i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƢƠNG THỊ KHÁNH PHƢƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƢỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


ii

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƢƠNG THỊ KHÁNH PHƢƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƢỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN


luận án này;
 Phó giáo sƣ Tiến sĩ Trần Vui, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn tôi về mặt nghiên
cứu khoa học, luôn động viên khích lệ để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong
suốt quá trình thực hiện luận án này;
 Các Thầy, Cô trong tổ Toán-Tin trƣờng ĐH Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh đã
nhiệt tình giảng dạy và chia sẻ những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi trong
suốt thời gian theo học Nghiên cứu sinh.
Tôi xin chân thành cám ơn:
 Ban giám hiệu trƣờng ĐH Y Dƣợc Huế, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ
bản và các đồng nghiệp trong bộ môn Toán-Tin trƣờng ĐH Y Dƣợc Huế,
Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học
trƣờng ĐH Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi trong suốt quá trình theo học Nghiên cứu sinh và bảo vệ luận án;
 Các giáo viên Toán và học sinh ở các trƣờng THPT Phong Điền, THPT
Quốc Học, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Nguyễn Trƣờng
Tộ, THPT Hai Bà Trƣng (Huế) và THPT Lê Lợi (Quảng Trị), THPT Lê Lợi
(Gia Lai) đã giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong quá trình tiến hành thực nghiệm cho
nghiên cứu này.
Cuối cùng, xin tỏ lòng biết ơn đến những ngƣời thân trong gia đình và những ngƣời
bạn đã luôn quan tâm, nâng đỡ và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt thời gian
qua.


v

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2015
Trƣơng Thị Khánh Phƣơng
MỤC LỤC
MỤC LỤC........................................................................................................................ 5
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................................. 4

2.2. Biểu diễn toán ..................................................................................................... 43
2.2.1. Phân loại biểu diễn toán .............................................................................. 44
2.2.2. Biểu diễn trực quan ..................................................................................... 44
2.2.2.1. Trực quan hóa ...................................................................................... 44
2.2.2.2. Biểu diễn trực quan mô tả quy luật dãy số .......................................... 46
2.2.2.3. Biểu diễn trực quan động .................................................................... 49
2.3. Khám phá quy luật dãy số .................................................................................. 50
2.3.1. Nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số ........................................................... 50
2.3.2. Các mức độ nhận thức trong khám phá quy luật dãy số ............................. 53
2.3.3. Các phƣơng án khám phá quy luật dãy số .................................................. 55
2.3.4. Suy luận trong khám phá quy luật dãy số ................................................... 58
2.3.5. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 1 ............................................................. 62
2.4. Khám phá bài toán hình học kết thúc mở ........................................................... 64
2.4.1. Bài toán kết thúc mở ................................................................................... 64
2.4.2. Bài toán hình học kết thúc mở .................................................................... 65
2.4.3. Khám phá toán theo tiếp cận “toán học thực nghiệm” ............................... 66
2.4.4. Các phƣơng thức kéo rê trong môi trƣờng hình học động .......................... 67
2.5. Các nghiên cứu trong nƣớc liên quan đến đề tài ................................................ 70
2.6. Tiểu kết chƣơng 2 ............................................................................................... 71
Chƣơng 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ...................................................................... 72
3.1. Thiết kế nghiên cứu ............................................................................................ 73
3.2. Đối tƣợng nghiên cứu ......................................................................................... 74
3.3. Công cụ nghiên cứu ............................................................................................ 76
3.4. Thu thập dữ liệu .................................................................................................. 88
3.5. Phân tích dữ liệu ................................................................................................. 89
3.6. Hạn chế ............................................................................................................... 93
3.7. Tiểu kết chƣơng 3 ............................................................................................... 94
Chƣơng 4. BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ
NGOẠI SUY ................................................................................................................. 95
4.1. Ảnh hƣởng của biểu diễn trực quan đến quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy

