2

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến TS.Phạm Thị Minh Hạnh- người đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận án.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm 2
và các thầy cô Phòng Sau Đại Học đã đóng góp ý kiến quý báu, tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, ngày 9 tháng 12 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Thị Thùy


3
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của TS. Phạm Thị Minh Hạnh. Tất cả các số liệu và kết quả nghiên cứu
trong luận án là trung thực, và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin
cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn
và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 9 tháng 12 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Thị Thùy


4

2.3.2. Hệ số dãn nở nhiệt và hệ số nén đẳng nhiệt ......................................... 32
2.3.3. Các đại lượng nhiệt động khác ............................................................. 33
CHƯƠNG 3: CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA BÁN DẪN SiLÝ
TƯỞNG VÀ Si KHUYẾT TẬT Ở ÁP SUẤT P=0 ........................................ 34
3.1. Thế năng tương tác giữa các hạt trong tinh thể ..................................... 34
3.2. Các tính chất nhiệt động của Si trong trường hợp lý tưởng ở áp suất
P=0 .................................................................................................................. 37
3.2.1. Cách xác định các thông số: ................................................................. 37
3.2.2. Các tính chất nhiệt động của Si trong trường hợp lý tưởng ở áp suất
P=0 .................................................................................................................. 38
3.3. Các tính chất nhiệt động của Si trong trường hợp khuyết tật ở áp suất
P=0 .................................................................................................................. 39
KẾT LUẬN .................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 49


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Đa số chất bán dẫn có cấu trúc mạng tinh thể.Chúng được cấu tạo từ một số
lớn các nguyên tử, phân tử sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong không
gian tạo thành mạng tinh thể lý tưởng.Hiện nay, sự phát triển của công nghệ vật
liệu mới đòi hỏi phải chế tạo được các vật liệu có tính chất cơ nhiệt đáp ứng yêu
cầu của khoa hoc công nghệ. Vì vậy, việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động
của bán dẫn đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Có nhiều
phương pháp nghiên cứu về bán dẫn như: các phương pháp ab-intio, phương
pháp liên kết chặt, phương pháp thế kinh nghiệm, phương pháp mô hình hóa
trên máy tính… Các phương pháp này cùng những thành công và hạn chế của
chúng được trình bày tóm tắt trong chương 1 của luận án.Mặc dù có những
thành công nhất định nhưng chưa có phương pháp nào thực sự hoàn hảo. Các


Tìm hiểu một số lý thuyết chủ yếu nghiên cứu về bán dẫn.
Tìm hiểu phương pháp thống kê momen để nghiên cứu các tính chất

nhiệt động của Si.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
-

Nghiên cứu các tính các tính chất nhiệt động của Si trong trường hợp lý

tưởng và khuyết tật.
5. Phương pháp nghiên cứu:
-

Phương pháp thống kê mômen.

6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài:
-

Xây dựng biểu thức tính giải tích xác định các đại lượng nhiệt động của

bán dẫn có cấu trúc kim cương.
-

Áp dụng tính số đối với Si trong trường hợp lý tưởng và khuyết tật ở áp

suất P=0 trong một khoảng rộng của nhiệt độ. Các kết quả tìm được đã so sánh
với thực nghiệm.



thu được qua Internet và cũng có thể thu được một cách nhanh chóng qua những
khoảng cách lớn bằng những hệ thống truyền thông tin vệ tinh. Sự phát triển của
các linh kiện bán dẫn như điốt, tranzito và mạch tích hợp (IC-Integrated Circuit)
đã dẫn đến những khả năng đáng kinh ngạc này.IC thâm nhập vào hầu hết mọi
mặt của đời sống hằng ngày, chẳng hạn như đầu đọc đĩa CD, máy fax, máy quét
tại các siêu thị và điện thoại di động.Photôđiốt là một loại dụng cụ không thể
thiếu trong thông tin quang học và trong các nghành kỹ thuật tự động. Điốt phát
quang được dùng trong các bộ hiển thị, đèn báo, màn hình quảng cáo và các
nguồn sáng. Pin nhiệt điện bán dẫn được ứng dụng để chế tạo các thiết bị làm
lạnh gọn nhẹ, hiệu quả cao dùng trong khoa học, y học,…
1.2.Các khuyết tật trong bán dẫn
Đa số vật rắn có cấu trúc mạng tinh thể và chúng gồm một số lớn các
nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách tuần hoàn trong không gian tạo thành
mạng tinh thể lý tưởng.Thực tế, mạng tinh thể lý tưởng thường không có
thực.Các tinh thể thực bên trong luôn chứa đựng bên trong nó những khuyết tật
(còn gọi là sai hỏng). Có nhiều loại khuyết tật với những đặc điểm khác nhau
như:
-

