1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thị Ngọc Chính

NGHIÊN CỨU NHIỆT ĐỘ NÓNG CHẢY
CỦA HỢP KIM ĐÔI BẰNG PHƢƠNG PHÁP
THỐNG KÊ MÔMEN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2012

2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

2.Mục đích nghiên cứu của đề tài…………………………………………….3
3.Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu……………………………………… 4
4.Phƣơng pháp……………………………………………………………… 4
5.Đóng góp của luận văn…………………………………………………… 4
6.Bố cục của luận văn……………………………………………………… 5
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN…………………………………………………7
1.1.Hợp kim………………………………………………………………… 7
1.2.Một số phƣơng pháp xác định nhiệt độ nóng chảy……………………….9
1.3.Phƣơng pháp thống kê mômen………………………………………….12
1.3.1.Mômen…………………………………………………………… 12
1.3.2.Công thức tổng quát về momen……………………………………14
1.3.3.Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do……………………… 16
1.3.4.Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng…………………… 18
1.3.5.Năng lƣợng tự do………………………………………………… 21
1.3.6.Các mô đun đàn hồi của kim loại có cấu trúc LPTD và LPTK…….23
Kết luận chƣơng 1……………………………………………………………27
CHƢƠNG 2.NGHIÊN CỨU NHIỆT ĐỘ NÓNG CHẢY CỦA HỢP
KIM ĐÔI CÓ CẤU TRÚC LPTD VÀ LPTK……………………….………28
2.1.Năng lƣợng tự do của hợp kim thay thế A-B…………………………….28
2.2.Hằng số mạng của hợp kim thay thế A-B ở áp suất P = 0……………….33
2.3. Hằng số mạng của hợp kim thay thế A-B ở áp suất P khác 0… ……….34
2.4.Mô đun trƣợt G
AB
(P) và mô đun nén khối đẳng nhiệt B
AB
(P) của
hợp kim thay thế A-B……………………………………………………… 35
2.5.Nhiệt độ nóng chảy của kim loại và hợp kim thay thế A-B có cấu
trúc LPTD và LPTK ở áp suất P = 0……………………………………… 36
2.5.1. Nhiệt độ nóng chảy của kim loại có cấu trúc LPTD và LPTK 36
5
MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài
Ngành vật lý chất rắn luôn giữ một vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa
học công nghệ. Ngày nay, Vật lí chất rắn đã đã phát triển lớn mạnh và trở thành một
ngành khoa học hiện đại và ngày càng đáp ứng đƣợc những yêu cầu phát triển của
khoa học và kỹ thuật. Từ các kết quả nghiên cứu lý thuyết, ngƣời ta đã tạo đƣợc ra
những vật liệu có tính dẫn điện, dẫn nhiệt tốt, độ bền cơ học cao, chống đƣợc sự ăn
mòn của các điều kiện bên ngoài…Ngƣời ta còn chế tạo đƣợc các vật liệu cho
những ngành kĩ thuật cao nhƣ điện tử, tin học, năng lƣợng nguyên tử,du hành vũ
trụ…
Nghiên cứu về vật rắn đã phát triển từ lâu và đã thu đƣợc nhiều kết quả tốt đẹp
nhƣng cho đến nay ngƣời ta vẫn chƣa xây dựng đƣợc một lý thuyết hoàn toàn phù
hợp với thực nghiệm . Lý do là vì đối tƣợng nghiên cứu phức tạp, các qui luật tƣơng
tác của chúng gồm những hệ nhiều hạt và chúng ta không xác định đƣợc chính xác
qui luật tƣơng tác giữa các hạt . Vì vậy Vật lý chất rắn vẫn cần đƣợc tiếp tục nghiên
cứu tiếp tục.
Đối tƣợng nghiên cứu chủ yếu của các lý thuyết chất rắn là kim loại và hợp
kim bởi vì chúng là các vật liệu đƣợc sử dụng phổ biến trong khoa học, công nghệ
và đời sống.
Trong tự nhiên nhóm vật liệu kim loại đóng vai trò rất quan trọng đối với
khoa học vật liệu.Tuy nhiên, ta rất ít gặp các kim loại sạch mà chủ yếu là các hợp
kim hay còn gọi là các tạp chất. Tính chất hợp kim thay đổi tuỳ theo cách pha nồng
độ nhƣ thế nào. Đặc điểm nổi bật của hợp kim là có độ bền vững cao hơn các kim
loại sạch. Vì vậy, việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động, tính chất đàn hồi, tính
chất cơ .v.v. không chỉ có giá trị về mặt lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn rất
cao bởi vì hợp kim đƣợc sử dụng trong việc chế tạo các máy móc thiết bị sử dụng