5.3.7. Các vấn đề thực tế ..................................................................................... 162
5.4. Tiểu kết chƣơng 5 ............................................................................................. 164
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN ..................................................................................... 164
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ................................................... 169
TÀI LIỆU TRÍCH DẪN VÀ THAM KHẢO .............................................................. 170
PHỤ LỤC 1A. TẬP CÂU HỎI SỐ 1 .......................................................................... 180
PHỤ LỤC 1B. TẬP CÂU HỎI SỐ 2 ........................................................................... 183


4

PHỤ LỤC 2A. THỰC NGHIỆM BÀI TOÁN HÌNH HỌC KTM SỐ 1 ..................... 187
PHỤ LỤC 2B. THỰC NGHIỆM BÀI TOÁN HÌNH HỌC KTM SỐ 2 ..................... 191

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

BDTQ

biểu diễn trực quan

GV

giáo viên

HS

học sinh


Suy luận ngoại suy

Inductive reasoning

Suy luận quy nạp

Deductive reasoning

Suy luận diễn dịch

Selective abduction

Ngoại suy chọn lựa

Creative abduction

Ngoại suy sáng tạo

Visual abduction

Ngoại suy trực quan

Manipulative abduction

Ngoại suy thao tác

Visual representation

Biểu diễn trực quan

Assessment (PISA)
Organization for Economic Cooperation and Development (OECD)

Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế


6

DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH
Hình 2.1. Mô hình suy luận ngoại suy của Meyer ......................................................... 38
Hình 2.2. Minh họa suy luận của HS ............................................................................. 42
Hình 2.3. Các giai đoạn phát triển có tính trình tự của biểu diễn .................................. 44
Hình 2.4. BDTQ tổng vô hạn ......................................................................................... 45
Hình 2.5. Quy tắc n  c ................................................................................................. 46
Hình 2.6. Quy tắc an ..................................................................................................... 47
Hình 2.7. Quy tắc an  c ............................................................................................... 47
Hình 2.8. Quy tắc

nn  c

........................................................................................... 47

Hình 2.9. Quy tắc an2  bn  c ..................................................................................... 48
Hình 2.10. Biểu diễn trực quan của dãy tam giác, dãy tứ giác, dãy ngũ giác ................ 49
Hình 2.11. Minh họa bài toán chia mặt phẳng bởi n đƣờng thẳng ................................ 58
Hình 2.12. Quá trình ngoại suy-quy nạp trong khám phá dãy số theo quy luật hàm số
bậc nhất .......................................................................................................................... 61
Hình 2.13. Quy trình khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy-quy nạp ...... 63
Hình 3.1. Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu a)............................ 85
Hình 3.2. Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu b) ........................... 86

Hình 4.26. Sơ đồ chôn kho báu .................................................................................... 125
Hình 4.27. Vị trí chôn kho báu G ................................................................................. 125
Hình 4.28a. C trùng A .................................................................................................. 126
Hình 4.28b. C trùng H .................................................................................................. 126
Hình 4.29. Minh họa Bài toán 1 ................................................................................... 127
Hình 4.30. Minh họa Bài toán 2 ................................................................................... 127
Hình 4.31. Kéo rê về các trƣờng hợp đặc biệt đối với tứ giác ABCD.......................... 128
Hình 4.32. Giả thuyết: A, I, C thẳng hàng.................................................................... 129
Hình 4.33. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhóm 2) .................... 133
Hình 4.34. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhóm 1) .................... 134
Hình 5.1a: A, B, T thẳng hàng ...................................................................................... 143
Hình 5.1b: A, B, T không thẳng hàng ........................................................................... 143
Hình 5.1c. BDTQ minh họa suy luận ngoại suy .......................................................... 143
Hình 5.2. Cặp góc đối đỉnh tạo bởi các đƣờng thẳng đồng quy................................... 144
Hình 5.3. Minh họa Ví dụ 5.7 ...................................................................................... 149
Hình 5.4. Đồ thị khoảng cách-thời gian ....................................................................... 152


