Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lý lý thuyết là một ngành của Vật lý học ra đời khi phương pháp
toán học ngày được áp dụng phổ biến trong Vật lý.
Điện động lực học là một bộ môn của Vật lý lý thuyết, là lý thuyết về
điện từ trường và các hạt tích điện.
Trước đây Điện động lực học được nghiên cứu trong trường hợp tốc độ
chuyển động là rất nhỏ so với tốc độ ánh sáng, lúc này các hiện tượng điện từ
tuân theo hoàn toàn các định luật của Vật lý học cổ điển.
Sự ra đời của thuyết tương đối Anhxtanh đầu thế kỉ XX dẫn đến sự ra
đời lý thuyết Điện động lực học tương đối tính, là lý thuyết Điện động lực học
khi tốc độ chuyển động là đáng kể so với vận tốc ánh sáng (Điện động lực học
trong trường hợp tốc độ chuyển động là rất nhỏ so với tốc độ ánh sáng được
gọi là Điện động lực học không tương đối tính). Lúc này các hiện tượng điện
từ không còn tuân theo các định luật của Vật lý học cổ điển nữa mà tuân theo
lý thuyết tương đối và được trình bày bằng công cụ toán học trong không gian
bốn chiều.
Điện động lực học tương đối tính là lý thuyết tổng quát và coi điện
động lực học không tương đối tính như là một trường hợp riêng.
Việc giải một số bài tập Điện động lực học tương đối tính cho phép ta
hiểu thực chất của Điện động lực học một cách sâu sắc và hoàn thiện hơn.
Với vốn kiến thức của mình tích lũy được trong 4 năm học đại học tôi
muốn tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết Điện động lực học tương đối tính để
từ đó giải một số bài tập có liên quan.

SVTH: Nguyễn Thị Bính


Trường ĐHSP Hà Nội 2

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. NHỮNG TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT
TƢƠNG ĐỐI ANHXTANH
A. Cơ sở lý thuyết
1.1. Nguyên lý tƣơng đối Galilê. Phép biến đổi tọa độ
1.1.1. Nguyên lý tƣơng đối Galilê
“Mọi hiện tượng cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quán tính”.
Hoặc: “Không thể dùng các thí nghiệm cơ học trong nội bộ một hệ quán tính
để xét xem nó đứng yên hay chuyển động thẳng đều so với một hệ quán tính
khác”.
1.1.2. Phép biến đổi tọa độ
Tọa độ của chất điểm ở các hệ quy chiếu khác nhau sẽ có giá trị khác
nhau.
Quy tắc cho phép ta suy ra tọa độ của chất điểm ở hệ này khi biết tọa
độ của nó ở hệ khác được gọi là phép biến đổi tọa độ. Phép biến đổi tọa độ
phù hợp với nguyên lý tương đối Galilê.
Phép biến đổi Galilê
Xét hai hệ tọa độ đêcac vuông góc gắn với hai hệ quy chiếu quán tính
K và K’. Hệ K coi là đứng yên, có gốc O và các trục Ox, Oy, Oz. Hệ K’
chuyển động có gốc O’ và các trục O’x’, O’y’, O’z’. Hệ K’ chuyển động với
vận tốc v, theo chiều dương của trục Ox.
Tại thời điểm t = 0, hai hệ hoàn toàn trùng nhau.
 Ox = O’x’; Oy // O’y’; Oz // O’z’

SVTH: Nguyễn Thị Bính

3


y  y';
z  z '.

Hai cách viết này gọi là phép biến đổi xuôi và ngược. Chúng có dạng
toán học như nhau  2 hệ này là tương đương nhau.
Trong phép biến đổi này, chỉ có các công thức biến đổi tọa độ không
gian, không có các công thức biến đổi thời gian vì theo cơ học Niutơn chỉ có
thời gian duy nhất, phổ biến chung cho mọi hệ. Nếu muốn viết cho đầy đủ thì
viết thêm:
t  t'

1.2. Lƣợng bất biến. Tính bất biến của các định luật cơ học cổ điển
1.2.1. Lƣợng bất biến
Khi chúng ta chuyển từ một hệ quy chiếu này sang một hệ quy chiếu
khác, tọa độ của từng điểm trong không gian sẽ thay đổi giá trị  tọa độ là