Nghiên cứu về nhiệt độ nóng chảy của kim loại và hợp kim là một trong
những vấn đề đã đƣợc rất nhiều các nhà nghiên cứu về lý thuyết chất rắn quan tâm
và đã thu đƣợc nhiều kết quả đáng tin cậy. Tuy nhiên cho đến nay ngƣời ta vẫn

7
chƣa xây dựng đƣợc một lý thuyết để xác định nhiệt độ nóng chảy mà kết quả thu
đƣợc hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm.Vì vậy nghiên cứu về nhiệt độ nóng chảy
của kim loại và hợp kim vẫn còn là một trong những vấn đề thời sự của lý thuyết
chất rắn .
Phƣơng pháp thống kê momen (PPTKMM) là một trong những phƣơng pháp
nghiên cứu lý thuyết hiện đại của Vật lý thống kê. Những năm gần đây, PPTKMM
đƣợc nhiều tác giả sử dụng để nghiên cứu các tính chất nhiệt động, tính chất cơ và
khuếch tán .v.v. của các kim loại, hợp kim, siêu mạng đã cho kết quả tính số tƣơng
đối phù hợp với thực nghiệm và trong một chừng mực nào đó có sai số nhỏ hơn so
với một số phƣơng pháp của các tác giả trƣớc đây từng công bố. Nhiều công trình
nghiên cứu về lĩnh vực này đã đƣợc công bố trong các tạp chí Vật lý có uy tín trong
và ngoài nƣớc. Sử dụng PPTKMM nghiên cứu các tính chất nhiệt động của các
tinh thể phi điều hòa cho ta biểu thức của các đại lƣợng nhiệt động đƣợc mô tả dƣới
dạng giải tích rất thuận tiện trong việc tính số. Vì vậy PPTKMM đã trở thành một
trong những phƣơng pháp nghiên cứu mới có hiệu quả.
Vì vậy, trong bản luận văn này, chúng tôi sử dụng PPTKMM để nghiên cứu
nhiệt độ nóng chảy hợp kim đôi có cấu trúc lập phƣơng tâm diện (LPTD) và lập
phƣơng tâm khối (LPTK). Đề tài của luận văn là:
“ Nghiên cứu nhiệt độ nhiệt độ nóng chảy của hợp đôi bằng phƣơng pháp
thống kê momen”
Đề tài đƣợc thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của GS-TS Vũ Văn
Hùng.
2.Mục đích nghiên cứu của đề tài
Sử dụng phƣơng pháp thống kê momen (TKMM) trong cơ học thống kê
lƣợng tử xây dựng lý thuyết để tính toán:

hợp kim LPTK là WCr. Xét ảnh hƣởng của nồng độ và áp suất lên nhiệt độ
nóng chảy của ba hợp kim trên.
- Các kết quả tính toán của luận văn: Các biểu thức nhận đƣợc mới mẻ, áp
dụng tính số đối với AlCe, CuPd, WCr so sánh kết quả nhận đƣợc trong luận
văn này với các kết quả lý thuyết khác và so sánh với thực nghiệm nhằm kiểm
tra tính đúng đắn và hiệu quả của lý thuyết thu đƣợc.

9
- Luận văn trình bày một phƣơng pháp mới để xác định nhiệt độ nóng chảy
của hợp kim hai đôi có cấu trúc LPTD và LPTK. Có thể mở rộng cho các
hợp kim có cấu trúc khác cũng nhƣ hợp kim nhiều thành phần .

