Luận văn thạc sỹ

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được luận văn đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành, sâu sắc đến TS. Hồ Khắc Hiếu đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em trong
suốt quá trình làm luận văn.
Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lí Trường Đại Học Khoa học
Tự nhiên nói chung và các thầy cô giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết nói riêng
đã hết lòng dạy bảo em trong suốt hai năm học tập và rèn luyện vừa qua.
Tôi xin cảm ơn các thầy trong ban giám hiệu Trường THPT Chúc ĐộngChương Mỹ- Hà Nội, cùng toàn thể các thầy cô giáo, các anh chị và các bạn
đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể học tập
trong thời gian 2 năm qua cũng như hoàn thành luận văn này.
Xin cảm ơn gia đình, các anh chị và các bạn đã luôn giúp đỡ, ủng hộ, động
viên, chia sẻ những khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận
văn.

Tác giả

Nguyễn Ngọc Hà

[Type text]


Luận văn thạc sỹ

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................1
Chương 1 - HIỆN TƯỢNG NÓNG CHẢY VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN
CỨU........................................................................................................................4
1.1. Tổng quan về hiện tượng nóng chảy ..............................................................4


Luận văn thạc sỹ

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Tên bảng

Nội dung

Trang

Bảng 3.1

Giá trị áp suất chuyển pha cấu trúc nhiệt độ nóng chảy ở

31

áp suất P =0 của các kim loại

Bảng 3.2

Các thông số làm khớp q và γ 0 của nhóm Graf theo công

32

thức (16) cho hai kim loại Au và Cu

Bảng 3.3

Giá trị làm khớp K0 và K 0′ bằng phương pháp bình phương


34

kim loại

Hình 3.2 Đồ thị sự phụ thuộc áp suất của nhiệt độ nóng chảy của kim loại Au

37

Hình 3.3 Đồ thị sự phụ thuộc áp suất của nhiệt độ nóng chảy của kim loại Au

39

Hình 3.4 Đồ thị sự phụ thuộc áp suất của nhiệt độ nóng chảy của Ag

40

Hình 3.5 Giản đồ pha của Fe

42

Hình 3.6 Hệ số Grüneisen thực nghiệm và lý thuyết của kim loại Fe

43

Hình 3.7 Đường cong P-V ở nhiệt độ T = 300K của kim loại Fe

45

Hình 3.8 Đồ thị sự phụ thuộc hệ số nén V/V0 của nhiệt độ nóng chảy của kim

cao là một trong các hướng nghiên cứu liên ngành được chú ý bởi sự quan trọng
của nó trong lĩnh vực khoa học vật liệu, địa vật lý, vật lý địa cầu và vật lý thiên
văn.
Nói chung do khả năng dẫn điện, dẫn nhiệt và cấu trúc điện tử của mỗi kim
loại là khác nhau, vì vậy nhiệt độ nóng chảy của chúng cũng khác nhau. Ngoài
ra, nhiệt độ nóng chảy của các kim loại cũng chịu ảnh hưởng lớn của áp suất bên
ngoài. Cho đến nay, có rất nhiều phương pháp nghiên cứu đã được sử dụng để
nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất đến nhiệt độ nóng chảy của kim loại như
phương pháp thực nghiệm (ô mạng đế kim cương), phương pháp phiếm hàm mật
độ, phương pháp bán thực nghiệm. Tuy nhiên các phương pháp này còn rất nhiều
hạn chế như: Các biểu thức toán học cồng kềnh, phức tạp, khó khăn khi đưa ra
các số liệu thực nghiệm, sai số lớn. Vì vậy việc nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy
của các kim loại dưới áp suất đặc biệt là dưới áp suất cao vẫn còn là vấn đề thời
sự đối với nhà nghiên cứu và thực nghiệm. Vì các lý do đó, chúng tôi chọn bài
toán “Nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của các kim loại dưới áp suất cao” làm đề
tài của luận văn.
II. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn này là các kim loại chuyển tiếp Cu,
Ag, Au, Fe. Chúng tôi sẽ xác định nhiệt độ nóng chảy dưới áp suất cao của các