8

Hình 5.5. BDTQ minh họa Ví dụ 5.8 ........................................................................... 153
Hình 5.6a. Tam giác ABC đều...................................................................................... 155
Hình 5.6b. Tam giác ABC vuông ................................................................................. 155
Hình 5.6c. ABI  BFJ ........................................................................................... 155
Hình 5.7a. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân .......... 156
Hình 5.7b. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa .... 157
Hình 5.8. Viết phƣơng trình g  x  .............................................................................. 160
Hình 5.9. Điểm đơn vị trên hai trục tọa độ .................................................................. 162
Hình 5.10. Đo chiều cao kim tự tháp ........................................................................... 164


khoa học của các dạng mẫu (Devlin, 1994, [30]; Resnik, 1999, [74]).
Báo cáo “Mọi ngƣời đếm” – một báo cáo về tƣơng lai của giáo dục toán cho các
quốc gia (1989, [55]) chỉ rõ: “Toán học là một khoa học nhằm thấu hiểu các dạng
mẫu phát sinh từ thế giới xung quanh ta và cả bên trong quá trình làm việc trí óc của
con ngƣời. HS cần học các quy tắc toán, nhƣng quan trọng hơn là làm thế nào để có
thể mô tả các sự vật hiện tƣợng theo ngôn ngữ của toán học”. Một trong những cách
để mô tả các dạng mẫu là chỉ ra quy luật của nó thông qua các mối quan hệ và hàm
số. Việc khám phá quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là một kĩ năng cần thiết
với HS trong xu hƣớng dạy học toán gắn liền với thực tiễn, bởi các nhiệm vụ toán
không còn bó hẹp trong các bài toán chứng minh mà trở nên đa dạng hơn với các
mẫu dữ liệu của các kết quả đo đạc và quan sát, các mô hình toán của các hiện
tƣợng tự nhiên, của hành vi con ngƣời và của hệ thống xã hội. Bodner (1986, [21])
khẳng định “... ngƣời học kiến tạo sự hiểu biết. Họ không chỉ đơn giản phản chiếu
lại những gì đƣợc dạy và những gì họ đọc đƣợc. Ngƣời học tìm kiếm ý nghĩa và cố
gắng để tìm ra quy luật và trật tự của các dạng mẫu trong thế giới khách quan cho
dù thiếu những thông tin đầy đủ...”.
Có thể thấy hoạt động tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu là một khía cạnh
quan trọng của việc học. Chẳng hạn, lúc học phép cộng các số nguyên, một HS lớp
6 chú ý đến dạng mẫu: 3  (4)  (4)  3, 5  8  8  5, (6)  (9)  (9)  (6) và
nhận thấy rằng trật tự của hai số hạng trong phép cộng là không quan trọng. Từ đó,
HS đề xuất giả thuyết a  b  b  a, a, b   . Nhƣ vậy là HS đã tổng quát hóa quy
luật toán mà các em phát hiện từ các dạng mẫu quan sát đƣợc. Không chỉ có số


11

học, tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là hoạt động thƣờng xuyên
diễn ra trong các lĩnh vực khác nhƣ đại số, hình học mà kết quả của nó là công thức,
các định lý (Mason, 1996, [50]).
Đặc biệt, quá trình tìm kiếm quy luật toán liên quan đến sự vận hành của hai loại