Khuyết tật điểm có kích thước cỡ nguyên tử theo ba chiều không gian

-

Khuyết tật đường có kích thước cỡ nguyên tử theo hai chiều và rất lớn

theo chiều thứ ba
-

Khuyết tật mặt có kích thước lớn theo hai chiều và nhỏ theo chiều thứ ba



trong đó Φ là một hàm sóng nhiều hạt thực của hệ (có sự đối xứng chính
xác),EMB là năng lượng riêng, {ri} và {Rμ} tương ứng là các hệ tọa độ điện tử và
ion các chỉ số i và μ tương ứng đánh số tất cả các điện tử và ion. Hàm Hamilton
của hệ có dạng:

H MB

Pˆ2
Z
Z Z
Pˆi 2 1
1
1


             
2 i , j ri  rj i ,  ri  R j 2  , Ri  R j
 2M 
i 2m
i

(1.2)

trong đó Zμ và Mμ tương ứng là điện tích và khối lượng của ion thứ μ, ̂ và ̂
tương ứng là các toán tử xung lượng của ion thứ μ và thứ i.
Rõ ràng việc giải chính xác phương trình này trong một chất rắn là điều
không thể. Cần nhiều phép đơn giản để làm bài toán này có thể giải được. Phép
đơn giản hóa đầu tiên tách riêng chuyển động điện tử và chuyển động ion là
phép gần đúng Born- Openhimer [11]




(1.4)



Ở đây ( ⃗ ) là năng lượng trạng thái cơ bản của hệ một điện tử với các
tọa độ ion đông lạnh ⃗ và

{ ⃗ } ({ ⃗ })

là hàm sóng điện tử của hệ nhiều hạt

( nó cần phải là hàm phản đối xứng).
Các lực nguyên tử khi đó có thể thu được bằng cách lấy đạo hàm riêng của
⃗

:
⃗ =−

⃗
⃗

(1.5)

Nhưng không thể tính được các đạo hàm này cũng như ( ⃗

tại mức



   E  



gs

1

 r   
2 
,

Z Z
  
R  R

(1.6)

Như vậy, thay vì giải phương trình nhiều hạt thực (1.4) để tìm ( ⃗ ) ta
chỉ cần tìm một cực tiểu của phiếm hàm E[ρ]. Khó khăn cho cách đơn giản hóa
lớn này là ở chỗ ta thực sự không biết dạng chính xác của phiếm hàm E[ρ]. Tuy
nhiên, bài toán này có thể giải được bằng cách áp dụng phương pháp Kohn và
Sham [20]. Trong phương pháp này, phiếm hàm năng lượng điện tử E[ρ( ⃗)]
được tách thành 4 thành phần
E[ρ]= Te[ρ]+ Eion[ρ]+ EH[ρ]+ Exc[ρ]

(1.7)

trong đó Te[ρ] là động năng của các điện tử, Eion[ρ] là năng lượng của tương tác


( ⃗)là thế Hartree và số hạng cuối cùng EXC là số hạng tính đến các
hiệu ứng tương quan và trao đổi điện tử và chưa biết. Ta có thể viết một biểu
thức hình thức đối với một thế tương quan – trao đổi khi sử dụng đạo hàm
phiếm hàm
  E XC   
VXC  r  

  r 

(1.10)

Do khó đánh giá động năng của các điện tử Te[p] một cách trực tiếp từ mật
độ điện tích điện tử ρ( ⃗), Kohn và Sham đề xuất sử dụng các quỹ đạo một
nguyên tử Фi( ⃗) ( các quỹ đạo Kohn và Sham ), khi đó ρ( ⃗) và Te[ρ] có dạng:


8



Ne / 2



  r   2   i (r)

2

i 1

V
r

r




V
r

r











=
ion
H
XC
i
i



[ ]

(1.13)

( ⃗)

Vấn đề duy nhất còn tồn tại trong phương trình một điện tử loại
schrodinger đơn giản ( 1.12 ) là chưa biết thế tương quan trao đổi