Khoa Vật lý

1


Luận văn thạc sỹ

kim loại này, từ đó vẽ được đường biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt độ theo áp
suất và phụ thuộc vào hệ số nén V/V0 của nhiệt độ.
III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

chảy của kim loại và các phương pháp để nghiên cứu. Mỗi phương pháp đều có
những đặc điểm riêng để nghiên cứu về hiện tượng nóng chảy, và trong số các
phương pháp cũng có phương pháp hay dùng hiện nay đó là phương pháp thống
kê momen, tuy nhiên trong luận văn này tôi áp dụng phương pháp khác để
nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của kim loại dưới áp suất cao đó là giới hạn
Lindemann và hệ số Grüneisen.
Chương 2. Nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của vật liệu dưới áp suất cao
Phần đầu chương này tôi trình bày những nét chính về Mô hình Debye trong
nghiên cứu tính chất nhiệt động của vật liệu và giới hạn Lindemann trong nghiên
cứu hiện tượng nóng chảy của kim loại.
Từ đó, kết hợp với biểu thức sự phụ thuộc áp suất của hệ số Grüneisen
chúng tôi thiết lập được biểu thức giải tích của nhiệt độ nóng chảy Tm như là một
hàm của thể tích.Dựa trên phương trình trạng thái Vinet, chúng tôi nghiên cứu
được ảnh hướng của áp suất đến nhiệt độ nóng chảy Tm.
Chương 3. Tính toán số và thảo luận
Trong chương này, trên cơ sở biểu thức giải tích của nhiệt độ nóng chảy Tm thu được ở chương 2 và phương trình trạng thái Vinet của tinh thể, chúng tôi sẽ
thực hiện tính toán số và thảo luận cho các kim loại chuyển tiếp đồng (Cu), vàng
(Au), bạc (Ag) và sắt (Fe). Ảnh hưởng của thể tích và áp suất đến nhiệt độ nóng
chảy Tm của các kim loại này sẽ được chúng tôi nghiên cứu đến giá trị hệ số nén

V V0 = 0,5 và đến áp suất tương ứng.
Từ các đồ thị sự phụ thuộc áp suất của nhiệt độ của các kim loại Cu, Ag,
Au, Fe tôi đưa ra được kết quả và thảo luận kết quả.

Khoa Vật lý

3


Luận văn thạc sỹ


4


Luận văn thạc sỹ

Có nhiều cách thức tiếp cận khác nhau trong nghiên cứu ảnh hưởng của áp
suất đến nhiệt độ nóng chảy của vật liệu như phương pháp mô phỏng động học
phân tử [48], phương pháp ab inito [15,46], phương pháp thực nghiệm (ô mạng
đế kim cương, thủy lực) [17,22,28], phương pháp thống kê mômen [8]...
Sự phụ thuộc của nhiệt độ nóng chảy vào áp suất P dọc theo đường cân
bằng tinh thể - chất lỏng được mô tả tốt bởi phương trình thực nghiệm Simon.
ln(P+a) = clnTm + b

(1.1)

trong đó P và Tmtương ứng là áp suất và nhiệt độ nóng chảy. Hệ số a, b, c là các
hệ số tìm được từ thực nghiệm.Tuy nhiên, phương trình này không thể mô tả sự
nóng chảy của tinh thể ở áp suất cao.Về mặt lí thuyết, để xác định nhiệt độ nóng
chảy của tinh thể chúng ta phải sử dụng điều kiện cân bằng của pha lỏng và pha
rắn. Trong thực tế cho thấy phương trình (1.1) là phương trình tuy đơn giản
nhưng khó xác định được hệ số a, b, c và không thể đồng nhất các hệ số của nó
với các tính chất vật lý nào đó của đối tượng nghiên cứu.Do đó, việc nghiên cứu
nhiệt độ nóng chảy vẫn còn là một vấn đề chưa kết thúc đối với nhiều nhà khoa
học có liên quan.
Ngoài phương trình Simon, người ta còn dùng hệ thức giữa nhiệt độ nóng
chảy Tm và áp suất P có thể xác định theo hệ thức Krant - Kerudy:
Tm = T0 ( 1 + C