SVTH: Nguyễn Thị Bính

4

Lớp K32E - Khoa Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

tương đối. Cũng có những lượng không thay đổi giá trị khi ta đổi hệ tọa độ
bằng phép biến đổi Galilê  lượng bất biến với phép biến đổi Galilê.
Ta có khoảng cách không gian, khoảng cách thời gian, vận tốc tương

5

Lớp K32E - Khoa Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

viên trong phòng thí nghiệm đo đƣợc vận tốc của chúng lần lƣợt là 0,6c
và 0,7c. Tính vận tốc cổ điển của êlectrôn này so với êlectrôn kia?
Bài làm
Gọi hệ quy chiếu K là hệ gắn với quan sát viên đứng yên trong phòng
thí nghiệm.
Hệ quy chiếu K’ là hệ quy chiếu gắn với hạt có vận tốc v = 0,6c (giả sử
là hạt 1).
Chọn chiều dương của trục x theo chiều của vận tốc hạt một.
Theo phép biến đối Galilê các vận tốc ta có:
u x'  u x  v  0,7c  0,6c  1,3c

Như vậy vận tốc cổ điển của êlectrôn một so với êlectrôn hai là 1,3c.
Dấu (-) chỉ chiều của vận tốc tương đối ngược chiều dương đã chọn.
Bài 2: Cho một đồng hồ B ở cách quan sát viên một khoảng L. Hãy
chỉ rõ phƣơng pháp chỉnh cho đồng bộ đồng hồ đó với đồng hồ ở A của
quan sát viên?
Bài làm
Để cho hai đồng hồ ở A và B hoạt động đồng bộ với nhau thì ta có thể
chỉnh như sau:
Cho đồng hồ B dừng vào lúc t B 


8
c 3.10

Như vậy đèn phát ra chớp sáng lúc 13h kém 1.104  s  .
Bài 4: Một thanh nhỏ chuyển động từ trái sang phải. Khi đầu trái
của thanh đi qua trƣớc một máy ảnh, một bức ảnh của thanh đƣợc chụp
đồng thời với ảnh của một thƣớc mét mẫu đứng yên. Sau khi rửa ảnh
ngƣời ta thấy đầu trái của thanh trùng vạch 0 của thƣớc mẫu còn đầu
phải trùng vạch 0,9m. Biết rằng thanh chuyển động với vận tốc v = 0,8c
đối với máy ảnh, tính độ dài thực của thanh?
Bài làm
Để tín hiệu sáng phát từ đầu phải của thanh đến được máy ảnh nó cần
phải rời khỏi vạch 0,9m trước đó một khoảng thời gian t .
t 

s
0,9

 3.109  s 
8
c 3.10

Mặt khác thanh chuyển động với vận tốc v = 0,8c đối với máy ảnh nên
trong khoảng thời gian t đầu trái của thanh đã dịch chuyển được một đoạn

s .
s  v.t  0,8.3.108.3.109  0,72  m 

Trong điều kiện đó độ dài thực của thanh là:
L  0,9  0, 72  1, 62  m 

tọa độ trong hệ quy chiếu gắn với tàu hỏa là:
x '  x  v.t  1  60.

1
 0,67(km) .
180

Vậy tọa độ của chớp sáng trong hệ quy chiếu gắn với nhà ga và với tàu hỏa
lần lượt là (1;1/180);(0,67;1/180).
Bài 6: Một quan sát viên thứ hai là O’ chuyển động dọc theo trục x
với vận tốc là 2m/s trong hệ quy chiếu gắn với Trái đất, quan sát va chạm
sau: Một khối lƣợng m1  3kg chuyển động với vận tốc u1  4 m/s dọc
trục x va chạm với vật có khối lƣợng m2  1kg với vận tốc u2  3 m/s dọc
trục x, sau va chạm m2 có u 2*  3 m/s. Tính động lƣợng của hệ trƣớc và
sau va chạm quan sát bởi O’?
Bài làm
Do chất điểm chịu tác dụng của nội lực, còn ngoại lực cân bằng nên coi
là hệ cô lập.
Động lượng của hệ trước va chạm bằng động lượng của hệ sau va chạm

m1.u1  m2 .u2  m1.u1*  m2 .u2*
3.4  1. 3  3.u1*  1.3

SVTH: Nguyễn Thị Bính

8

Lớp K32E - Khoa Vật lý



s

Động lượng trước va chạm là:

pt  m1.u1'  m2 .u2'  3.2  1. 5  1kg m

s

Động lượng sau va chạm là:

ps  m1.u1*'  m2 .u2*'  3.0  1.1  1kg m

s

Như vậy đối với người quan sát O’ động lượng của hệ được bảo toàn. Nhưng
giá trị động lượng khác với quan sát O.
Bài 7: Một hạt Mêzôn  chuyển động với vận tốc xấp xỉ bằng vận
tốc ánh sáng v = 0,99999999c trong khoảng thời gian  0  2,2.108 s nó di
chuyển đƣợc khoảng 6,5m và sau đó bị phân rã không còn tồn tại dƣới
dạng Mêzôn  nữa. Nhƣng ngƣời ta quan sát thấy hạt Mêzôn  ở ngang
mặt biển và dƣới hầm sâu, tức là cách nơi phát sinh Mêzôn  là 40 –
50km. Tính quãng đƣờng Mêzôn  đi đƣợc?
Bài làm
Theo quan điểm của thuyết cổ điển ta có quãng đường Mêzôn  di
chuyển được là:
d  v. 0  0,99999999.3.108.2,2.108  6,6  m 

SVTH: Nguyễn Thị Bính

9


2

c2

 7000 0  1,556.104  s 

c2

Trong khoảng thời gian đó Mêzôn  đi được quãng đường là:
l0  v.  0,99999999.3.108.1,556.104  46  km 

Đối với hệ gắn với Mêzôn  thì khoảng cách Mêzôn  tới mặt đất là:

v2
0,999999992.c 2
l  l0 . 1  2  46. 1 
 0,0065(km)  6,5(m)
c
c2
Như vậy theo quan điểm của thuyết tương đối ta có thể giải thích được việc
quan sát viên thấy Mêzôn  xuất hiện ở trên mặt biển và cả dưới hầm sâu.
Bài 8: Tại một thời điểm t = t’ = 0 một hành khách ngồi trên tàu
hỏa đang lăn bánh với vận tốc không đổi là 30m/s đi ngang qua trƣớc
mặt một ngƣời đứng yên trên sân ga. 20s sau quan sát viên đứng yên
nhận thấy rằng một con chim bay cùng phƣơng và cùng chiều với tàu hỏa
đã ở cách nhà ga 800m. Xác định các tọa độ của con chim đối với hành
khách trên tàu?

SVTH: Nguyễn Thị Bính

Là không bất biến đối với phép biến đổi Galilê?
Bài làm
Để phương trình trên là bất biến thì dạng sẽ không thay đổi khi phương
trình được biểu diễn qua các biến số mới x’, y’, z’, t’.
Áp dụng các kết quả của phép biến đổi Galilê:

x '
x '
t ' y ' z '
 1;
 v; 

1
x
t
t y z
x ' x ' y ' z '



 ...  0
y z x x
Và quy tắc đạo hàm các hàm số kép, ta có:

  x'  y '  z '  t ' 






 '
 v '  '
'
t
t x t t
x t
2
 2  2
 2
2  
 ' 2  2v
v
t 2
t
x' t '
x ' 2

 2  2  2  2
Thay các biểu thức: 2 ; 2 ; 2 ; 2 vào phương trình truyền sóng ta
x y z t
được:
2
 2  2  2 1  2 1 
 2
2  



  2v
v


y'

K

K'

0

0'

v
M

z
z'
z

X

x
x'
M

z'

Xét một điểm M trong không gian, tọa độ của nó trong hai hệ quy chiếu là
(x,y,z,t) và (x’,y’,z’,t’)
Công thức biến đổi Lorentz giữa các tọa độ như sau:
v


x  v.t
'

1

'

2

; y  y'; z  z';t 

v '
.x
c2
v2
1 2
c

t' 

v
c2

2.2. Sự rút ngắn chiều dài trong hệ chuyển động
Khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của một vật thể tại một điểm
nào đó trong hệ quy chiếu là độ dài của vật thể trong hệ quy chiếu đó.
Việc xác định điểm đầu và điểm cuối phải được tiến hành đồng thời thì
việc đo lường mới có ý nghĩa. Tuy nhiên khái niệm đồng thời chỉ là tương đối
và phụ thuộc vào hệ quy chiếu.