[ ]
( ⃗)

. Nếu biết phiếm hàm

( ⃗) =

[ ], phương pháp Kohn-Sham sẽ cho giá trị

chính xác của năng lượng trạng thái cơ bản ( ⃗ ) và nhờ đó có thể thu được
các lực nguyên tử. Nhưng có điều là ta không biết dạng của

[ ] và ta cần

tiến hành một phép gần đúng đối với nó. Một phép gần đúng đối với dạng hàm
tương quan trao đổi là phép gần đúng mật độ địa phương, trong đó

[ ] được


Nhiều loại nguyên tử khác nhau có thể dễ dàng được bao hàm vào trong

các tính toán nhờ sử dụng các giả thế thích hợp.
Nhược điểm của các phương pháp ab-initio
-

Khả năng tính toán phức tạp đòi hỏi giới hạn khả năng ứng dụng của

phương pháp cho các hệ tương đối nhỏ.
1.3.2. Phương pháp liên kết chặt
Để nghiên cứu các tính chất của hệ mô hình lớn hơn đòi hỏi một phương
pháp đơn giản hơn và ít cần tính toán hơn. Một trong các cách đơn giản hóa trực
tiếp dựa trên các kỹ thuật của phép gần đúng mật độ địa phương từ các nguyên
lý đầu tiên là phương pháp hàm Hamilton liên kết chặt (TB). Các chi tiết của
phương pháp này đã được mô tả bởi Harrison [17]
Trong phương pháp này năng lượng toàn phần E đối với trạng thái cơ bản
của hệ có thể được làm gần đúng như một tổng của hai số hạng là số hạng năng
lượng cấu trúc vùng EBS và số hạng thế đẩy Urep

E Ri   EBS  U rep    n  U rep





(1.14)

n

trong đó { ⃗ } (i=1,….N) là tọa độ của các nguyên tử. Năng lượng cấu trúc vùng

khai triển thành tổ hợp tuyến tính cảu các quỹ đạo nguyên tử (LCAO )

 n   Cni  i

(1.17)

i ,

Ở đây chỉ số i chạy theo tất cả các nguyên tử trong hệ và chỉ số α chạy theo
tất cả các quỹ đạo cơ sở định vị trên một nguyên tử đã cho. Chẳng hạn như trong
trường hợp của Si hoặc C, ta có thể chọn cơ sở quỹ đạo nguyên tử nhỏ nhất là
các quỹ đạo hóa trị s, px, py và pz nằm trên từng nguyên tử trong hệ. Khi đó tổng
số các hàm cơ sở trong hệ của chúng ta sẽ là 4N.
Thay khai triển (1.17) vào phương trình (1.16), ta có thể thấy rằng các phân
tử ma trận Hmnthu được như những sự kết hợp tuyến tính của các phân tử ma
trận giữa các quỹ đạo cơ sở:
Hiα,jβ= Ф

Ф

(1.18)

Nếu ta xem xét trường hợp đơn giản nhất của hai nguyên tử silic với các
quỹ đạo px, py và pz của chúng tương ứng song song với nhau và các quỹ đạo px
nằm trên cùng một trục, các phần tử ma trận Hiα ,Hjβ đều có thể được biểu diễn
bởi một hệ nhỏ của các số hạng mà chúng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa
các nguyên tử Rij. Hai số hạng chéo khác nhau chính là “ các năng lượng quỹ
đạo nguyên tử ” Es và Ep :
Eα= Hiα,iα , α=s,p
và bốn số hạng không chéo là “ các phần tử nhảy (hopping)”

(1.19)

Ở đây, ta giả thiết rằng Urep có một sự phụ thuộc đơn giản từ hình học
nguyên tử và có thể được biểu diễn như là tổng của các thế hai hạt tương tác gần
chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa các cặp nguyên tử tương ứng. Bằng cách
như đối với các phần tử ma trận hàm Hamilton TB, thế đẩy có thể được làm
khớp với số liệu ab initio.
Cuối cùng các lực nguyên tử được tính nhờ định lý Hellmann-Feynman.
Trong trường hợp của các quỹ đạo cơ sở cố định (không chuyển động với các
nguyên tử), các lực có dạng


H
Fi   n    n   n
R
n R
n
i

(1.20)

Có nhiều hàm Hamilton TB kinh nghiệm đối với Si. Hàm Hamilton TB đầu
tiên đối với Si do Chadi [12] đưa ra. Ngoài ra còn có một số hàm Hamilton ETB