∆V

C2 =

∆
a2
với a1, a2 là các hệ số trong hệ thức độ nén − V = a1 P + a2 P 2 .
a1
V0

Kumari và đồng sự [30] đưa ra một phương trình thực nghiệm khác để xác
định nhiệt độ nóng chảy của tinh thể và áp dụng tốt ngay ở áp suất cao. Đó là hệ
thức Kumrai – Dass:

 T  −2η P 2 

1
BT
 
ln  m  =
+
γ G (0, T0 ) − + δ  ln 1 +


BT
BT 
3
  BT (0, T0 ) 
 T0 

(1.4)


Tuy nhiên, có thể chỉ dùng 1 pha rắn cũng xác định được nhiệt độ nóng
chảy của tinh thể. Cũng như [3],trước hết xác định nhiệt độ giới hạn bền vững
tuyệt đối của tinh thể. Sau đó, vì nhiệt độ nóng chảy không khác xa nhiệt độ giới
hạn TS ứng với sự bền vững tuyệt đối của tinh thể,nên thực hiện một sự hiệu
chỉnh sẽ thu được kết quả phù hợp tốt với thực nghiệm.
Về mặt lý thuyết, để xác định nhiệt độ nóng chảy chúng ta phải sử dụng
điều kiện cân bằng của pha lỏng và pha rắn (sự nóng chảy của chất rắn được biết
đến như là sự gián đoạn đầu tiên của sự chuyển pha xuất hiện tại nhiệt độ giới
hạn nơi mà năng lượng tự do Gibbs của trạng thái rắn và lỏng cân bằng nhau.
Tuy nhiên, cho đến nay, các nhà nghiên cứu chưa tìm được biểu thức tường minh
của nhiệt độ nóng chảy theo cách này.Do đó, việc nghiên cứu nhiệt độ nóng
chảy vẫn còn là một vấn đề chưa kết thúc đối với nhiều nhà nghiên cứu. Hàng
loạt các phương pháp tính toán gián tiếp khác đã được phát triển để tiên đoán
nhiệt độ nóng chảy của vật liệu với các độ chính xác, kinh nghiệm và độ phức tạp
khác nhau. Lấy ví dụ, người ta xây dựng biểu thức năng lượng tự do phụ thuộc
nhiệt độ của các pha rắn và lỏng riêng biệt; sau đó, xác định giá trị nhiệt độ tại đó
có cùng giá trị năng lượng tự do. Đây chính là điểm nóng chảy của vật liệu khi
nó chuyển từ pha rắn sang pha lỏng. Một phương pháp khác đã được sử dụng
trong nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của silicon và nhôm liên quan đến hằng số
gradient nhiệt độ (Constant temperature gradient – CTG) theo một phương của
tinh thể cho phép ngoại suy ra giá trị nhiệt độ nóng chảy dựa trên vị trí của bề
mặt rắn lỏng. Ta đã biết cho đến thời điểm hiện tại vật liệu silicon đã trở nên phổ
biến trên toàn thế giới,có mặt trong hầu hết các thiết bị điện tử hiện đại,Vì vậy
mà đã có rất nhiều nghiên cứu về loại vật liệu này trên cả phương diện lý thuyết
lẫn thực nghiệm.
Trong giải tích vectơ gradient của một trường vô hướng là một trường
vectơ có chiều hướng về phía mức độ tăng lớn nhất của trường vô hướng,và có
độ lớn là mức độ thay đổi lớn nhất.