6.Bố cục của luận văn nhƣ sau
Mở đầu
Chƣơng 1: Tổng quan
Trình bày tổng quan về nhiệt độ nóng chảy, các phƣơng pháp nghiên cứu
nhiệt độ nóng chảy. PPTKMM và các kết quả của phƣơng pháp này xác định các
đại lƣợng nhiệt động của các tinh thể phi điều hòa nhƣ năng lƣợng tự do, khoảng
lân cận gần nhất giữa các nguyên tử trong kim loại, mô đun đàn hồi …
Chƣơng 2: Nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của hợp kim đôi có cấu trúc LPTD
và LPTK
Trình bày cách xác định năng lƣợng tự do (NLTD) của hợp kim, hằng số
mạng của hợp kim, mô đun trƣợt và mô đun nén khối đẳng nhiệt trong trƣờng hợp
áp suất P = 0 và P

0.
Thiết lập biểu thức giải tích xác định nhiệt độ nóng chảy cho hợp kim hai
thành phần có cấu trúc LPTD và LPTK.
Chƣơng 3 : Áp dụng tính số và thảo luận kết quả
Từ các kết quả nhận đƣợc trong chƣơng 2 và chọn dạng thế thích hợp, tính số
11
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1. Hợp kim
Hợp kim là chất rắn thu đuợc sau khi nung nóng một hỗn hợp hai hay nhiều
kim loại khác nhau hoặc hỗn hợp kim loại và phi kim. Cấu trúc hợp kim rất đa dạng
tuỳ thuộc vào thành phần hoá học của hợp kim. Trong luận văn này chúng tôi chỉ đề
cập đến hợp kim cấu tạo từ hai loại nguyên tử kim loại khác nhau còn gọi là hợp
kim đôi (C.Kittel, 1996) có dạng tổng quát A
x
B
1-x
, trong đó x là nồng độ nguyên tử
của kim loại A. Có hai kiểu hình thành nên hợp kim đôi. Trƣớc tiên giả sử kim loại
A có cấu trúc tinh thể xác định, nếu ta thêm vào kim loại A các nguyên tử kim loại
B thì các nguyên tử kim loại B hoặc thay thế vị trí nguyên tử kim loại A tại các nút
mạng hoặc xen kẽ vào các chổ trống còn lại trong mạng tinh thể của kim loại A.
Khi đó ta có một dung dịch rắn (hợp kim dạng dung dịch rắn). Nếu các nguyên tử
kim loại B phân bố một cách hỗn loạn thì tạo thành nhóm hợp kim có cấu trúc
không trật tự (disordered alloy). Tuy nhiên, sự không trật tự này khác hoàn toàn với

nguyên tử và số electron hoá trị giống nhau Cu-Pd, Ce-Al, WCr… thì mô đun đàn
hồi của hợp kim đôi phụ thuộc tuyến tính vào nồng độ nguyên tử trong hợp kim.
Tuy nhiên, khi có sự khác biệt về số electron hoá trị của nguyên tố pha thêm so với
hoá trị của kim loại của nguyên tố pha thêm so với kim loại kim loại nền thì sự thay
đổi của mô đun đàn hồi là đáng kể do sự thay đổi nồng độ các electron tham gia
vào trong liên kết giữa các nguyên tử nguyên tử và do sự thay đổi chu kỳ mạng tinh
thể của kim loại kiềm. Bên cạnh đó, sự thay đổi của mức độ trật tự trong cấu trúc
tinh thể, sự chuyển đổi pha cấu trúc do các quá trình gia công nhiệt, sự chuyển pha
sắt từ khi nung nóng … cũng làm thay đổi mô đun đàn hồi.
Tính dẫn điện, dẫn nhiệt của hợp kim kém các kim loại trong hỗn hợp ban
đầu. Tính chất này là do mật độ electron tự do trong hợp kim giảm vì có sự tạo
thành liên kết cộng hoá trị.
Nhiệt độ nóng chảy của hợp kim thƣờng thấp hơn của các kim loại trong hỗn
hợp ban đầu. Trong một số hợp kim đôi dạng dung dịch rắn không có trật tự, độ dẫn
nhiệt càng giảm khi thành phần hợp kim càng rời xa kim loại thuần khiết và qua