l
v2
1 2
c

Với l  x2  x1 là độ dài của thanh trong hệ K tại thời điểm t0 , v là vận tốc của
thước đối với người quan sát.
Vậy:

v2
l  l0 . 1  2
c

SVTH: Nguyễn Thị Bính

14

Lớp K32E - Khoa Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 l  l0 . Vậy độ dài của thanh chuyển động dọc theo phương chuyển động bị
co lại 1 

v2
lần, còn kích thước ngang của vật vuông góc với phương

c

t A' 

Vậy khoảng cách giữa hai sự kiện trong hệ K là:
t  t B  t A 

Vậy:

t B'  t A'
v2
1 2
c



t '
v2
1 2
c

v2
t  t. 1  2  t '  t
c
'

Vậy đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn so với đồng hồ đứng yên. Đây
chính là sự chậm lại của thời gian trong hệ chuyển động.

SVTH: Nguyễn Thị Bính

u ' với các thành phần:

dx ' '
dy ' ' dz '
u  ' ; u y  ' ; uz  '
dt
dt
dt
'
x

(2)

Theo phép biến đổi Lorentz ta có công thức cộng vận tốc Anhxtanh là:
v2
v2
'
u
.
1

z
u'  v
c2 ;u 
c2
ux  x
;uy 
z
v '
v '

1 2
c
c

SVTH: Nguyễn Thị Bính

16

Lớp K32E - Khoa Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

v
v
x1'  i. .x4'
x4'  i. .x1'
c ; x  x' ; x  x' ; x 
c
Hay: x1 
2
2
3
3
4
2
v
v2

y  y' ;
z  z '.
Theo giả thiết thì tại thời điểm t  t0' trong hệ S’ thì đồng hồ có tọa độ

x0' , y0' , z0' . Trong hệ S thì đồng hồ có tọa độ x0 , y0 , z0 ( tại thời điểm t  t0 ).
Thay vào công thức của x ta có:

x0 

SVTH: Nguyễn Thị Bính

x0'  v.t0'
2

v
1 2
c

17

;

(2)

Lớp K32E - Khoa Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1

v2
c2

; y  y0' ; z  z0'

Vậy công thức biến đổi tọa độ đối với hai hệ S và S’ là:
x  x0 

v. t '  t0' 
1

2

v
c2

; y  y0' ; z  z0' .

Bài 2: Hai thanh có cùng chiều dài riêng bằng l0 , chuyển động
trong hệ K với vận tốc +v; -v theo chiều dài của chúng. Tính chiều dài
của mỗi thanh đo trong hệ gắn với thanh kia?
Bài làm
Ta gắn hệ K’ với thanh thứ nhất, hệ K” với thanh thứ hai.
Áp dụng công thức cộng vận tốc song song, ta có vận tốc của thanh một đối
với thanh thứ hai là:

u


c .1  2 
c2

 c 







Vậy chiều dài của thanh một đo trong hệ gắn với thanh hai là:

v2
 1  c2
l  l0 .
2
 1  v
c2








Bài 3: Một chùm sao cách Trái đất 4 năm ánh sáng. Một con tàu vũ
trụ đi từ Trái đất tới chòm sao đó rồi quay trở về với vận tốc giả thiết là
không đổi là v  c. 0,9999 . Trái đất phải đợi bao nhiêu lâu cho tới khi


Lớp K32E - Khoa Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Như vậy khi con tàu vũ trụ đi từ Trái đất đến chòm sao thì phải 8 năm sau
người ở trên Trái đất mới gặp lại nó. Nhưng đối với con tàu vũ trụ thì thời
gian của chuyến du hành chỉ trong vòng 1 tháng có nghĩa con tàu phải dự trữ
lương thực trong khoảng 1 tháng.
Bài 4: Trong hệ K’ chuyển động với vận tốc bằng c, ngƣời ta phóng
ra hai tia sáng tạo thành một góc  '  1800 , một tia theo chiều dƣơng và
một tia theo chiều âm của trục O’y’. Tính vận tốc ánh sáng và góc  của
hai tia sáng trong hệ K?
Bài làm
Theo thuyết tương đối Anhxtanh, vận tốc ánh sáng là như nhau trong
mọi hệ quy chiếu  vận tốc tia sáng trong hệ K bằng c.
Theo giả thiết: Trong hệ K’ các thành phần vectơ vận tốc hai tia sáng là.