Khoa Vật lý

8


Luận văn thạc sỹ

Một thiết bị ô mạng đế kim cương bao gồm 2 đế kim cương đặt đối diện
nhau, ở giữa là mẫu vật liệu cần nén (Xem hình 1.1). Áp suất có thể được đo đạc
và điều chỉnh bằng cách sử dụng một vật liệu chuẩn mà các tính chất dưới áp suất
cao của nó đã được biết.Thiết bị này đã được sử dụng để tái tạo áp lực hiện sâu
bên trong hành tinh,tạo ra vật liệu và giai đoạn không quan sát thấy trong điều
kiện bình thường.Ví dụ đáng chú ý bao gồm không phân tử băng X , Nitơ phân
tử và kim loại Xenon (một khí trơ ở áp suất thấp hơi). Thông thường chuẩn áp
suất được sử dụng như phổ huỳnh quang ruby và các kim loại có cấu trúc đơn
giản như đồng (Cu) và bạch kim (Pt) [17].Trong phương pháp ô mạng đế kim
cương, áp suất thường được tạo ra theo một trục. Để tạo ra được áp suất thủy tĩnh
tác dụng đồng đều lên mọi phương của vật liệu, người ta đưa thêm một vật liệu
để truyền áp suất vào giữa 2 đế kim cương và mẫu đo như argon, xenon,
hydrogen, helium, dầu paraffin hoặc hỗn hợp methanol và ethanol [16]. Vật liệu
truyền áp suất này sẽ được bao kín bởi một lớp đệm giữa hai đế kim cương. Với
cách thức bố trí thí nghiệm như vậy, chúng ta có thể quan sát, chiếu rọi mẫu đo
bằng tia X hay ánh sáng nhìn thấy qua hai đế kim cương. Do đó, chúng ta có thể
đo được các hiện tượng nhiễu xạ tia X, phổ huỳnh quang, phổ hấp thụ, huỳnh
quang hóa(photoluminescence), tán xạ Mössbauer, tán xạ Raman và tán xạ
Brillouin,…. dưới áp suất cao.Từ trường và lò vi sóng có thể được áp dụng bên
ngoài đến các tế bào cho phép cộng hưởng từ hạt nhân, điện tử cộng hưởng thuận
từ và phép đo từ tính khác . Trong nghiên cứu hiện tượng nóng chảy của vật liệu
dưới áp suất cao, người ta cần tạo ra nguồn nhiệt để đốt nóng vật liệu. Cách thức
thực hiện là đưa thêm vào các điện cực để đốt nóng (nhiệt độ có thể lên đến vài
ngàn độ) hoặc sử dụng nguồn laser đốt nóng chiếu qua vật liệu (nhiệt độ có thể
lên đến 7000 K)[22] có thể đạt được với hệ thống sưởi laser gây ra và làm mát

 ∂P 
 ∂P 

 = 0 hay   = 0
 ∂V T
 ∂a T

(1.6)

3∂γ GTθ a3
− 9aγ GTθ
1  −2a ∂U 0 1 ∂ U 0 
 ∂P 
∂a
+ .
=0
+
  =−  4 .
6 a
∂a a 2 ∂a 2 
6
 ∂a T
2

a ∂U a 2 ∂ 2U
θ .∂T
− . 2 + 3a. G − 9γ GTθ = 0
3 ∂a 6a ∂a
∂a


 a ∂U 0

+ P

3γ k  6V ∂a

V

T
G B

(1.9)

Sử dụng các thông số a, k, ω ở chính nhiệt độ TS. Khi đó ta có công thức
biến đổi thành:
TS =

 a 2 ∂ 2u a 2trω  ∂ 2 k 1  ∂k  2 

2
0
+
 2 −    + 2 PV 
2 
2
4k  ∂a
2k  ∂a  
 ∂k  6 ∂a

k B a 2   

TS =

 a ∂u0

+ P

3γ k  6V ∂a

V

T
G B

(1.12)

Với các ĐL ở vế phải lấy các giá trị TS

1.2.2.1. Nhiệt độ nóng chảy của kim loại ở P = 0
Từ (1.12) ta thấy ở áp suất P nhất định thì nhiệt độ T là hàm khoảng cách
a. T = f(a). Ngoài ra chú ý rằng nhiệt độ TS và Tm rất gần nhau nên ta đồng nhất
TS v ớ i Tm .
Vì nhiệt độ là hàm của thể tích V và áp suất P nên:

 ∂T 
 ∂T 
T(P,V) = T(0, V) + 
 .V + 
 P + .....
 ∂V  P
 ∂P V

<-> 
 = −
 
 =0
 ∂V  P
 ∂P V  ∂V T
 ∂T 
-> T(P,V) = T(0, V) + 
 P + .....
 ∂P V
Từ phương trình trạng thái: P = −

a ∂U 0 3γ GTθ
a ∂U 0 3γ GT K BT
+
=−
+
6V ∂a
V
6V ∂a
V

a ∂U 0  V

T = P +

6V ∂a  3γ GT K B


V ới

V
. T
. 0
18V γ G K B ∂a

(1.18)