13
một cực tiểu ở nồng độ nguyên tử là 50%. Tính chất này do mật độ electron tự do
trong hợp kim giảm làm yếu liên kết kim loại trong hợp kim.
1.2.Một số phƣơng pháp xác định nhiệt độ nóng chảy
Xác định nhiệt độ nóng chảy của một chất là một nhiệm vụ tất yếu của nhiệt
học. Nghiên cứu đƣờng nóng chảy đóng vai trò quan trọng chú ý trong vật lý trạng
thái ngƣng tụ: dạng đƣờng nóng chảy liên quan trực tiếp với vấn đề về sự khác biệt
giữa chất lỏng với tinh thể, nghĩa là liên quan đến thông số trật tự xa. Không có các
số liệu chi tiết về dáng điệu của các đặc trƣng nhiệt động dọc theo đƣờng nóng chảy
thì không thể xây dựng lý thuyết nóng chảy và cuối cùng đƣờng nóng chảy là nguồn
thông tin phong phú về thế tƣơng tác giữa các phân tử [4].
Nóng chảy là hiện tƣợng xảy ra phổ biến trong tự nhiên. Nghiên cứu bản
chất của sự nóng chảy liên quan đến các lớp bao phủ ở bảng sắp xếp của mẩu từ các
đám nhỏ chứa vài chục nguyên tử sâu trong lỏi trái đất. Đƣờng cong nóng chảy của

của những vật liệu khác nhau dƣới áp suất vô cùng lớn. Tuy nhiên cho đến ngày
nay, các phƣơng pháp khác nhau dẫn tới kết quả rất khác nhau.
Gần đây phƣơng pháp mô phỏng số đã chỉ ra rằng sự tƣơng quan đám kích
thích nhiệt sai hỏng mạng đóng vai trò trung tâm trong quá trình ở giới hạn sự quá
nhiệt [23]. Thêm vào sự nghiên cứu chỉ ra rằng nhiều loại sai hỏng trong trạng thái
rắn nhƣ là bề mặt, khoảng cách hạt, khuyết, tạp chất và sai hỏng khác, cũng góp
phần dẫn đến thuận lợi cho sự nóng chảy. [24]
Sự phụ thuộc của nhiệt độ nóng chảy vào áp suất P dọc theo đƣờng cân bằng
tinh thể -chất lỏng đƣợc mô tả tốt bởi phƣơng trình thực nghiệm Simon [8]
ln(P+a)=clnT+b , (1.1)
trong đó P, T là áp suất và nhiệt độ nóng chảy. Hệ số a, b, c là các hệ số tìm đƣợc từ
thực nghiệm.Trong thực tế cho thấy phƣơng trình (1.1) là phƣơng trình khó giải,
đơn điệu vì khó xác định đƣợc hệ số a, b, c và không thể đồng nhất các hệ số của nó
với các tính chất vật lý nào đó của đối tƣợng nghiên cứu.
Ngoài phƣơng trình Simon, ngƣời ta còn dùng hệ thức giữa nhiệt độ nóng
chảy
m
T
và áp suất P có thể xác định theo dạng hệ thức Krant-Kenedy [7]
0
0
(1 ),
m
V
T T C
V


(1.2)





  
(1.3)
trong đó
m

là thông số Gruneisen ở điểm nóng chảy,
T

là hệ số nén đẳng nhiệt,
2
C
=
2
2
1
a
a
với
12
,aa
là các hệ số trong hệ thức độ nén
2
12
0
V
a P a P
V

