Chủ đề 7: PHÉP CHIẾU SONG SONG
HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN
I.KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CƠ BẢN:
A.Kiến thức cơ bản:
1/Phép chiếu song song:
Trong không gian, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d cắt (P). Với mỗi điểm
M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với d sẽ cắt (P)
tại điểm M’. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M’ của mặt
phẳng (P) như trên gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương d.
+ Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng d gọi là phương chiếu,
điểm M’ gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M’ qua phép chiếu
song song.
+ Cho hình (H). Tập hợp (H’) gồm hình chiếu song song của tất cả các điểm
thuộc (H) gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của hình (H) qua phép chiếu nói
trên.
2/Tính chất:
• Chú ý: Trong các tính chất dưới đây của phép chiếu song song theo phuơng d,
ta chỉ xét hình chiếu song song của các đoạn thẳng hoặc đường thẳng không
song song và không trùng với d.
a. Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó.
b. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c. Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng
song song hoặc trùng nhau.
d. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng nằm
trên 2 đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên 1 đường thẳng.
3/Hình biểu diễn của 1 hình không gian:
a. Định nghĩa: Hình biểu diến của 1 hình (H) trong không gian là hình chiếu
song song của hình (H) trên 1 mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu
đó.

⊂
(Q),
(P) //(Q).
+ Gọi (R)là mặt phẳng cắt (P),
(Q) theo 2 giao tuyến là a’ và b’.
Vì (P) //(Q) nên a’ // b’.
+ Gọi d là 1 đường thẳng nằm
trong (P) nhưng không song song
với a, b và cắt ®.
Khi đó qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (R) theo phương d, hai đường
thẳng chéo nhau a và b có hình chiếu là a’ và b’ song song với nhau.
Ví dụ 2: Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu và mặt phẳng chiếu
thích hợp để hình chiếu song song của 1 tứ diện cho trước là:
a. một hình bình hành
b. Một tam giác
Giải:
a. + Giả sử A’B’C’D’ là hình
chiếu song song của 1 tứ diện
ABCD. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và CD.
+ Muốn cho A’B’C’D’ là
hình bình hành ta chỉ cần
chọn phương chiếu sao cho
hình chiếu của M, N
trùng nhau. Như vậy nếu
a’
b’
Q
b
P

(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
• Có thể giải thích như sau:
+ Hình (1): ta nhìn thấy 2 mặt của tứ diện (ABC) và (ACD), mặt còn lại bị che
khuất nên cạnh B’D’ vẽ nét đứt.
+ Hình (2) : ta nhìn thấy 3 mặt của tứ diện là (ABC), (ACD), (ABD).
+ Hình (3): ta chỉ nhìn thấy 1 mặt (BCD), 3 mặt còn lại bị (BCD) che khuất .
+ Hình (4): là 1 tam giác khi phương chiếu trùng với phương của cạnh AB.
+ Hình (5): ta nhìn thấy 1 mặt (BCD) và phương chiếu song song với mặt phẳng
(ABC)
+ Hình (6): ta nhìn thấy 2 mặt phẳng (ACD) và (ABD), phương chiếu song song với
mặt phẳng (ABC).
Ví dụ 4: Vẽ hình biểu diễn của 1 lục giác đều.
A’=B’
C’ D’ C’ D’
B’
A’
C’ D’
B’
A’
C’
D’
A’
B’
B’
C’ D’
A’
B’
D’
A’

thẳng hàng nên D, N, K cũng
thẳng hàng. Do đó: N = DK
∩
AC. Từ đó ta có cách dựng sau:
Cách dựng:
+ Dựng K là hình chiếu của F qua phép chiếu theo phương BE lên mặt phẳng
(ABCD) suy ra BEFK là hình bình hành.
+ Dựng N = DK
∩
AC
+ Trong mặt phẳng (DFK) kẻ MN // KF cắt DF tại M. Vậy M, N là các điểm cần
tìm.
b.
+ Xét tam giác DFK có MN // FK
NK
ND
MF
MD
=→
(1)
+ Ta có
NAD
∆

2
1
==→∆
CK
AD
NK

Ví dụ 6: Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng chéo nhau a
và b có hình chiếu là 2 đường thẳng a’ và b’. Mệnh đề nào sau đây đúng:
(A). a’ và b’ luôn cắt nhau
(B). a’ và b’ có thể trùng nhau
(C). a’ và b’ không thể song song
(D). a’ và b’ có thể cắt nhau hoặc song song với nhau.
Đáp án (D)
HD: + Gọi d là phương chiếu, a
⊂
(P), b
⊂
(Q) và d //(P), d //(Q).
+ Nếu (P) cắt (Q)
→
a’ và b’ cắt nhau
+ Nếu (P) // (Q)
→
a’// b’
Ví dụ 7: Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D có hình chiếu song song lên mặt
phẳng (P) lần lượt là 4 điểm A’, B’, C’, D’.Những khẳng định nào sau đây không
xảy ra:
(A). A’, B’, C’, D’ là 4 đỉnh của 1 hình bình hành
(B). D’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’.
(C). D’ là trung điểm cạnh A’B’.
(D). Hai điểm B’, C’ nằm giữa 2 điểm A’ và D’.
Đáp án: (D)
HD: 4 điểm a’, B’, C’, D’ không thể thẳng hàng vì A, B, C, D không đồng phẳng.
Ví dụ 8: Mệnh đề nào sau đây đúng:
(A). Hình chiếu song song của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng song song.
(B). Hình chiếu song song của 1 hình bình hành là 1 hình bình hành.