1.2.2.2. Nhiệt độ nóng chảy của kim loại ở áp suất cao P
Trong trường hợp áp suất P tăng cao, phương pháp mômen xây dựng biểu
thức nhiệt độ nóng chảy phụ thuộc vào môđun trượt G và ô mạng Wigner-Seitz

Khoa Vật lý

12


Luận văn thạc sỹ

VWS được tính dựa trên ý tưởng về mối liên hệ giữa sự nóng chảy với tính dao

động không ổn định của mạng tinh thể. Theo đó Born cho rằng [41], vật liệu sẽ
nóng chảy khi môđun dao động trượt biến mất và tinh thể mất khả năng cản lại
sự trượt. Giá trị nhiệt độ nóng chảy được xác định thông qua biểu thức:
G ( P )VWS ( P )
= hằng số
Tm ( P )

(1.19)

Đạo hàm phương trình trên theo áp suất P ta được:


Khai triển modun nén khối quanh áp suất P = 0 ta có:
B(P) = B0 + B0' P2 +.....

(1.23)

Ở đây B0 và B0' ≡ (dB/ dP)0; B0'' ≡ (d2B/ dP2)0.....

Có thể rút ra từ phương trình trạng thái. Chỉ số 0 chỉ điều kiện cân bằng ở
T = 300K và P = 0.
Sử dụng công thức gần đúng cho modun nén khối:
B(P) ≈ B0 + B0' P

Khoa Vật lý

(1.24)

13


Luận văn thạc sỹ

Từ đó, nhóm tác giả xây dựng được biểu thức giải tích tường minh của
phương trình đường cong nóng chảy ở áp suất cao có dạng:
1

G ( P)  B( P)  B0
= Tm ( 0 )



mô phỏng hai pha rắn-lỏng của vật liệu đó.
Có rất nhiều kỹ thuật mô phỏng động học phân tử khác nhau đã được phát
triển để tính toán nhiệt độ nóng chảy của các kim loại. Cách thức tiếp cận đơn

Khoa Vật lý

14


Luận văn thạc sỹ

giản và trực tiếp nhất là mô phỏng một đơn tinh thể lý tưởng kim loại ở các nhiệt
độ khác nhau cho đến khi quan sát được quá trình chuyển pha xảy ra. Phương

pháp này đã được áp dụng trong nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của một loạt các
vật liệu; tuy nhiên, nó chỉ có thể được thực hiện khi tác giả biết được giới hạn
trên của nhiệt độ nóng chảy. Ngoài ra, do bỏ qua các khuyết tật của hệ nên vật
liệu giá trị nhiệt độ thu được thường lớn hơn nhiệt độ nóng chảy của vật liệu.
Phương pháp trễ là sự mở rộng của kỹ thuật này: Giá trị điểm nóng chảy được
suy ra từ các quá trình mô phỏng nung và giảm quá nhiệt.
Một phương pháp khác là phương pháp mô phỏng hai pha trong đó các
pha rắn và lỏng được mô phỏng cùng tồn tại trực tiếp và riêng biệt trên bề mặt.
Mô phỏng trong điều kiện đẳng áp và đẳng nhiệt, một hệ bao gồm hai pha rắn và
lỏng sẽ kết tinh nếu nhiệt độ của hệ quá bé hay nóng chảy khi nhiệt độ tăng qua
cao. Bằng cách này, giá trị nhiệt độ nóng chảy có thể được khoanh vùng trong
một khoảng mong muốn bằng cách thực hiện nhiều lần mô phỏng ở các nhiệt độ
khác nhau tại áp suất cho trước. Cách thức tiếp cận này đã được thực hiện khá
thành công để xác định nhiệt độ nóng chảy của chì [21], nhôm [21], germanium
[21].
Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày sơ lược công trình “Determination of the

phỏng cân bằng được thực hiện trên tinh thể này ở nhiệt độ gần với giá trị nhiệt
độ nóng chảy tại áp suất mong muốn. Các điều kiện ban đầu đối với phần rắn