   
(1.4)
trong đó
,
T

là các hằng số ở nhiệt độ T
0
có liên quan tới việc xác định
( , )
G
PT

và
( , )
T
B P T
;
'
0
(0, )
T
T
BT




.
Về mặt lý thuyết, để xác định nhiệt độ nóng chảy của tinh thể, chúng ta phải

nhiệt động của các tinh thể phi điều hòa làm cơ sở trong nội dung nghiên cứu.
1.3.Phƣơng pháp thống kê mômen
Phƣơng pháp thống kê momen do GS.TSKH Nguyễn Tăng đề xuất đã đƣợc
phát triển để nghiên cứu tính chất nhiệt động của tinh thể phi điều hoà.GS.TS Vũ
Văn Hùng và các công sự đã phát triển và ứng dụng trong những năm gần đây.
Chúng tôi xin trình bày vắn tắt một số nét chính về TKMM liên quan đến vấn đề mà
mình nghiên cứu [2].
1.3.1.Mômen và hàm tƣơng quan
Giả sử có một tập các biến cố ngẫu nhiên q
1
, q
2
, …, q
n
tuân theo quy luật
thống kê, đƣợc mô tả bởi hàm phân bố
12
( , , , )
n
q q q

. Hàm này thoả mãn điều
kiện chuẩn. Trong lí thuyết xác suất momen cấp m đƣợc định nghĩa nhƣ sau
12
1 1 1 2 1
( , , , )
( , , , )
n
mm
nn

12
( , , , )
n
q q q

hoàn toàn có
thể xác định đƣợc các momen.
Trong vật lý thống kê cũng có các định nghĩa tƣơng tự. Riêng đối với hệ
lƣợng tử đƣợc mô tả bởi toán tử thống kê


, các momen xác định nhƣ sau
 
( ),
( ) ( ) .
mm
m
q Tr q
q q Tr q q



    
 
       
(1.7)
Toán tử


tuân theo phƣơng trình Liouville lƣợng tử

i
theo hƣớng toạ độ
suy rộng Q
i
. Nhƣ vậy Hamiltonian của hệ có dạng

18
0
,
ii
i
H H a Q



(1.9)
với
0
H

là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng.
Dƣới tác dụng của ngoại lực không đổi, hệ chuyển sang trạng thái cân bằng
nhiệt động mới, đƣợc mô tả bởi phân bố chính tắc
exp , ,
B
H
kT




1 1 1
0,
( 1)!
n
n
ka
k
a
n
k
i
QQ
an

  






    











và do đó
()
0
n
k
Q

 
.
Vậy biểu thức (1.11) có dạng
.
a
k
k
Q
a



   

(1.13)
Đạo hàm biểu thức giá trị trung bình của đại lƣợng F tuỳ ý theo a
k
, và sử
dụng các công thức toán tử (1.11), thực hiện các phép biến đổi ta có

19






,(1.14)
với
2n
B
là hệ số Bernouli. Hệ thức này cho phép xác định sự tƣơng quan giữa các
đại lƣợng F bất kỳ và toạ độ suy rộng
k
Q

thể hiện rõ trong momen cấp hai. Đại
lƣợng
a
F


có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ; còn
2n
a
k
F
a








   

     





. (1.15)
Ngoài ra trong [4] ta còn thu đƣợc các momen sau đây:
(2 )
2
(2 ) 1
2
0
(2 1)
^
2
.
2
2
0
1
[ , ] ( 1) ,
2 (2 )!
.
(2 )!













   













(1.16)
Để tìm công thức truy chứng của các momen, ngƣời ta định nghĩa toán tử
tƣơng quan nhƣ sau
1, 2 3

F Q Q Q Q Q Q
      

  
(1.18)
Trong công thức (1.14) nếu thay
n
FK


ta đƣợc công thức truy chứng đối
với các momen nhƣ sau
2
(2 )
2
1
1
0
11
.
(2 )!
m
n m n
nn
a a a
n
m
nn
a
K B K

n
nn
a a a
n
n
K
K K Q
a


  



  
      

