PHÂN TÍCH DẦM TỰA ĐƠN CHỊU VẬT THỂ CHUYỂN ĐỘNG XÉT ĐẾN BIẾN
DẠNG ĐÀN HỒI CỦA GỐI TỰA
DYNAMIC ANALYSIS OF A SIMPLE BEAM SUBJECTED TO A MOVING LOAD CONSIDERING THE
ELASTIC SUPPORT
Đỗ Kiến Quốc, Phạm Đàm Sơn Tùng
TÓM TẮT
Bài báo phân tích dầm tựa đơn chịu vật thể chuyển động mô hình một khối lượng xét đến biến dạng đàn hồi của gối tựa.
Phương trình dao động của hệ thống bao gồm dầm và vật thể
chuyển động được thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn
và được giải bằng phương pháp tích phân trực tiếp dựa trên
thuật toán của Newmark. Ma trận khối lượng, ma trận độ cứng
của toàn hệ thống và vectơ lực nút tương đương được tính toán
ở mỗi bước thời gian. Ảnh hưởng của vận tốc chuyển động, độ
võng của dầm, độ cứng của gối tựa… được khảo sát chi tiết.
Từ khóa: Phân tích động, Tải trọng di động, Gối tựa đàn
hồi.
ABSTRACT
This article analyses a simple beam subjected to an
oscillator moving along the beam considering of elastic
support. Equations of motion of system composed of the beam
structure itself and the moving oscillator are formulated by
using FEM and solved by means of the direct step-by-stepintegration method based on Newmark algorithm. The overall
mass, stiffness and equivalent nodal force vector are calculated
at each time interval. The influences of the moving velocity,
stiffness of spring in ocsillator, deflection of beam, elastic
support… are investigated.

giá ảnh hưởng của một thông số kết cấu và vật thể di động đến
phản ứng của toàn hệ là vấn đề có ý nghĩa thực tiễn trong khoa
học và đặc biệt là trong ngành giao thông vận tải.
2. Cơ sở lý thuyết

2.2 Mô hình phần tử hữu hạn
Dầm được chia thành n phần tử dầm có chiều dài l e và nối
với nhau tại các nút như trên hình 2. Vị trí của vật thể so với
đầu bên trái phần tử dầm thứ “s” là x(t)

1. Giới thiệu
Việc nghiên cứu dao động của kết cấu chịu tải trọng di
động xuất phát từ yêu cầu thực tiễn, thường gặp trong các lĩnh
vực như: xây dựng, giao thông vận tải, cơ khí… Thực tế chỉ ra
rằng, ảnh hưởng động do tính chất di chuyển của tải trọng đến
phản ứng của kết cấu là đáng kể, phát sinh những hiện tượng
không mong muốn như làm tăng các giá trị chuyển vị - nội lực,
nguy hiểm nhất là xuất hiện hiện tượng cộng hưởng. Bên cạnh
đó, hệ kết cấu còn được đặt trên hệ nền, móng cọc và làm việc
đồng thời với kết cấu khi chịu tải trọng di động. Hệ thống gối
tựa này đã được đề cập trong những nghiên cứu về phản ứng
động của dầm với những điều kiện biên khác nhau (giản đơn,
ngàm) [1] [2] [3]. Tuy nhiên, những nghiên cứu về ảnh hưởng
của sự đàn hồi gối tựa đến phản ứng động của dầm vẫn còn rất
ít.
Vì vậy, việc nghiên cứu phản ứng động của dầm dưới tác
động vật thể di động có xét đến biến dạng của gối tựa để đánh

Hình 2: Mô hình phần tử hữu hạn
Phương trình dao động của dầm có dạng như sau

 + Ku = N T P
Mu

(1)

với N = 1- 3ξ + 2ξ , N = le (ξ - 2ξ + ξ ) ,
2

3

s
2

2

N s3 = 3ξ 2 - 2ξ 3 , N s4 = le (-ξ 2 + ξ 3 ) và

3

x
ξ = . Khi đó,
le

phương trình (1) và (2) được viết gọn lại là
* + K *u* = F* (t)
M *u

lò xo với 03 loại độ cứng dùng để khảo sát là

K n 2 = 300

EI
EI
và K n 3 = 500 3 . Cùng với sơ đồ dầm tựa
3





m 
0
 0 
-K 0 N K 0 

 
u
u 
 =   , u* =  
u
y

y 
*

Có thể thấy rằng các ma trận M*, K* ở (3) là các ma trận theo
thời gian vì chúng bao gồm thành phần không thay đổi của bản
thân kết cấu và thành phần phụ thuộc theo thời gian do vật thể
chuyển động trên dầm tạo ra. Sự thay đổi đặc tính của hệ chịu
tải trọng di động này thể hiện tính chất phi tuyến của kết cấu
[5].
Phương trình (3) là phương trình chủ đạo mô tả dao động
của hệ thống gồm kết cấu dầm và vật thể chuyển động trên nó
và được giải bằng phương pháp tích phân trực tiếp dựa trên
thuật toán Newmark. Thuật toán giải như sau:



0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 4: Hệ số động chuyển vị tại giữa nhịp – sơ đồ gối cứng

2.5
V=20 m/s
V=40 m/s
V=60 m/s
V=80 m/s



0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 5: Hệ số động chuyển vị tại giữa nhịp – sơ đồ gối đàn hồi
với K n =K n1

Hình 3: Thuật toán lập trình
Một chương trình máy tính được lập trình bằng ngôn ngữ
Matlab được viết theo lưu đồ được dùng để khảo sát ví dụ số.
3. Kết quả số

Gối cứng (a)
Gối đàn hồi
(K n =K n1 ) (b)
(b/a)

Bảng 1: DAFcv lớn nhất
V=20
V=40


Trang 2


2.5
Kn=100 EI/L3
3

Kn=300 EI/L

He so dong chuyen vi tai giua nhip

2

Gối cứng (a)
Gối đàn hồi
(K n =K n1 ) (b)
(b)/(a)

Kn=500 EI/L3
goi cung

1.5

1

0.5

0


m/s
m/s
1.1382
1.3227
1.3522

V=80
m/s
1.3260

1.4183

1.6407

1.6114

1.4817

1.246

1.24

1.192

1.117

Hình 9 và Bảng 4 trình bày ảnh hưởng của hệ số K n đối với
DAFmomen khi vật thể chuyển động trên dầm với V=60(m/s).
Khi K n càng lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến về sơ đồ gối cứng,
DAFmomen giảm dần. Đồ thị DAFmomen của sơ đồ gối cứng


-0.5

0

0.1

V=20 m/s
V=40 m/s
V=60 m/s
V=80 m/s

1.2

1

0.4

0.2

0

0.2

K n1
1.6114

0.3

0.4

K n3
1.5184

200
V=20 m/s
V=40 m/s
V=60 m/s
V=80 m/s

150

Luc cat tai giua nhip (KN)

100

2

He so dong momen tai giua nhip

0.5
x/L

Bảng 4: DAFmomen lớn nhất khi V=60(m/s)

Hình 7:Hệ số động momen tại giữa nhịp – sơ đồ gối cứng

V=20 m/s
V=40 m/s
V=60 m/s
V=80 m/s


1.4

He so dong momen tai giua nhip

1

0

Hình 7 và Hình 8 thể hiện ảnh hưởng của vận tốc đối với hệ
số động momen tại giữa nhịp (DAFmomen) ở sơ đồ gối cứng
và sơ đồ gối đàn hồi (K n =K n1 ) khi vật thể chuyển động trên
dầm. Kết quả cho thấy DAFmomen ở sơ đồ gối đàn hồi lớn
hơn khoảng 1.2 lần so với DAFcv ở sơ đồ gối cứng. Kết quả
được trình bày ở Bảng 3.

-0.2

Kn=500 EI/L3
goi cung

50

0

-50

-100

1

Hình 10:Lực cắt tại giữa nhịp – sơ đồ gối cứng
0

-0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 8:Hệ số động momen tại giữa nhịp – sơ đồ gối đàn hồi
K n =K n1


-200
-300
-400
-500

0.3

0.2

0.1

0

0.4

0.5
x/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 11:Lực cắt tại giữa nhịp – sơ đồ gối đàn hồi K n =K n1

2.555

500
Kn=100 EI/L3

400

Kn=500 EI/L3
goi cung

Luc cat tai giua nhip (KN)

200
100
0
-100
-200
-300

0.1

0

0.2

0.3

0.4

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1
Ko (N/m)

1.2

1.4

1.6

1.8

2
7

x 10

Hình 14: Chuyển vị lớn nhất của dầm theo K 0 và K n
Hình 14 cho thấy chuyển vị lớn nhất của dầm (W max ) theo
hệ số (K n ) và độ cứng của nhíp xe (K 0 ). Khi K n càng lớn, sơ đồ
gối đàn hồi tiến về sơ đồ gối cứng, (W max ) giảm dần. Với mỗi

Kn=300 EI/L3

9.5

7.5

Hình 12 và Bảng 6 trình bày ảnh hưởng của hệ số K n đối
với lực cắt ở giữa nhịp khi vật thể chuyển động trên dầm với
V=60(m/s). Khi K n càng lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến về sơ đồ
gối cứng, lực cắt này giảm dần. Lực cắt ở giữa nhịp của sơ đồ
gối đàn hồi biến thiên rất nhiều so với sơ đồ gối cứng. Tồn tại
một giá trị K ncr làm cho lực cắt này là lớn nhất.

x 10

goi cung
Kn=100 EI/L3

10

Kn=300 EI/L3
Kn=500 EI/L3

9

Chuyen vi max(m)

x 10

100

5

0

10

20

30

40

50
van toc (m/s)

60

70

80

90

100

Hình 13: Chuyển vị lớn nhất của dầm theo K n và V
Hình 13 cho thấy chuyển vị lớn nhất của dầm (W max ) theo
hệ số (K n ) và vận tốc chuyển động của vật thể. W max rất nhạy

Trang 4