Bạn phải phỏng đoán về ý tƣởng của chứng minh trƣớc khi tiến hành chứng minh
chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát đƣợc và suy ra những điều tƣơng
tự. Kết quả công việc sáng tạo của nhà toán học là suy luận diễn dịch, nhƣng ngƣời
ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán (Polya, 1954, [66]). Do
đó, nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học nhƣ thế
nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lí. Suy
luận quy nạp và suy luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nó trong việc giúp HS
khám phá tri thức toán thông qua việc phát hiện ra quy luật trong các dạng mẫu là
một nội dung cần đƣợc quan tâm phát triển nhiều hơn trong giáo dục toán.
Mặt khác, bƣớc sang những năm đầu của thế kỷ 21, xu hƣớng thực hành áp dụng
toán học vào hầu hết các vấn đề mà HS gặp phải trong cuộc sống đời thƣờng đƣợc
nhiều nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu một cách toàn cầu hóa. Ngƣời ta nhận thấy
rằng, trong những tình huống thông thƣờng, con ngƣời vận dụng toán học theo hai
cách khác nhau: sử dụng các công thức hay quy trình đã biết để giải các bài toán
mẫu mực, hay đối mặt với các vấn đề không quen thuộc và phức tạp hơn thông qua
các phƣơng án toán học tiêu biểu nhƣ đƣa ra giả thuyết mới bằng phép ngoại suy;
tổng quát hóa quy luật bằng phép quy nạp; suy luận bằng tƣơng tự hóa; đặc biệt
hóa... Rất hiếm khi con ngƣời sử dụng suy luận diễn dịch bởi những tiêu chuẩn chặt
chẽ nghiêm ngặt mà nó đòi hỏi. Một lần nữa, suy luận ngoại suy và suy nạp trở
thành một công cụ hiệu quả để HS sử dụng khi đối mặt với các vấn đề thực tế.
Đối với giáo dục toán ở nƣớc ta, đối tƣợng mà chúng tôi quan tâm trong nghiên cứu
này là những HS mƣời lăm tuổi, lứa tuổi vừa hoàn thành chƣơng trình phổ cập giáo
dục chính thức và có quyền lựa chọn giữa việc tiếp tục theo đuổi chƣơng trình trung
học phổ thông (THPT) hay trở thành một công dân độc lập với một nghề nghiệp cho
tƣơng lai ngay từ lúc này. Chúng tôi cho rằng đây là giai đoạn chuyển tiếp có ý


13

nghĩa quan trọng khi mà những năng lực toán học đã đƣợc HS tích lũy sẽ có ảnh


“trái tim” của bất kỳ một chƣơng trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học.
PISA còn cho thấy các quy luật toán có thể đƣợc sử dụng để giải quyết rất nhiều
vấn đề thực tế: “Các cấu trúc sống đang thay đổi khi chúng phát triển, chu trình các
mùa, thủy triều lên và xuống, các chu trình thất nghiệp, thay đổi thời tiết và các chỉ
số chứng khoán, một trong số các quá trình thay đổi này có thể đƣợc mô tả hay
đƣợc mô hình hóa bởi những hàm số bậc nhất, hàm số mũ hay hàm số tuần hoàn, có
thể là rời rạc hay liên tục” (OECD, 2003, [60, tr. 37]). Với ý thức về tầm quan trọng
của quy luật toán đối với HS ở lứa tuổi mƣời lăm này, PISA kiểm tra các em về khả
năng mô tả những thay đổi trong thế giới dƣới dạng có thể nhận thức đƣợc để nhận
ra sự xuất hiện của các quy luật, đồng thời biết vận dụng các kiến thức và kĩ thuật
sẵn có nhằm đem lại lợi ích lớn nhất cho cuộc sống (OECD, 2003, [60]).
Có thể thấy, năng lực phát hiện, mô tả và sử dụng các quy luật toán để giải quyết
vấn đề trong toán học và thực tế cũng là một trong những nội dung đƣợc PISA quan
tâm đối với HS mƣời lăm tuổi. Trong xu hƣớng đó, với mong muốn thu hút sự quan
tâm của giáo dục toán Việt Nam vào những đóng góp tích cực của suy luận ngoại
suy và quy nạp trong việc giúp HS mƣời lăm tuổi phát triển khả năng tìm kiếm các
quy luật toán, chúng tôi chọn: “Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp
và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán”
làm đề tài nghiên cứu của luận án.
1.3. Phạm vi nghiên cứu
Luận án quan tâm đến việc sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy của HS mƣời
lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm các quy luật toán với sự hỗ trợ của các biểu diễn
trực quan. HS mƣời lăm tuổi theo quy định của PISA là các HS trong độ tuổi từ
mƣời lăm năm ba tháng đến mƣời sáu năm hai tháng. Trong luận án này, để thuận
lợi cho việc thiết kế và phân tích các kết quả thực nghiệm, đối tƣợng HS mƣời lăm
tuổi sẽ mang ý nghĩa tƣơng đƣơng với các HS đang bắt đầu theo học chƣơng trình
lớp 10 ở Việt Nam. Với đặc thù của chƣơng trình toán ở nƣớc ta hiện nay, chúng tôi
chọn sử dụng một số nội dung toán thuộc hai lĩnh vực Đại số và Hình học mà HS đã