(1.20)
Điều này có nghĩa là từ các điều kiện cân bằng ta tìm đƣợc các đại lƣợng
ka
Q


và do đó có thể tìm đƣợc tất cả các momen tƣơng quan.
1.3.3.Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do
Năng lƣợng tự do

cho đầy đủ thông tin về tính chất nhiệt động của hệ. Vì
vậy, việc xác định nó đóng vai trò quan trọng. Trong vật lý thống kê, năng lƣợng tự
do


, (1.22)
với

là thông số,
V

là toán tử tuỳ ý.
Tƣơng tự (1.13) ta có biểu thức
()
V





   

. (1.23)
Biểu thức trên tƣơng đƣơng với công thức :
0
0
() Vd

   

   

, (1.24)
trong đó:

có dạng phức tạp thì ta tách nó thành
0 ii
i
H H V

  


sao cho
0 1 1 2
, H V V

  
 

Giả sử biết năng lƣợng tự do
0

ứng với Hamiltonian
0
H

của hệ, khi đó tìm
năng lƣợng tự do
1

ứng với
1 0 1 1
,H H V


U a u



 
, (1.25)
trong đó:
i
u

là độ dời của hạt thứ i
i
a

là vị trí cân bằng của hạt thứ i
0i

là thế năng tƣơng tác giữa hạt thứ i và hạt thứ 0 (hạt đƣợc chọn làm gốc)
Ở nhiệt độ cao, dao động của các hạt ở nút mạng là mạnh, khai triển thế năng
 
0i i i
au


 
theo độ dời
i
u

phải kể đến số bậc cao hơn 2. Trong gần đúng cấp 4,

eq
a u a u u
uu
u u u
u u u
u u u u
u u u u



  
  
  
   
   
   






  








    
   
đƣợc xác định nhƣ sau
2
2
0
00
3
32
0
00
(0 ) (0 ) ,
(0 ) (0 )( )
i
i i i i
ii
eq
i
i i i i i i i i
i i i
eq
aa
uu
a a a a a a
u u u
  

        
  


(0 )( ),
i
i i i i i
i i i i
eq
i i i i i i i i i i i i i
i
a a a a
u u u u
a a a a a a a a a a a a
   
   
                 
     


      
      





   

     
  

với :
1

a a a
a a a
a a a a
a a a a

  
   
    


  
   
(1.28)
Các ký hiệu (1), (2), (3), (4) trên đầu hàm
0
()
ii
a

là các đạo hàm các cấp
tƣơng ứng trên độ dời.
Nếu hạt thứ 0 còn chịu tác dụng bởi lực phụ
a

theo hƣớng

thì ở trạng
thái cân bằng nhiệt động, tổng lực tác dụng lên hạt đó bằng 0. Ta có phƣơng trình
23
00

  
   


   


   
   
    
   


  


   



(1.29)
Theo [2] do tính chất đối xứng của mạng lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng
tâm khối nên các số hạng sau đây bằng 0
23
00
,,
ii
ii
i i i i i
eq eq

    
   


(
  

)
Để giải phƣơng trình (1.29) ta biểu diễn momen bậc 2
i i a
uu


,
momen bậc 3
i i i
a
u u u
  
qua momen bậc 1 và chú ý rằng:
.
i i i
a
aa
u u u y
  
  

Ta có phƣơng trình sau
2

eq eq
k
u
u u u

  











   



   
   
  

   



(1.31)

4 6 8 10 12
A a a a a a a
k k k k k
         
     
. (1.33)
Các hệ số a
1
,

a
2
,

a
3
,

a
4
,

a
5
,

a
6
đƣợc xác định nhƣ sau
1

   

     


     
  

3 3 4 4
5 5 6 6
148
xx
3
,
53 1
xx
62
x cth x cth
x cth x cth








(1.34)
2 2 3 3 4 4 5 5
6

là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt (nguyên tử) ở 0
0
K.
1.3.5.Năng lƣợng tự do
Trong gần đúng bậc 4, thế năng tƣơng tác trung bình của tinh thể cấu trúc
LPTD và LPTK đƣợc xác định bởi biểu thức
2 4 2 2
0 1 2
3,
2
k
U U N u u u


         


(1.36)
với