trong các tính toán tiếp theo được sử dụng tương ứng với trạng thái cuối của mô
phỏng cần bằng này. Để tạo ra phần pha lỏng của tế bào mô phỏng cùng tồn tại,
cấu hình trạng thái cuối trong pha rắn đã cân bằng được đưa vào mô phỏng NPTMD ở nhiệt độ cao hơn nhiều nhiệt độ nóng chảy. Để đảm bảo tính tương thích
trong hệ hai pha, các véctơ mạng của phần tử mô phỏng ở thể lỏng được giữ cố
định theo phương x và y; các véctơ của phần tử mô phỏng với các kích thước này

cũng chính là các kích thước trong pha rắn. Khi hệ đã ở trạng thái cân bằng với
cấu trúc vô định hình, cấu hình trạng thái cuối được sử dụng làm điều kiện ban
đầu cho lần mô phỏng NPT-MD lần thứ hai ở nhiệt độ mà pha rắn cân bằng.Tiếp
đó, các tế bào mô phỏng pha lỏng và rắn cân bằng được đặt cạnh nhau để tạo nên

một hệ hai pha với khoảng cách ban đầu giữa các pha tương ứng là 1.0 và 0.5 Å
đối với Al và Ni. Để tối thiểu hóa các hiệu ứng không cân bằng xảy ra ở bề mặt

hai pha, các nguyên tử trong pha lỏng được cho phép nới lỏng thông qua phương
pháp mô phỏng động học phân tử chính tắc (NVT-MD), trong khi đó các nguyên
tử ở pha rắn được giữ cố định. Nếu hệ không nóng chảy hay kết tinh hoàn toàn
thì quá trình mô phỏng sẽ được tiếp tục cho đến khi hệ hội tụ về pha một pha
đơn. Bằng cách thức tiếp cận như vậy, N. Scott Weingarten và các cộng sự đã

nghiên cứu thành công nhiệt độ nóng chảy của kim loại Ni và Al đến áp suất
khoảng 15 GPa.

Khoa Vật lý

16


Lindemann và hệ số Grüneisen. Tiếp đó, chúng tôi sẽ sử dụng những kiến thức
này để xây dựng biểu thức nhiệt độ nóng chảy phụ thuộc áp suất của các kim
loại.
2.1. Giới hạn Lindemann về nóng chảy và hệ số Grüneisen
2.1.1. Giới hạn Lindemann về nóng chảy
2.1.1.1. Mô hình Debye trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của tinh thể

Trong lý thuyết chất rắn, mô hình Debye được sử dụng khá thành công để
nghiên cứu các tính chất nhiệt động của vật liệu như nhiệt dung, độ dịch chuyển
trung bình bình phương, hệ số Debye-Waller phổ cấu trúc tinh tế hấp thụ tia X
(X-ray absorption fine structure – XAFS),… Mô hình Debye giả thiết một hệ
đồng nhất gồm N dao tử với tần số biến thiên từ 0 đến tần số Debye cực đại ω D

và truyền với vận tốc âm vD không đổi trong tinh thể; đồng thời, đưa ra một tích
phân Debye đối với hàm tương quan giữa các khoảng cách. Trong mô hình này,
thể tích của vùng Brillouin được thay bằng hình cầu trong không gian véctơ sóng
r
q có cùng thể tích. Bán kính của hình cầu này được gọi là số sóng Debye và có
1/3

giá trị bằng k D = ( 6π 2 N / V ) .
Trong nghiên cứu phổ cấu trúc tinh tế hấp thụ tia X, mô hình Debye đưa
ra biểu thức gần đúng của của hàm mật độ trạng thái ρ R (ω ) khi chiếu lên phương
liên kết (0, R) là [23]:

Khoa Vật lý

18




3 θ /T
D

∫
0

z 4e z

( e z − 1)

2

dz .

(2.2)

hω
.
k BT
θ D /T

+ Khi ở nhiệt độ thấp T

z

− 1)

2

≈

1+ z
1
≈ 2 . Khi đó,
(1 + z − 1) z

biểu thức nhiệt dung Debye quay trở về định luật Dulong-Petit được tìm ra bằng
thực nghiệm có dạng:

CD = 3NkB .

(2.4)

Như vậy, trong trường hợp này, giá trị nhiệt dung của tinh thể là hằng số.

Khoa Vật lý

19