Nội dung

Cơ sở
Cơ Học Lượng Tử
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
[email protected]

1.
2.
3.
4.
5.

Lưỡng tính sóng-hạt của vật chất
Phương trình Schrödinger
Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều
Hệ thức bất định Heisenberg
Kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm
(STM)

1a. Giả thuyết De Broglie

1. Lưỡng tính sóng hạt của vật chất
a.
b.
c.
d.
e.
f.


• Voi Dumbo khối lượng
1000 kg, bay với vận tốc
10 m/s sẽ có bước sóng
De Broglie là bao nhiêu?

h 6,626 × 10−34 J ⋅ s
λ = = −9
= 3,313 × 10−23 m
p 10 kg × 0,020m s

h 6,626 × 10−34 J ⋅ s
λ= =
= 6,626 × 10−38 m
3
p 10 kg × 10m s

• Bước sóng này cũng quá nhỏ để có thể quan sát
được.
• Các hạt vĩ mô không thể hiện rõ tính sóng.

• Bước sóng này quá nhỏ
để có thể quan sát được.

1b. Ví dụ 3

1c. Kiểm chứng thực nghiệm 1

• Một electron trong mạch điện hay trong
nguyên tử có động năng trung bình vào khoảng
1 eV, có bước sóng De Broglie bằng:

1c. Kiểm chứng thực nghiệm 3

• G. P. Thomson, 1927: electron có thể nhiễu xạ
trên màng mỏng kim loại, tạo ra vân tròn
tương tự như tia X nhiễu xạ trên bột đa tinh
thể.

• Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron trên hai
khe.

Electron

Tia X

1c. Kiểm chứng thực nghiệm 4

1d. Ứng dụng của sóng De Broglie
• Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thay
cho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến 2
triệu lần.
• Nhiễu xạ electron, nhiễu xạ neutron được dùng
để tìm hiểu cấu trúc vật chất, tương tự như
nhiễu xạ tia X.

• Sóng dừng của electron trên bề mặt đồng, ảnh
chụp bằng Scanning Tunneling Microscope (IBM
Almaden Research Center).


1e. Bản chất của sóng De Broglie − 1


1e. Bản chất của sóng De Broglie − 2
• Max Born, 1928: sóng vật chất là sóng xác suất.
• Bình phương biên độ hàm sóng ở một vị trí thì
tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại đó.
• Gọi Ψ(x,y,z) là hàm sóng vật chất tại vị trí (x,y,z)
của một hạt, dV là một thể tích nhỏ bao quanh
vị trí này, xác suất tìm thấy hạt trong thể tích
dV là:

dP = Ψ ( x , y , z ) dV
2

• |Ψ(x,y,z)|2 là mật độ xác suất của hạt tại (x,y,z).

1f. Bài tập 1
• Hình bên cho thấy sóng
dừng trong một lò vi ba,
màu xám là nơi sóng điện
từ bằng không, còn màu
trắng và đen là nơi sóng
cực đại.
• Hãy so sánh mật độ photon
ở các vị trí A, B và C trên củ
cà-rốt.


1f. Bài tập 2

1f. Bài tập 1

(c) 3L/4
(d) L

1f. Bài tập 3

1f. Trả lời bài tập 2
Hàm
sóng

Mật độ
xác suất
L/2

Bước sóng De Broglie của một electron được
tăng tốc không vận tốc đầu bởi hiệu điện thế U
bằng:
(a)

h
2meeU

(b)

h
meeU

(c)

2h
2meeU

h
2meeU

• Câu trả lời đúng là (a).
Erwin Schrödinger
1887-1961

2a. Phương trình Schrödinger tổng quát

2b. Phương trình Schrödinger dừng

• Hàm sóng Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m,
chuyển động trong trường có thế năng
U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrödinger tổng
quát:

• Khi thế năng U không phụ thuộc vào thời gian
thì nghiệm của phương trình Schrödinger có
thể viết dưới dạng:


∂Ψ  ℏ2
iℏ
=−
∆ +U Ψ
∂t  2m


i = −1


ℏ2


2c. Hàm sóng của hạt tự do − 1
• Phương trình Schrödinger dừng của một hạt tự
do chuyển động theo dọc trục x:

E
−i t
ℏ

Ψ = Ae

• với E bây giờ là động năng của hạt. Phương
trình này có nghiệm tổng quát là:

k=

2mE p
=
ℏ2
ℏ

3. Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều

a.
b.
c.
d.