16

1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu lý thuyết về suy luận ngoại suy và quy nạp, vai trò và vị trí của hai
loại suy luận này trong quá trình khám phá các quy luật toán.
 Xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy số bằng suy luận
ngoại suy và quy nạp.
 Khảo sát các phƣơng án ngoại suy mà HS sử dụng để khám phá quy luật dãy
số. Xây dựng thang mức đánh giá các mức độ ngoại suy mà HS thể hiện.
 Phân tích những ảnh hƣởng của các BDTQ đến quá trình suy luận của HS
trong khám phá quy luật dãy số.
 Phân tích những thể hiện của suy luận ngoại suy và quy nạp qua quá trình
HS tiến hành các thao tác lên BDTQ động để khám phá các bài toán hình học
kết thúc mở.
 Đề xuất một số cách thiết kế các bài toán kết thúc mở nhằm thúc đẩy việc
phát triển năng lực suy luận ngoại suy và quy nạp cho HS ở trƣờng phổ
thông.
1.5. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã đƣợc đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với bốn câu
hỏi nghiên cứu sau:
 Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận nào đƣợc sử dụng trong quá trình
khám phá quy luật dãy số và chúng có mối quan hệ với nhau nhƣ thế nào?
 Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mô tả dãy số có ảnh hƣởng
nhƣ thế nào đến quá trình suy luận của HS để đƣa ra một quy tắc tổng quát?
 Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động nhƣ thế nào để hỗ
trợ quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khi khám phá quy luật trong các
bài toán hình học kết thúc mở?



18

 Biểu diễn trực quan động: Các biểu diễn trực quan đƣợc xây dựng trên màn
hình máy tính với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học động, cho phép HS
thực hiện các thao tác (kéo rê, ẩn/hiện, tạo vết, tịnh tiến, quay, đo đạc, tính
toán, sắp xếp dữ liệu, thay đổi giá trị các tham số…) lên các đối tƣợng đƣợc
biểu diễn.
 Dạng mẫu toán: Mô hình hình học hoặc dãy (số hay đại số) mà ta có thể dự
đoán đƣợc quy luật do một vài tính chất của nó đƣợc lặp lại.
-

Ví dụ cho dạng mẫu về các con số: Dãy các số lẻ: 1, 3, 5, 7...

-

Ví dụ cho dạng mẫu về các hình hình học:
Tổng các góc trong của một tam giác bất kì:

600  600  600
-

450  900  450

300  700  800

1200  350  250

Ví dụ cho dạng mẫu về các kí hiệu toán học: Phép nhân của lũy thừa cơ
số 2: 23.25  28 ;22.29  211;25.

quan đến tìm kiếm quy luật dãy số:
- Tổng quát hóa gần: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng không hẳn phải
liền kề ngay sau các số hạng đã cho nhƣng vị trí của nó trong dãy số đủ
gần để HS có thể thực hiện việc tìm kiếm từng bƣớc tuần tự và có đƣợc
câu trả lời.
- Tổng quát hóa xa: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng ở vị trí xa hơn
nhiều so với các số hạng đã đƣợc cho sẵn khiến cho việc tìm kiếm từng
bƣớc tuần tự trở nên không còn khả thi.
 Phương án ngoại suy trong khám phá quy luật dãy số: Cách suy luận ngoại
suy nhằm đƣa ra giả thuyết để giải thích việc các số hạng cho sẵn của dãy số
xuất hiện theo một quy luật xác định.
 Bài toán kết thúc mở: Bài toán có nhiều câu trả lời đúng và nhiều phƣơng án
giải khác nhau để đi đến các câu trả lời này (Becker & Shimada, 1997, [16]).