12
nổi tiếng khác là các hàm Hamilton trực giao của Goodwin, Skinner và Pettofor
[16],Kwon và cộng sự [21]…Các hàm Hamilton TB không trực giao khác đối
với Si gần đây do Bernstein và cộng sự [10] đề xuất.
Các ưu điểm của phương pháp liên kết chặt bao gồm


Đòi hỏi tính toán ít nhất một bài toán trị riêng hoặc vectơ riêng của ma

trận trên từng bước của mô phỏng MD. Điều này giới hạn khả năng ứng dụng
của phương pháp cho các hệ chứa hàng trăm nguyên tử nhưng không phải hàng
nghìn phân tử.
1.3.3. Các thế kinh nghiệm
Dùng thế tương tác kinh nghiệm giữa các nguyên tử là một trong những
phương pháp đơn giản và trực tiếp nhất để nghiên cứu các tính chất động lực và
cấu trúc của các chất rắn. Một thế như vậy mô tả các tương tác nguyên tử trong
vật rắn và chứa một số các thông số có thể điều chỉnh. Các thông số này được
làm khớp với các số liệu thực nghiệm và các kết quả của các tính toán ab initio
theo cách sao cho thế tái sinh một cách tốt nhất có thể có các đường cong năng


13
lượng liên kết đối với các pha đối xứng cao khác nhau của chất rắn được nghiên
cứu. Đối với Si, các pha làm khớp đối xứng phổ biến nhất là các cấu trúc lập
phương kiểu kim cương (dc), lập phương đơn giản (sc), lập phương tâm mặt
(fcc ), lập phương tâm khối (bcc) và lục giác xếp chặt (hcp).
Ý tưởng chung để xây dựng thế kinh nghiệm cho các tương tác nguyên tử
như sau: đối với một hệ chứa N hạt giống nhau, năng lượng toàn phần của hệ có
thể được khai triển thành các đóng góp một hạt, hai hạt, ba hạt, v.v


 
  
E Ri   1  Ri   2  Ri , R j    3  Ri , R j , Rk 

 


n

cần

phải nhanh chóng tiến đến không theo sự tăng n. Rõ ràng tính chất này phụ
thuộc vào bản chất của liên kết trong vật liệu được nghiên cứu. Chẳng hạn như
đối với các tinh thể khí trơ ( Ar, Kr, Xe), chỉ các tương tác cặp là quan trọng và
(1.21) được rút gọn thành:

E Ri

 

     R , R 
2

i

j

(1.22.1)

i, j

trong đó tương tác cặp

có thể được biểu diễn bằng thế Lennard – Jones nổi

tiếng:


 
3
R
.R ik  R02

ij
2
8 R0 ijk





2

(1.22.3)

ở đây α và β là các hằng số lực mở rộng liên kết và uốn cong liên kết, R0 là
chiều dài liên kết cân bằng giữa các nguyên tử trong cấu trúc kim cương. Phạm
vi tương tác đối với các số hạng tương tác hai hạt và ba hạt bị giới hạn tới các
nguyên tử lân cận đầu tiên. Do đó, các chỉ số j và k chỉ đánh số theo các nguyên
tử lân cận gần nhất của nguyên tử i cho trước (chính xác là bốn nguyên tử lân
cận gần nhất đối với một mạng kim cương lý tưởng). Đối với các méo dạng nhỏ
không làm thay đổi topo liên kết của mạng, mô hình Keating có thể cung cấp
một hiểu biết nào đó đối với cấu trúc mạng.
Một mô hình khác được sử dụng rộng rãi hiện nay để nghiên cứu các tính
chất cấu trúc và động lực của Si là thế kinh nghiệm Stillinger-Weber (SW). Thế
này lúc đầu được làm khớp với các pha silic tinh thể (c-Si) và lỏng (l-Si). Giống
như mô hình Keating thế này bao gồm các đóng góp tương tác hai hạt và ba hạt.