−

i
( Et − px )
ℏ

E
ℏ

k=

p
ℏ

• là một sóng phẳng truyền theo trục x > 0, có tần
số góc ω, vectơ sóng k, và bước sóng phù hợp
với giả thuyết De Broglie:

λ=

2π h
=
k p

3a. Giếng thế vô hạn một chiều
• Hạt chuyển động trong
giếng thế vô hạn một
chiều có thế năng xác
định bởi :


• Suy ra động lượng hạt:

p=

h

λ

=

h
h
=n
2a n
2a

3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 2
• Do đó năng lượng của hạt là:

p2
h2
2
En =
=n
2m
8ma2
• Năng lượng hạt đã bị lượng tử hóa.
• Số n được gọi là số lượng tử năng lượng.
• Mức năng lượng thấp nhất, ứng với n = 1, là
khác không, trái với quan niệm cổ điển.

n=1

3c. Hàm sóng − 1

a = λ/2
x

Φ ( x ) = A sin ( kx ) + B cos ( kx )
k = 2mE ℏ = p ℏ


3c. Hàm sóng − 2
• Hàm sóng ở ngoài giếng là bằng không, vì hạt bị
giam trong giếng thế vô hạn.
• Ngoài ra, để hàm sóng biến thiên liên tục thì ở
hai vách giếng nó cũng phải bằng không:

Φ ( 0) = 0,

• Hàm sóng dừng phụ thuộc vào n:

 π 
Φ n ( x ) = A sin  n x 
 a 
• Vì k bị lượng tử hóa nên năng lượng cũng vậy:

Φ (a) = 0

Φ ( 0 ) = A sin ( 0 ) + B cos ( 0 ) = 0 ⇒ B = 0
Φ ( a ) = A sin ( ka ) = 0 ⇒ sin ( ka ) = 0

2
 π 
sin  n x 
a
 a 

3c. Hàm sóng − 5

• Hàm sóng (phụ thuộc thời gian) sẽ là:

Ψ n ( x ,t ) =

2
 E   π 
exp  −i n t  sin  n x 
a
 ℏ   a 

• Mật độ xác suất của hạt (độc lập với thời gian):
2
2
 π 
Ψ n ( x ,t ) = Ψ n ⋅ Ψ n* = sin2  n x 
a
 a 

n=3

n=2


E = 2π2ħ2/ma2
n = 2, câu trả lời đúng là (a).
n=3
Hàm sóng dừng

Mật độ xác suất

n=2

n=1

3d. Bài tập 2
Xét một vi hạt trong giếng thế cao vô hạn, bề
rộng a. Ở vị trí nào sau đây thì xác suất tìm thấy
hạt ở trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau (trừ
tại hai vách giếng thế):
(a) a/3
(b) 2a/3
(c) (a) và (b) đúng.
(d) (a) và (b) sai.

3d. Trả lời bài tập 2
• Ở vị trí cần tìm mật độ
xác suất của hai trạng
thái là như nhau:
• w1 = w2
• sin2(πx/a) =
sin2(2πx/a)
• cos(πx/a) = ±1/2
• πx/a = π/3, 2π/3

λ
8ma2
c

(

2
2

2
1

)

• Suy ra bước sóng của photon:

hc
1
8cma2
1
λ= 2
⋅ 2 2=
⋅ 2 2
2
h 8ma n2 − n1
h
n2 − n1

3d. Trả lời bài tập 3 (tt)


a. Hệ thức bất định của
vị trí và động lượng
b. Ví dụ
c. Hệ thức bất định của
thời gian và năng
lượng
d. Hiệu ứng đường
ngầm
Werner Heisenberg
1901-1976


4a. Bất định của vị trí và động lượng

4b. Ví dụ 1

• Giữa độ bất định (độ chính xác) của tọa độ và
động lượng có hệ thức:

• Một electron có vận tốc bằng 2,05 × 106 m/s,
được đo với độ chính xác là 1,5 %. Tìm Δx.
• Động lượng của electron:

∆x ⋅ ∆px >ɶ h
∆y ⋅ ∆p y >ɶ h

p = mv = (9,11 ⋅ 10−31 kg) ⋅(2,05 ⋅ 106 m s )
= 1,87 ⋅ 10−24 kg.m s

∆z ⋅ ∆pz >ɶ h

= 6,626 ⋅ 10−24 kg.m s
−9
0,1 ⋅ 10 m
∆x
• Electron trong nguyên tử có động năng vào
khoảng 1 eV, do đó có động lượng :

(

)(

px = 2mK = 2 ⋅ 9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 J
= 5,4 × 10−25 kg. m s
• Δp ~ 10 p !

)

∆x >ɶ 3 × 10−32 m
• Độ bất định này rất nhỏ: với các vật vĩ mô vẫn
xác định được chính xác đồng thời vị trí và
động lượng.


4b. Ví dụ 4

4c. Bất định của thời gian và năng lượng

• Bó sóng là tổ hợp tuyến tính của nhiều sóng
hình sin có động lượng rất gần nhau.
• Phân bố của động lượng càng rộng (Δp lớn),


• Hạt có độ bất định năng lượng lớn hơn độ sâu
giếng thế, do đó có thể thoát ra khỏi giếng thế!

ΔE
U
E


4d. Hiệu ứng đường ngầm – 3
• Hiệu ứng cũng xảy ra đối
với một rào thế (hay
tường thế). Hạt có thể
chui qua rào dù có năng
lượng nhỏ hơn chiều cao
của rào thế.
• Xác suất vượt rào (hệ số
truyền qua) là:

5. Scanning Tunneling Microscope
U0

E

0

a

 2a