20

 Bài toán hình học kết thúc mở: Là bài toán kết thúc mở trong hình học, có thể
đƣợc nhận ra bởi một vài đặc điểm sau (Mogetta và nnk., 1999, tr. 91-92,
[52]):
- Phát biểu bài toán thƣờng chỉ là những mô tả rất ngắn gọn về các bƣớc
dựng hình theo trình tự và không đề nghị bất cứ một phƣơng pháp giải
cụ thể nào.
- Khác với dạng câu hỏi đóng truyền thống nhƣ “Chứng minh rằng…”,
các bài toán hình học kết thúc mở thƣờng yêu cầu HS tự đề xuất giả
thuyết. Các câu hỏi của bài toán thƣờng đƣợc diễn đạt dƣới dạng: “Em
tìm thấy mối quan hệ nào giữa…”, “Trong điều kiện nào thì…?”, “Hình
… có thể trở thành những hình dạng nào…?”
 Quy luật hình học: Quy luật toán học cho các đối tƣợng hình học, chỉ mối
quan hệ toán học không đổi giữa các đối tƣợng hình học nhƣ điểm, đƣờng

Chƣơng 1. Mở đầu.
Chƣơng 2. Các kết quả nghiên cứu liên quan.
Chƣơng 3. Thiết kế nghiên cứu.
Chƣơng 4. Biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy.
Chƣơng 5. Phát triển khả năng khám phá quy luật toán của học sinh bằng suy luận
quy nạp và ngoại suy.
Chƣơng 1 mở đầu bằng việc giới thiệu tổng quan xu hƣớng phát triển chung của
giáo dục toán gắn liền với các khía cạnh mà chúng tôi quan tâm nhƣ quy luật toán,
khám phá quy luật toán, suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp, biểu diễn toán,
đồng thời cho thấy đề tài nghiên cứu liên quan đến các khía cạnh này là một chủ đề
hấp dẫn để khai thác và có ý nghĩa thực tiễn trong bối cảnh giáo dục toán ở Việt
Nam hiện nay. Tuy nhiên, để triển khai luận án trƣớc hết cần có một cái nhìn tổng
quan về các kết quả đã có từ các nghiên cứu liên quan. Cụ thể, trong Chƣơng 2,
chúng tôi tiến hành khảo cứu tài liệu để xây dựng khung lý thuyết chính dành riêng
cho nghiên cứu này: lý thuyết về suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, các quan
điểm về biểu diễn toán, biểu diễn trực quan và biểu diễn trực quan động. Chúng tôi
cũng tìm hiểu các nghiên cứu trong và ngoài nƣớc liên quan đến chủ đề khám phá
quy luật toán trong phạm vi quan tâm của luận án: khám phá quy luật dãy số và
khám phá quy luật trong các bài toán hình học kết thúc mở. Sau khi tổng hợp, phân
tích các kết quả có đƣợc của các nghiên cứu này, chúng tôi chỉ ra những “khe hở”
về mặt lý thuyết chƣa đƣợc làm rõ, đồng thời đề xuất các vấn đề liên quan đến
phạm vi nghiên cứu của luận án có thể đƣợc kế thừa và phát triển từ các nghiên cứu
đã có theo những khía cạnh sâu rộng hơn. Từ đó, chúng tôi quay trở lại Chƣơng 1
để xác định mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, xây dựng các câu hỏi nghiên cứu.