Mô hình tôpô được chấp nhận lần đầu tiên do Zachariasen [33] đề xuất năm
1932 dùng để đưa ra cấu trúc của các chất bán dẫn tứ giác vô định hình gọi là “
mạng ngẫu nhiên liên tục ( CRN ) ” . Trong mô hình này, các khối xây dựng
chính của vật liệu là tứ giác đối với Si hoặc Ge nhưng không giống trong một
tinh thể lý tưởng các khối này có thể được định hướng và liên kết một cách ngẫu
nhiên cho phép “ chơi ” trong các chiều dài và góc liên kết nguyên tử.
Mô hình CRN cơ học đầu tiên do Polk [26] xây dựng năm 1971 nó phản
ánh tôpô chung của các chất bán dẫn vô định hình cơ bản nhưng chứa đựng các
bề mặt tự do trong cấu trúc của nó do quy trình xây dựng không được thúc đẩy
về mặt vật lý. Rõ ràng mô hình CRN thế hệ tiếp theo cần được tạo ra trên một
máy tính và sử dụng các thuật toán xây dựng tôpô có liên quan về mặt vật lý.
Phương pháp mở rộng liên kết của Wooten, Winer, và Weaire ( WWW )
được đưa ra từ năm 1985 và được áp dụng thành công để mô hình hóa các cấu
trúc mạng ngẫu nhiên liên tục ( CRN ) đối với Si, Ge và kim cương vô định hình
[32,13]. Mặc dù phương pháp WWW cho phép chúng ta tạo ra các mô hình
CRN có chất lượng rất cao, nó có một số nhược điểm sau:
-

Do cấu hình ban đầu của hệ là một tinh thể, thậm chí sau một số lớn

các chuyển vị liên kết, hệ vẫn nhớ các trạng thái tinh thể cúa nó.
-

Đối với một mô hình trong [32] bề rộng phân bố góc liên kết lớn hơn

một chút so với giá trị thực nghiệm [22].
-

Các quy trình chấp nhận hoặc loại bỏ và hồi phục không đủ có hiệu quả


Tóm lại, mặc dù đã thu được những thành công nhất định khi sử dụng các
phương pháp sử dụng toán trên trong nghiên cứu bán nhưng mỗi phương pháp
đều có những hạn chế nhất định như khả năng tính toán quá lớn đòi hỏi giới hạn
khă năng ứng dụng của phương pháp cho các hệ tương đối nhỏ, có phương pháp
lại đòi hỏi vào việc làm khớp với số liệu thực nghiệm…Vì vậy, viêc sử dụng
những phương pháp này để nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán
dẫn còn chưa thực sự hiệu quả.
Trong những năm gần đây, xuất hiện một phương pháp thống kê mới rất
hiệu quả trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các vật
liệu. Đó là phương pháp thống kê momen.


17
Phương pháp thống kê mômen do GS Nguyễn Tăng đề xuất [31] và đã
được phát triển để nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi điều hòa
[28,29,30]. Bằng phương pháp thống kê mômen đối với tinh thể lập phương tâm
khối và lập phương tâm diện khuyết tật điểm các tác giả đã tìm được biểu thức
giải tích đối với một loạt các đại lượng nhiệt động như: độ dời của hạt khỏi nút
mạng, hằng số mạng, năng lượng tự do của hệ, hệ số dãn nở nhiệt, hệ số nén
đẳng nhiệt, nhiệt dung riêng đẳng tích, nhiệt dung riêng đẳng áp, ở các nhiệt độ
và áp suất khác nhau. Ngoài ra, nhờ phương pháp này còn tìm được giới hạn bền
vững tuyệt đối của tinh thể, công thức đối với nhiệt độ giới hạn và nhiệt độ nóng
chảy của tinh thể.Lý thuyết này đã áp dụng cho tinh thể khí trơ [5], tinh thể kim
loại [1], tinh thể và hợp chất bán dẫn lý tưởng [2]. Chính vì vậy việc hoàn thiện
lý thuyết này để áp dụng nghiên cứu cho tinh thể bán dẫn khi có khuyết tật là
cần thiết và có ý nghĩa. Tiếp theo chúng tôi xin trình bày nội dung chính của
phương pháp thống kê mômen.
1.3.5. Phương pháp thống kê mômen
1.3.5.1Mômen trong vật lý thống kê
* Các công thức tổng quát về mômen

m

 w q , q ,...q dq ...dq
1

2

n

1

n

(1.24)


18
Như vậy đại lượng trung bình thống kê 〈 〉 chính là mômen cấp một và
phương sai 〈(

− 〈 〉 )〉 là mômen trung tâm cấp hai. Từ các định nghĩa trên

chúng ta thấy rằng về nguyên tắc nếu biết hàm phân bố w(q1, q2,…qn) hoàn toàn
có thể xác định được các mômen.
Trong vật lý thống kê cũng có định nghĩa tương tự. Riêng đối với hệ lượng
tử được mô tả bởi toán tử thống kê
〈

các mômen xác định như sau:


Giữa các mômen quan hệ với nhau. Mômen cấp cao có thể biểu diễn qua mô
men cấp thấp hơn.Việc xây dựng tổng quát đối với hệ lượng tử để tìm hệ thức liên
hệ giữa các mômen đã được xây dựng trong [5]. Các hệ thức đó đóng vai trò quan
trọng trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi tuyến.
Xét một hệ lượng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hướng tọa
độ suy rộng Qi. Như vậy Hamiltonian của hệ có dạng:
Hˆ  Hˆ 0   aiQˆ i

(1.26)

i

với

là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng
Bằng một phép biến đổi kỳ diệu trong [5] các tác giả đã thu được hệ thức

tổng quát, chính xác biểu thị mối liên hệ giữa toán tử bất kỳ
hệ với Hamiltonian H:

và tọa độ

của


19
1 ˆ ˆ
 F , Qk 

2 

ak

là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối,

(1.27)
a

là hệ số

Bermoulli và 〈… 〉 biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng thống kê với
Hamitonnian H.
Hệ thức này cho phép xác định sự tương quan giữa đại lượng F và Qk. Muốn
(

vậy, cần phải biết các đại lượng 〈 〉 và 〈
(

từ điều kiện cân bằng của hệ, còn 〈

)

〉 . Đại lượng 〈 〉 có thể xác định

〉 từ các phương trình động lực.

=

Trong trường hợp đặc biệt

)


2m

Qˆ k  2 m 
ak

(1.28)
a

không phụ thuộc tường minh vào ak nên đối với hệ cổ điển công

thức (1.28) trở nên đơn giản:



Qˆ k  Qˆ k

a



2



 Qˆ k

a

a

ak 



a0
 a 0

trong đó 〈… 〉 biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltian

.

Ngoài ra tác giả còn thu được hệ thức chính xác khác:
1 ˆ ˆ  n
 F ,Qk 

2 

a

  1

n 1

B  i 
  2m  
m  0  2 m !   


2m


mômen cấp cao.Muốn vậy.tác giả còn đưa vào định nghĩa toán tử tương quan
cấp n:
=

[… [

,

]

] …

=

Nếu trong công thức (1.30) thay

]

(1.33)

thì thu được công thức truy

chứng:
Kˆ n 1

a

 Kˆ n

a

với các hệ cụ thể nó có thể có dạng đơn giản gọn gàng hơn.
* Công thức tổng quát tính năng lượng tự do:
Trong vật lý thống kê, năng lượng tự do cho ta thông tin đầy đủ về tính
chất nhiệt động của hệ vì vậy việc xác định nó đóng vai trò quan trọng. Trong
vật lý thống kê, năng lượng tự do liên hệ với tổng trạng thái bởi hệ thức:
=−
Z= Tr

(1.35)

Tuy nhiên việc tìm Ψ không đơn giản. Đối với một số hệ đơn giản, có thể
tìm được biểu thức chính xác của năng lượng tự do còn nói chung chỉ có thể tìm
nó dưới dạng gần đúng. Trong [5] phương pháp mômen đã được áp dụng để xác
định công thức tổng quát tính năng lượng tự do:


21
Xét một hệ lượng tử đặc trưng bởi Hamiltonian có dạng:
−

=
Với α là thông số và

(1.36)

là toán tử tùy ý. Dựa vào biểu thức thu được bằng

phương pháp mômen đối với hệ cân bằng nhiệt động:
Qˆ k


là năng lượng tự do của hệ với Hamiltonian

và được xem như đã

biết. Bằng cách nào đó tìm được 〈 〉 thì từ (1.38) có thể thu được biểu thức đối
〈 〉 có thể tìm được nhờ công thức

với năng lượng tự do Ψ(α). Đại lượng
mômen.

Nếu Hamiltonian H có phức tạp thì tách nó thành:
Hˆ  Hˆ 0    iVˆi

(1.39)

i

Sao cho
Hamiltonian

−

>>

,…Giả sử biết năng lượng tự do

của hệ, khi đó tìm năng lượng tự do Ψ1 ứng với

Sau đó tìm năng lượng tự do Ψ2 ứng