hữu Bình
Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.

2.

SGK Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục

3.

SGV Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục

4.

SBT Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục

5. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8
Tác giả: Nguyễn Đức Tấn
Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam- Năm 2013