u1' x  0; u1' y  v; u1' z  0
u2' x  0; u2' y  v; u2' z  0
Gọi các thành phần của vectơ vận tốc của hai tia sáng trong hệ K là:

u1' x  v
0v
u1x 

v



u1  u1x .i  u1 y . j  u1z .k  v .i
'
1z

Vậy:

SVTH: Nguyễn Thị Bính

20

(1)

Lớp K32E - Khoa Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tương tự như trên ta cũng có thành phần vectơ vận tốc trên các trục của tia
sáng thứ hai:

u2 x  v; u2 y  0; u2 z  0
 



u2  u2 x .i  u2 y . j  u2 z .k  v .i


z '  z  1km
 0,8.105 
4
v
5.10

 3.108 
t  2 .x
'

  12,8.104 s
c
t 

2
2
v
1   0,8 
1 2
c

Vậy tọa độ không thời gian của chớp sáng đối với người quan sát O’ là:

 x ; y ; z ;t   367;10;1;12,8.10  .
'

'

'

x'  u x' .t '  .cos600.t '
2

(1)

c
y '  u 'y .t '  .sin 600.t '
2

(2)

Theo phép biến đổi Lorentz ta có:
v
.x
2
x  v.t '
'
c
x 
;t 
v2
v2
1 2
1 2
c
c
t

Thay vào phương trình (1) và (2) ta có:



ux  v
v
1  2 .u x
c

22

Lớp K32E - Khoa Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 0,6c 

0,8c  v
 v  0,946c
v
1  2 . 0,8c 
c

Vậy vận tốc của A đối với B là 0,946c. Dấu (-) thể hiện tên lửa B chuyển
động ngược chiều tên lửa A .
Bài 8: Một hạt nhân phóng xạ chuyển động với vận tốc 0,5c trong
phòng thí nghiệm. Hạt nhân bị phân rã và phát ra một êlectrôn theo
hƣớng vuông góc với phƣơng chuyển động của hạt nhân trong hệ quy
chiếu phòng thí nghiệm, êlectrôn này có vận tốc là 0,9c đối với hạt nhân.
Tìm vận tốc của êlectrôn trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm?

y

Vận tốc của êlectrôn trong phòng thí nghiệm là:

u  ux2  u y2 

 0,5c    0,779c 
2

2

 0,926c

Vậy vận tốc của êlectrôn trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm là: 0,926c.
Bài 9: Một quan sát viên O phát hiện hai biến cố riêng rẽ xảy ra
cách nhau 600m và 8.107 s . Tìm vận tốc chuyển động của một quan sát
viên O’ đối với O để O’ thấy hai biến cố xảy ra đồng thời?

SVTH: Nguyễn Thị Bính

23

Lớp K32E - Khoa Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Bài làm


c

t1 

Trừ hai phép biến đổi này ta dược:
t2'  t1' 

v
. x2  x1 
c2
v2
1 2
c

 t2  t1  

Để hai biến cố này xảy ra đồng thời thì:

t2'  t1'  0






v
. x2  x1 
c2
0
2


CHƢƠNG 3. ĐỘNG LỰC HỌC TƢƠNG ĐỐI TÍNH
A. Cơ sở lý thuyết
3.1. Khối lƣợng tƣơng đối tính và xung lƣợng tƣơng đối tính
3.1.1. Khối lƣợng tƣơng đối tính
Khối lượng tương đối tính hay khối lượng đo tại hệ trong đó hạt chuyển

động với vận tốc u là một vô hướng bốn chiều, kí hiệu là m và được định
nghĩa như sau:

m

m0
u2
1 2
c

Với m0 là khối lượng tĩnh tức khối lượng đo tại hệ quy chiếu trong đó
hạt đứng yên. Ở đây m không phải là hằng số mà là hàm của vận tốc.
3.1.2. Xung lƣợng tƣơng đối tính


Trong cơ học cổ điển xung lượng được định nghĩa bởi p  mv .

Trong cơ học tương đối tính người ta định nghĩa vectơ xung lượng bốn chiều:

p  m0 .u
Các thành phần của p :

p1  m0 .u1 